(线性代数课后习题答案）线代习题第五六章

1、( (线性代数课后习题答案线代习题线性代数课后习题答案线代习题第五六章第五六章det( )1det()0 det()det()det() =det(E) )=det(E)det =det() )detdet() =det( ()( 1) det() =dTTTTTnTAEAA AEAAA AEAAAAAAEAAEEAEAEA A 十七、（）设A是奇数阶正交矩阵，且 第五章第1 证明： 因为A6题证是正交矩阵，et()det()0EAEA 所以，11111111n m, ()()() 0, 0 00mmmmmmAOPAP PAP PP PP PPPAPPPPAPAP 十八、（）设 阶非零矩阵A满

2、足（为大于1的整数），证明A不能与对角矩阵相似。：反证法。 则存在可逆矩阵使得由于则，假第五章设对角矩第阵27题证111211 = = 0, = . , A 0000mmmnnnaaOaaaaaOAP PPOPOAO令，不能则这与矛盾与对角矩。所以，阵相似。12312311111000 1, 01011002012,012110 det()0 det()detxAxyByBABABxAEAEA十九、（）求x,y的值，使得下列矩阵A与B相似。：求B的特征值。因为 是对角阵，其特征值为：，由于则 与 有相同的特征值：，第五章第 0，对，3 题解221()0 11011)0 0 )det()020

3、100 xyxxyyyxEEAExxxyxxx 22对，det(A-det(A-所以，111111n,.n, (,) (,) (,) (nTTnnTTnXX AXcX XQQ AQdiagAQ diagQX Q diagQ XAQXX二十、（）设A为 阶实对称矩阵，证明存在实数c, 对一切有：A为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使得 第五章第22题 证R R122211222121122)(,) () max |, , | ,(),)(,TTTnnTTTTnTTnnnTTTTQ X YXdiagQ Xcc yyycY Yc Q XQ XcX QQ XYdiagYyyyX AXcX X令 则121

4、21122312313 0(1,2,2) ,(2,1, 2) ,.0, 0, 0, 0 02 =3A(,)=3(,)=TTTAXAAAAAAx xx 二一、（）设A是3阶实对称矩阵， =3是其一特征值，方程组的基础解系为求： 是 的 重特征值。是 的特征值，设是第五章第24题解对应的特征向量。123323123121233121230220 (2, 2,1)(,)=0220(,)=0,1/32/32/31221(,)2/31/32/321232/32/31/3221Txxxxxx 由于，,两两正交。令Q,1100, 30122012211 0212021233322132214421 4423

5、221QAQAQQ第六章 二次型 局部习题211()n 0, 1,2,0,0,0,1,0,0,1,0 0 (1,2, )0, 10, 0ijn niiTijnnTijijiiiiiTijiiAaAainAXxxX AXa x xa xXXainaiAX） 设为 阶实对称阵，试证：(1)若 是正定的，则：因为 是正定的， 取即例（习题六第8题证对任意总，有其余所以,2,n121111211221222212()n,1,2, )()rijn nnijiijjijn nnnnnnnnnrrAaccbc a ci jnBbcaaaccaaacBcaaacBB例（习题六第12题证（方法1） 设为 阶正定

6、矩阵，c , , 是非零实数， =,(，试证：也是正定矩阵。：的 阶顺序主子式1111211221222222212120, (1,2, )0, (1,2, ) rrnrrrrrrrrrrcaaaccaaacc cccaaacAArnBBrnB 因为 正定，所以 的顺序主子式的顺序主子式所以， 是正定矩阵。1111111122111211n(,)002,()(),00()(), nnnnTijijijijnnijiijjijTnnTnnijiijjijnnTijijijiijjniTjX BXx xx xac xc xYc x c xc xYAY AYac xc xa y yY AYXxxxX

7、 BXbc a c方法 ：令则由于 是正定的，对任意 维向则量所以，B也是正定的。21,3,(),n0,21,(0)()kkTkkkTkTTmmmTTmABABN AaAaEAAAAXkkmmX A XAAA AXXXXXAAT） 证明：（1）设 ， 为对称正定矩阵，则也是。（略） （2）若A是对称正定矩阵，则对任意k也是对称正定的； （ ）若A是实对称矩阵，则必可找到使得也是对称正定的。：(例（习题六第9题证（)所以是对称的。对任意 维向量若 为奇数，2）R R(),0. 0()()()0),2 ,(0)() ()0,TmTmTTmmmmTmTmTkTkmTmTkkA XA A XAA XYA XYAY AYA XAA XY AYAkkm mX A XA XA XXY YXAAAX A X令则由于 是正定的，所以，是正定的。若 为偶数，所以，是正定的。12221122123, n0,() (max|,|0),nTTTTTTnnnTnAaAaEAaEAaEAaEAaEXXAaE XXXaX EXXQYXXyAAXdyyAT（ ）若 是实对称矩阵，则必可找到使得也是对称正定的。：()所以是对称的。对任意 维向量要证明其值存在正交变换使得：令|,| |证（ 其中， ，是 个,值3）实特征。R R22222211221222212()()()0,0,