福建省宁德市高三5月质检理科数学试卷及答案

1、福建省宁德市2014届普通高中毕业班5月质检数学（理科）试卷（2014年5月）本试卷分第i卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效3选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：样本数据x

2、1，x2， ，xn的标准差 锥体体积公式s= v=sh其中为样本平均数其中s为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式v=sh，其中s为底面面积，h为高其中r为球的半径 第i卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1命题p：“若，则”的否命题是a若，则b若，则c若，则d若，则2若向量，则以下向量中与垂直的是abcd3已知复数为虚数单位，集合，若，则等于a1bc2d42正视图侧视图俯视图1224某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为a b c d4 5若函数的最小正周期为，则 的值等于 a2 b c1

3、 d06下列函数中，为偶函数且在内为增函数的是a b 开始结束输入xab？a=b是否输出aa2x b2x+6c2x+4ac？是a=c否c d7已知随机变量x服从正态分布，x的取值落在区间内的概率和落在区间内的概率是相等的，那么随机变量x的数学期望为 a b0 c1 d28设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若（），则的最大值为 a3 b c0 d 9阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入的，则输出的结果可能是a b0c1.5 d310动曲线的初始位置所对应的方程为：，一个焦点为，曲线：的一个焦点为，其中，现将沿轴向右平行移动给出以下三个命题：的两条渐近线与的交点个数可能有3个；

4、 当的两条渐近线与的交点及的顶点在同一直线上时，曲线平移了个单位长度；当与重合时，若，的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，则的离心率为3其中正确的是a b c d第ii卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡相应位置11在的展开式中的系数为 （用数字表示）12一个总体由编号为01，02，49，50的50个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第2行的第3列的数0开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 7432 04 94 2

5、3 49 35 80 20 36 23 48 69 97 28 01 13定义在上的函数过点，且，则的值等于 14已知函数若函数，则该函数的零点个数为 15若实数满足，则的最小值为 （背面还有试题）三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分13分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：成绩52657288666778908根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良（）写出这组数据的众数和中位数； （）将频率视为概率根据样本估计总体的思想，在该校学生

6、中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望17(本小题满分13分) 在中，角所对的边分别为，且（）求角的值；（）若为锐角三角形，且，求的取值范围18(本小题满分13分)oacdbe如图，在三棱锥中， 平面， ，为的中点（）求证：平面；（）若动点满足平面，问：当时，平面与平面所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由19(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，已知曲线上的任意一点到点的距离之和为（）求曲线的方程；（）设椭圆：，若斜率为的直线交椭圆于点，垂直于的直线交曲

7、线于点（i）求证：的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由20(本小题满分14分) 已知数列满足，函数（i）求数列的通项公式；（ii）试讨论函数的单调性；（iii）若，数列满足，求证：21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中 （1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知关于，的二元一次方程组为（）若该方程组有唯一解，求实数的取值范围;（）若，且该方程组存在非零解满足，求的值（2

8、）（本小题满分7分) 选修44：极坐标与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合若曲线的方程为，曲线的参数方程为（） 将的方程化为直角坐标方程；（）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值（3）（本小题满分7分) 选修45：不等式选讲已知函数（）若，求的取值范围;（）在（）的条件下，求的最大值理科数学试题参考解答及评分标准（2014年5月） 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的

9、解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分50分 1b； 2a； 3b； 4b； 5c； 6d； 7c； 8a； 9c ； 10a 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题4分，满分20分 1115 ； 1220； 13； 143； 152 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16本小题主

10、要考查茎叶图、众数、中位数、随机变量的分布列、期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等满分13分解：（）这组数据的众数为86，中位数为86；4分 （）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，5分设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是优良的事件”为a，则；7分（）由题意可得，的可能取值为0，1，2，38分，所以的分布列为012312分13分17本小题主要考查正、余弦定理、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等满分13分解：（）由，得，所以， ，2分

11、由，4分（）由（）得，即，又为锐角三角形，故从而6分由，所以，故，所以8分 11分由，所以，所以，即13分18本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想满分13分解法一：（）在三棱锥中， 平面， 2分又，为的中点，oacdbexyz4分，平面5分（），5分由平面，故以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得7分由平面，故设8分由，得，故，即9分设平面的法向量为，由，得令，得11分又平面的法向量为，12分所以故平面与平面所成的锐二面角为定值，且该锐二

12、面角的余弦值为13分解法二：（），1分由平面，故以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得2分，4分，平面6分（）平面，在过点且与平面平行的平面内，设该平面为又，在底面的射影在直线上，又在过点且与平面垂直的平面内，设该平面为，由，直线与确定平面，点运动时，平面与平面所成的锐二面角为定值故不妨取，8分设平面的法向量为，由，得令，得10分又平面的法向量为， 所以12分故平面与平面所成的锐二面角为定值，且该锐二面角的余弦值为13分19本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

13、思想、数形结合思想等满分13分解法一：（）由椭圆定义可知曲线的轨迹是椭圆，设的方程为，所以，则，故的方程3分（）() 证明：当，为长轴端点，则为短轴的端点，4分当时，设直线：，代入，整理得，即，所以6分又由已知，可设：，同理解得，7分所以8分又，所以的最小值为9分（）存在以原点为圆心且与直线相切的圆设斜边上的高为，由（）()得当时，；10分当时，又，12分由，得，故存在以原点为圆心，半径为且与直线相切的圆，圆方程为13分解法二：（）同解法一；（i）() 证明：证明：当，为长轴端点，则为短轴的端点，4分当时，设直线：，代入，整理得，即，所以6分又由已知，可设：，同理解得，7分所以8分，即 故的最

14、小值为9分（iii）同解法一20本题考查递推数列、函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分14分解：（i），当时，即，对也成立，数列的通项公式为3分（ii），4分当时，当时，；当时，函数的单调增区间是，减区间是；5分当时，令，解得，当时，当时，；当时，；时，函数的单调增区间是和，减区间是；6分当时，函数的单调增区间是，无减区间7分综上所述，当时，函数的单调增区间是，减区间是；当时，函数的单调增区间是和，减区间是；当时，函数的单调增区间是，无减区间（iii）当时，由且，故8分要证，即证，即证由（ii）得在上单调递增，所以，所以，即成立11分要证，由，即证，即证，即证设，所以在上单调递增，从而，即成立综上，14分21（1）本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分7分解：（）该方程组有唯一解