D极限存在准则两个重要极限PPT学习教案

1、会计学1D极限存在准则两个重要极限极限存在准则两个重要极限准则准则I,),(U0时时当当xx Axhxgxxxx )(lim)(lim00, )()(xhxg )(xfAxfxx )(lim0)0( Xx)( x)( x)( x且且 利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存在的夹逼准则证明在的夹逼准则证明.第1页/共14页1sincos xxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积1sinlim0 xxx证证: 当当即即 xsin1121212 xxtan121 )20(tansin xxxx即即),0(2 x时，时，)20( x,1 coslim 0 xx又又

2、. 1sinlim0 xxx故故显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积xxxcos1sin1 从而从而DABxo单位圆单位圆第2页/共14页.tanlim 0 xxx求求解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0 1 例例2. .arcsinlim0 xxx求求解解: ,arcsin xt 令令则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0 tttsin1 第3页/共14页nnnR2cossinlim Rn.cos1lim 20 xxx 求求解解: 原式原式 =2220sin2limxxx2121 2

3、1 例例4. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明: .lim2RAnn 证证: nnA limnnnnRnA2cossin 2R 注注: 计算中注意利用计算中注意利用1)()(sinlim0)( xxx 20sinlim x2x2x21! 0)(重重要要x 第4页/共14页准则准则II ：单调有界数列必有极限。：单调有界数列必有极限。相应的单调有界函数的收敛准则相应的单调有界函数的收敛准则准则准则II ：设函数：设函数 f (x)在在 x0 的某个左邻域内单调并且的某个左邻域内单调并且有界，则函数有界，则函数 f (x)在在 x0的左极限的左极限 f ( x0- ) 必

4、存在。必存在。若数列若数列xn满足满足 1321nnxxxxx则称数列则称数列xn单调增加单调增加；若数列若数列 xn 满足满足 1321nnxxxxx则称数列则称数列xn单调减少；单调增加和单调减少的数单调减少；单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。列统称为单调数列。第5页/共14页e)11(lim xxx证明思路证明思路: 1. 首先证明数列首先证明数列xn是单调有界数列从而极限存在，是单调有界数列从而极限存在， 其中其中, .)11 (nnnx 2. 其次利用夹逼准则证明其次利用夹逼准则证明e)11(lim xxx3. 再用变量代换法证明再用变量代换法证明e)11(lim xxx4.

5、联合上面两个结论可得联合上面两个结论可得e)11(lim xxx第6页/共14页.)1(,1nnnnxx 其其中中收收敛敛数数列列第一步，证明数列第一步，证明数列xn是单调增加的。是单调增加的。)1()1)(1( )1()1)(1( )1)(1()1(11)1()1)(1( )1)(1()1(11 1 )()()()()1(11211)!1(1111211!11211!3111!211121!121!311!211!12)2)(1(1!3)2)(1(1!2)1(11!1212111010132 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx

6、CCCCxn ，同理同理易见易见 ,.N ,1 nxxnn第7页/共14页)1()1)(1( )1)(1()1(11121!121!311!21nnnnnnnnnx 从而从而,3)(1(211)(1(11 11 11212121212121!1!31!2112 nnnnnx其中我们用了不等式其中我们用了不等式! 21nn (数学归纳法数学归纳法)于是于是, 由单调增加和有界性知数列由单调增加和有界性知数列xn 极限存在极限存在, 记记e)1(lim1 nnn第8页/共14页e)1(lim1 xxx一方面一方面, 当当 x 0 时时, 设设,1 nxn则则xx)1(1 11)1( nn nn)1

7、(11nnn)1(lim11 lim n111)1( nn111 ne 11)1(lim nnn1)1(lim11）（nnnn e e)1(lim1 xxx) ( xn，时时因因第9页/共14页x, )1( tx则则,t从而有从而有xxx)1(lim1 )1(11)1(lim ttt)1(1)(lim tttt11)1(lim ttt)1()1(lim11tttt e 故故e)1(lim1 xxx时时, 令令) e)1(lim)1(lim (11 xxxxxx因因第10页/共14页.)11(lim xxx 求求解解: , xt 令令则则 xxx)11(limttt )11(lim 1lim ttt)1(1 e1 另证另证:,e)1(lim)()(1)( xxx 则则 原式原式 11e)11(lim xxx利用利用第11页/共14页 1. 数列极限存在的夹逼准数列极限存在的夹逼准则则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则 2. 单调有界数列必有极单调有界数列必有极限限在点在点 x0 的某左的某左(右右)邻域内单调且有界的邻域内单调且有界的函数有左函数有左(右右)极限极限3. 两个重要极限两个重要极限1sinlim)1(0 e)11(lim)2( 或或e)1(lim10 ( 形如形如1 的情形要注意用此极限并的情形要注意用此极限并 “凑凑” )第12页/共1