函数极限连续改PPT学习教案

1、会计学1函数极限连续改函数极限连续改一、考试要求一、考试要求二、主要内容二、主要内容三、典型例题分析三、典型例题分析第1页/共74页一、考试要求一、考试要求1.1.理解函数的概念，理解函数的概念，2.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性3.3.理解复合函数及分段函数的概念，理解复合函数及分段函数的概念，4.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，掌握基本初等函数的性质及其图形，5.5.理解极限的概念，理解极限的概念，6.6.掌握极限的性质及四则运算法则掌握极限的性质及四则运算法则. .理解函数左极限与右极限的概念以及理解函数左极限与右极限的概念以及

2、函数极限存在与左、右极限之间的关系函数极限存在与左、右极限之间的关系 了解反函数及隐函数了解反函数及隐函数的概念的概念了解初等函数的概念了解初等函数的概念. .掌握函数的表示法，掌握函数的表示法，会建立应用问题会建立应用问题 的函数关系的函数关系. . 第2页/共74页8.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，理解无穷小量、无穷大量的概念，9.9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），10.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，7.7.掌握极限存在的两个准则，掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，并会利

3、用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法掌握利用两个重要极限求极限的方法掌握无穷小量的比较方法，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限会用等价无穷小量求极限会判别函数间断点的类型会判别函数间断点的类型理解闭区间上理解闭区间上并会应用这些性质并会应用这些性质连续函数的性质连续函数的性质( (有界性、最大值和最小值定理、介值定理有界性、最大值和最小值定理、介值定理) )，第3页/共74页会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、会判别函数会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、会判别函数1 1、掌握基本初等函数的性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形2 2、理解极限的定义和它们的性质、

4、理解极限的定义和它们的性质二、主要内容二、主要内容的特性的特性( (主要是单调性、奇偶性、有界性主要是单调性、奇偶性、有界性) )数列的极限可看成函数极限的特例数列的极限可看成函数极限的特例( (收敛数列的收敛数列的有界性有界性、收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系有极限的函数的有极限的函数的局部有界性局部有界性与与局部保号性局部保号性) )(16(16个基本函数个基本函数) )第4页/共74页二、主要内容二、主要内容( (一一) ) 关于函数关于函数2.2.会求函数的定义域及函数表达式会求函数的定义域及函数表达式(或函数值或函数值)3.3.会判别函数的特性会判别函数的特性(有界性

5、、单调性、周期性、奇偶性有界性、单调性、周期性、奇偶性)1.1.掌握掌握1616个基本函数的个基本函数的名称名称、表达式表达式、定义域定义域、值域值域、特征特征、图形图形. .第5页/共74页( (二二) ) 关于极限关于极限要理解它的概念及性质，要理解它的概念及性质，并会求各种形式的极限并会求各种形式的极限. .1 1、数列极限：、数列极限： 1 1）按自变量的变化趋势分为六种：）按自变量的变化趋势分为六种：2 2、函数极限：、函数极限：0 xx0 xx0 xxx x x 2 2）函数极限的定义及极限存在的充要条件）函数极限的定义及极限存在的充要条件. .第6页/共74页,0,0( )f x

6、A有Axfxx)(lim0000(,)()xxxx当或时，极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00左极限 :00lim( )()xxf xf x或右极限 :00lim( )()xxf xf x或第7页/共74页0, lim( )xf xA( ).f xA恒有0,X,xX使当时Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(lim( )xf xA,0,0X当Xx时, 有 Axf)(极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：lim( )xf xA+lim( )lim( )xxf xf xA 第8页/共74页3)3)极限的性质极限

7、的性质( (数列的极限可看成函数极限的特例数列的极限可看成函数极限的特例) )收敛数列的收敛数列的有界性有界性、收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系有极限的函数的有极限的函数的局部有界性局部有界性与与局部保号性局部保号性极限的极限的唯一性唯一性第9页/共74页0,M,00lim( )xxf x 00 xx当时，()x ( )f xM有(,0 )X()xX当时，)(lim)(0 xfxxx0()l()im)xxxf x 4) 无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义lim( )0 xf x若，( )f xx 则称为当时的无穷小.第10页/共74页无穷小的阶无穷小的阶lim0 (0),

8、 lim0,xx设若若limx,0,)0(Clim0,0,kxCk若称称 是比是比 的的高阶高阶无穷小，无穷小，称称 是比是比 的的低阶低阶无穷小无穷小称称 与与 是是同阶同阶无穷小无穷小称称 与与 的的等价等价无穷小，无穷小，称称 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小.( )o记作记作或定义定义：1C 特别当，第11页/共74页常用的等价无穷小常用的等价无穷小：0 x 时，sin,xxtan,xxarcsin,xxarctan,xx211 cos,2xxln(1) ,xx1,xex(1)1(0)xx( ).xx则上述等价关系中可全换成0 x 当时，sin(3 ) 3xx；x 当时，11ln(1)

9、 xx如如：( )0 xx若当时，注记：注记：第12页/共74页( (1111,2/3,4),2/3,4)0,x 已知当时( )3sinsin(3 )kf xxxcx函数与是等价无穷小,()则(A)1,4(B)1,4kckc (C)3,4(D)3,4kckc C分析：分析：0,( )3sinsin(3 )kxf xxxcx当时与是等价无穷小，00( )3sinsin(3 )limlimkkxxf xxxcxcx则1(可用可用 洛必达法则洛必达法则 或或 泰勒公式泰勒公式 求求)第13页/共74页极限存在的两个准则极限存在的两个准则及两个重要极限及两个重要极限. .0sinlim1xxx1lim

10、(1,)xxex10lim(1)zzze4)4)掌握极限运算法则、掌握极限运算法则、( (夹逼准则与夹逼准则与与与单调有界准则单调有界准则) )(1)(1)求数列的极限常用方法有：求数列的极限常用方法有：夹逼准则、夹逼准则、或或 根据函数极限根据函数极限与数列极限的关系转化为函数极限与数列极限的关系转化为函数极限. . 5)5)重点掌握求极限的方法重点掌握求极限的方法单调有界准则、单调有界准则、 重要公式重要公式( (常用来证明数列收敛常用来证明数列收敛) )第14页/共74页2)2)求函数极限的常用方法：求函数极限的常用方法：(1)(1)利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限; ;如：

11、多项式与分式函数如：多项式与分式函数代入法代入法求极限求极限.(2)0 0型：2)2) 因式分解或根式有理化消去零因子法，因式分解或根式有理化消去零因子法，0sinlim1xxx3)利用第一个重要极限求，4)利用等价无穷小替换化简求极限利用等价无穷小替换化简求极限.(3)型：2)2)对多项式之比时分子、分母同除以它们中对多项式之比时分子、分母同除以它们中1)1)用洛必达法则用洛必达法则 ，1)1)用洛必达法则用洛必达法则 ，的最高次幂的最高次幂. .5)5)用泰勒公式用泰勒公式 ，第15页/共74页 (4) 型：.通分根式有理化变量代0或或化为 或换型05) 0(型，0 .0将其中一个因子降到

12、分母可化为 或001 0 (6) 等幂指形式未、型定式，、( )lim ( )v xxu xlim ( )ln ( )( )( )ln(lim (=lim()xv xu xv xu xv xxxeeu x一般的方法是：1 对型：1lim 1xxex也可利用第二个重要极限第16页/共74页( )lim ( )v xxu x较简单的方法是：lim ( )( ( ) 1)xv x u xe(7) 利用无穷小性质利用无穷小性质(有界量与无穷小之积为无穷小有界量与无穷小之积为无穷小)求极限求极限;(8) 利用左右极限求分段函数在分段点的极限利用左右极限求分段函数在分段点的极限.( )( ( ) 1)1(

13、 ) 1=lim (1( ) 1)v x u xu xxu x( (1111,2,4),2,4)1012lim_2xxx2特别对于1 型，第17页/共74页( (三）关于函数的连续性三）关于函数的连续性 0)()(limlim0000 xfxxfyxx1) 函数在一点连续的定义及在区间内函数在一点连续的定义及在区间内(上上)连续定义：连续定义：0( )yf xx在连续00lim( )()xxf xf x0000( )lim( )lim( )()xxxxf xxf xf xf x函数在处连续2) 函数的间断点的定义及分类函数的间断点的定义及分类. 函数间断点函数间断点第一类间断点第一类间断点第二

14、类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点，等振荡间断点，等等等第18页/共74页21ln(1)_(1)(3)xyxxx的间断点的个数为1初等函数在其定义区间内都连续初等函数在其定义区间内都连续. .( (可见求初等函数的间断点或连续区间，只要求定义域即可可见求初等函数的间断点或连续区间，只要求定义域即可.).)如：如：基本初等函数在其定义域内都连续，基本初等函数在其定义域内都连续，4) 4) 闭区间上连续函数的性质的闭区间上连续函数的性质的条件条件与与结论结论。结论：结论：3) 连续函数的运算连续函数的运算 (四则、复合运算等四则、复合运算等)

15、有界定理、有界定理、 最值定理最值定理 、零点定理零点定理 、 介值定理介值定理 .第19页/共74页三、典型例题分析三、典型例题分析(一一)关于函数（归结为三个方面）关于函数（归结为三个方面）1. 求函数的定义域求函数的定义域2. 讨论函数的特性讨论函数的特性3. 求函数的表达式求函数的表达式(或函数值或函数值)第20页/共74页例例1. 1. (88,1/2,5)(88,1/2,5)设设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且)(x)(2xe求求及其定义域及其定义域 . 解解:,e)(fx2xf)(xe)(x2由由x1得得,)1ln()(xx0,(x( )0,x及ln(1)0 x10 x

16、由由第21页/共74页例例2 2： (90,3/4,03)(90,3/4,03) 设函数设函数sin( )tan,xf xxxe则则f x( )是是 B(A)(A)偶函数偶函数 (B) (B) 无界函数无界函数 (C)(C)周期函数周期函数 (D)(D)单调函数单调函数分析分析:由sin2lim (tan)xxxx e ( ).f x知无界()(2)4nf xfn或22(2) 14ne ()n ( )f x知无界.或用排除法或用排除法.第22页/共74页例例3 3： (04,3/4,04)(04,3/4,04)函数函数2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx在下列哪个区间内有界在下列

17、哪个区间内有界 A(A)(-1,0) (B) (0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)(A)(-1,0) (B) (0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)分析分析:由2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx1sin(2)(1)(2)(2)xxxx1(1)(2)xx( 1,0)在内，1(1)(2)xx1(2)(1)xx1,2( )( 1,0)f x所以在内有界.第23页/共74页2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx或或1lim( )xf x21sin(2)lim(1)(2)xxxx xx 1lim( )xf x2lim( )xf x2sin(2)(2)lim

18、(1)(2)xxxxx xx ( )(0,1), (1,2), (2,3).f x故在内均无界第24页/共74页例例4：( )f x满足满足, ,| |,( )a b cabf x为常数,且试证为奇函数1( )(),caf xbfxx证明：证明：1( )( ),afbf xcxx 又因为又因为()fx1( )fx由上两式消去得是奇函数是奇函数. 1 ( )(),caf xbfxx由得得221( )()acf xbcxxab221()acbcxxab( ),f x ( )f x设设第25页/共74页( (二二) )求极限的方法与技巧求极限的方法与技巧关键：关键：1. 1. 求定式的极限的方法有：

19、求定式的极限的方法有：(1)(1)代值法代值法(2)(2)运算法则运算法则(3)(3)无穷小的性质无穷小的性质判别类型，判别类型，然后选择相应方法然后选择相应方法, 消除不定因素消除不定因素. 22lim(35)xxx例例1:223 25 2222lim3limlim5xxxxx323231lim34xxxx例例2:232( 3)1( 3)3( 3)410542(每年几乎都考极限题每年几乎都考极限题)第26页/共74页101lim1xxe求例例3:解：解：101lim1xxe 故故101lim1xxe不存在不存在.0,101lim1xxe1,01limsinxxx又如又如:00lim0 xx

20、，1sinx有界11 0第27页/共74页2.2.未定式的极限未定式的极限0,0, 0,1 ,000 , 例例4：求下列极限：求下列极限220931) limxxx1320(1)12) limcos1xxx3200222299lim(93)xxxx16221lim93xx20213lim12xxx第28页/共74页201sincos4) limxxxxx201sincoslim( 1sincos)xxxxxxxx220011cos1sinlimlim22xxxxxxx113.4242011sincoslim2xxxxx2200111sin2limlim22xxxxxx第29页/共74页arct

21、an25) lim1xxx limx221limxxx111lim21xx211x21x思考思考: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数为正整数) ?第30页/共74页6 6） tan30 limxxxeextan30limxxxeextan30(1)limxx xxe ex30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tanlim3xxx220lim3xxx13解解：型00第31页/共74页利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限7).3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3co

22、s2442xoxxex44407()12limxxo xx解解:原式712第32页/共74页已知已知200( )ln1( )sin(2 )lim5,lim31xxxf xf xxx则解：解：0( )ln1sin(2 )lim31xxf xx20( )lim10ln 3xf xx0( )sin(2 )limln3xf xxx20( )lim2ln3xf xx5 例例5.第33页/共74页例例6.( )0 xx已知在点的某个今邻域内连续，0 x 在点处可导，(0)0,(0)16且，0040( ) lim.sinxtxtu du dtx 求解：解：0040( )limsinxtxtu du dtx

23、0040( )limxtxtu du dtx 030( )lim4xxxu dux020( )lim4xxu dux0( )lim8xxx01( )(0)lim80 xxx1(0)82 第34页/共74页20sin2()limsinxxxtxdttxx304(sin) (sin)limxxxxxxx例例7：20sin22()lim1 cosxxxx201 cos4(1 1)lim3xxx222022(sin)lim2xxxxx43第35页/共74页设对同一变化过程设对同一变化过程 , , 为无穷小为无穷小 ,无穷小的性质无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价由等价可得极限运

24、算的下述规则可得极限运算的下述规则. 若若 = o( ) , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则,limlim且.时此结论未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2-看低阶看低阶第36页/共74页(3)(3)乘除代替规则乘除代替规则: :,( )x若且极限存在或有界，则则)(limx)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求01lim(arcsinsin)xxx解解

25、: 原式原式 和差不能滥用和差不能滥用01lim(sin)xxx0第37页/共74页.125934lim22xxxxx2211439lim1152xxxxx54例例8：第38页/共74页为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当推广推广2：分母同除以绝对值最大的项分母同除以绝对值最大的项.”型，型， 则分子，则分子，若在某一过程中为若在某一过程中为“第39页/共74页例例9 9：2351) lim21xxxx235lim21xxxxxx351lim12xxxx2352) lim21xxxx1 02012

26、235lim21xxxxxx2xx 351lim12xxxx1 020 12 2xx第40页/共74页( (0000,1,5),1,5)1402sinlim1xxxexxe求解：解：因为1402sinlim1xxxexxe1402sinlim1xxxexxe1402sinlim1xxxexxe434002sinlimlim1xxxxxeexxe0010 111402sinlim1xxxexxe14002sinlimlim1xxxxexxe2011 011所以 原式第41页/共74页2112(1) lim()11xxx2(2) lim(100)xxxx例例9 9：求下列极限：求下列极限11lim

27、(1)xx122100lim10011xx5011 2lim(1)(1)xxxx 2100lim100 xxxx第42页/共74页1 1）解：解：.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 01limln(cot)lnxxxe原式01limln(cot )lnxxx201csccotlim1xxxx0limcossinxxxx, 1 .1 e原原式式例例1010：求下列极限：求下列极限第43页/共74页2）1lnlim(arctan ).2xxx求1limln(arctan )ln2xxxe解解：原式1limln(arctan )ln2xxx2111arctan2lim1xxxx 21li

28、marctan2xxxx22221 (1)2(1)lim11xxxxxx 221lim1xxx1 1e原式型00第44页/共74页3 3）10arctan lim.xxxx求10arctanlimxxxx01arctanlimlnxxxxe01arctanlim1xxxxe20arctanlimxx xxe20111lim2xxxe20111lim2xxxe20lim2(1)xxxe0e1解解：原式=10arctanlim xxxx2arctanarctan0arctanlim11x xxxx xxxx20arctanlimxx xxe)1( 或第45页/共74页3324) lim(1)xxx

29、32232lim (1)xxx2e25) lim()3xxxx(3)311lim(1)(1) 33xxxx1ee 2lim()3xxxx2(1)lim3(1)xxxx22332(1)lim3(1)xxxxx23eee第46页/共74页1lim(1).xxxe( )11.lim 1( )xxx推广推广: 1( )2. lim(1( )xxxezzz1)1 (lim01( )3.lim 1( )xxkx( )( )4.lim(1)sxakxbx公式公式II：-基本型基本型, e, e,ke,k se111第47页/共74页( (1111,3,10),3,10)012sin1limln(1)xxxx

30、x求极限( (1111,1,10),1,10)110ln(1)limxexxx求极限( (1111,2,10),2,10)20ln(1)d ( ).xttF xx已知函数0lim( )lim( )0,xxF xF x设试求的取值范围.12e1312 第48页/共74页222 lim12nkkknnnn求2nknn22212kkknnnn2,1nkn2 limnnknn又lim11nkn, k2lim1nnkn2lim11nkn, k222 lim12nkkkknnnn解解:第49页/共74页2. 求1lim(12345 ) .nnnnnn解解:1(12345 )nnnnn515 5n由夹逼准则

31、可知1lim(5 5 )nnlim55,n而1lim(12345 )5.nnnnnn5,因第50页/共74页( (0606,1/2,12),1/2,12)例例. 110,sin1,2,. .nnnxxxxn设数列满足lim.nnx存在，并求该极限()()证明证明211limnxnnnxx()()计算计算 nx数列(I) (I) 用归纳法证明用归纳法证明单调下降且有界单调下降且有界. .10 x210sinxx由由得得0nx，10sinnnxx设设则则1xnx第51页/共74页 nx所以所以单调下降且有下界单调下降且有下界, , limnnxlimnnax，1sinnnxxsinaa0a ，li

32、m0nnx故故存在存在. .记记由由得得所以所以即即210sinlim()xxxx30cossinlim2xxxxxe因为因为 ()() 解法解法1:1:201sinlimln()xxxxe20lnsinlnlimxxxxe01cos1lim()2sinxxxxxe20sinlim6xxxxe16e第52页/共74页lim0nnx，22111sinlim()lim()nnxxnnnnnnxxxx又由又由(I)(I)知知 所以所以210sinlim()xxxx0sinlim6xxxe解法解法2:2:故故 22111sinlim()lim()nnxxnnnnnnxxxx210sinlim()xxx

33、x16e因为因为 3sinsin0sinlim1x xxxx xxxxx30sinlimxx xxe20cos1lim3xxxe16e210sinlim()xxxx16e第53页/共74页(三三) 求极限的其它方法举例求极限的其它方法举例1、利用导数定义、利用导数定义例例13：（：（1）设）设( )fa存在，则存在，则0()()limxf axf axIx（2）设）设( )f x可微，可微，22400( )(0)0,(0)1,( )(),lim.xxF xffF xtf xtdtx求()( )fa220430011()() 222limlim4xxxf uduf xxIxx220(0)(0)1

34、lim(0)44xfxffx第54页/共74页1limsin(0)n annIxdxax求由定积分中值定理， ,n na 知，1sinn anxdxx使1sina1limsinn annIxdxx1lim( sin)na1lim( sin)aa解：解：1sin()nan2、利用定积分定义或中值定理求、利用定积分定义或中值定理求.第55页/共74页( (9898,1,6),1,6)23sinsinsinsin lim.111123nnnnnnnnn求1sinlim1nniinni分析：分析： 这是这是n项和式的极限项和式的极限, , 由于分母不同由于分母不同, ,一般用夹逼准则一般用夹逼准则.

35、.第56页/共74页1sin1niinni1sinlim1nniinn解：解：1sin1niinn1sin0niinn1sinlim0nniinn11limsinnniinn10sin()dxx21sinlim1nniinnnn11limsin1nnininnn101sin()dxx 101cos()x 2又又由夹逼准则知由夹逼准则知2原式第57页/共74页3 3、利用级数的收敛性求、利用级数的收敛性求. .lim_!nnbn分析：分析：0!nnbn考虑级数，1(1)!lim!nnnbnbn因为lim1nbn01 ，0!nnbn所以收敛，0!nnbn从而收敛，lim0!nnbn故0!nnxn由

36、(,)xex ，,0!nnbn知收敛或者或者0第58页/共74页3 3、极限的局部逆问题、极限的局部逆问题220ln(1)()lim2,_ ,_xxaxbxabx设则分析：分析：00该极限必为型，220ln(1)()2limxxaxbxx01(2)1lim2xabxxx1a2012(1)lim2xbx1 22b 52b 01lim(2)01xabxx152例例.第59页/共74页例：例：, a b试确定正的常数，使等式22001limsinxxtdtxbxat220lim1cosxxaxbbx1,220lim0 xxax而，0lim(1cos)1xbbxb 01b ，解：解：22001lim1

37、.sinxxtdtxbxat成立第60页/共74页2201lim1 cosxxaxx于是2202lim12xxaxx202limxax2a4a220lim1cosxxaxbbx1,第61页/共74页（四）关于无穷小的阶（四）关于无穷小的阶( (0707,1/2,04),1/2,04)0 xx当时，与等价的无穷小量是1( ) 1( ) ln( )11() 1 cos1xxAeBCxDxx0 x当时，1xe,x11x1,2x21()2x1 cosx分析：分析：第62页/共74页 0 x20cos,xt dt20tan,xtdtdttx03sin,把把时的无穷小量时的无穷小量排列起来，排列起来，（B

38、 B） (A) (A) , ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是则正确的排列次序是 ( (0404,1/2,04),1/2,04)(C) (C) (D) (D) 分析：分析：0 x时，2cos()x 1,2 tanxx 22,x321sin()2xx 32122xxxB只要比较它们的导数阶的高低即可只要比较它们的导数阶的高低即可.第63页/共74页( (0909,1/2,04),1/2,04)20,( )sin()( )ln(1), ( )xf xxaxg xxbxa b当时与是等价无穷小，则的值第64页/共74页( (0202,1,1,0606) )( )0,f xx 设函数在某邻域内有一阶连续导数(0)0,(0)0,ff 且( )(2 )(0)0af hbfhfhh若在时是比高阶的无穷小, a b试确定的值.( (0202,2,2,0808) )( )0,f xx 设函数在某邻域内有二阶连续导数(0)0,(0)0,(0)0.fff且123, 证明:存在惟一的一组实数,0h 使得当时,2123( )(2 )(3 )(0)f hfhfhfh是比高阶的无穷小.分析：分析：都是考查高阶无穷小的定义，都是考查高阶无穷小的定义，用洛必法则或泰勒公式求极限用洛必法则或泰勒公式求极限. .2,1ab 第65页