1质数合数分解质因数-题库教师版-2

1、5-5质数合数分解质因数逊左教学目标本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数 合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂 许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体 系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与 之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这 一Ii个方法能够熟练并且灵活运用。I.J-?I j Imum 知识点拨1 质数与合数、一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）. 一个数除了 1和它本身，还有别的约数，

2、这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2和5,其余的质数个位数字只能是1, 3, 7或9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余质数个位数字只能是1, 3, 7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2. 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两

3、个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30 =2 3 5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12=2 2 3 =3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数 约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.I3. 唯一分解定理I . i I /任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即： n =p；1 p? p?川p暑其中为质数,印g ：川III何为自然数，并且这种表示是唯一 的.该式称为n的质因子分解式. jI例如：三个连续

4、自然数的乘积是 210,求这三个数.分析：T 210=2X 3X 5X 7,二可知这三个数是 5、6和7.II ”4. 部分特殊数的分解111 =3 37 ； 1001=7 11 13 ；11111=41 271 ； 10001 =73 137 ； 1995=3 5 7 19 ；1998=2 3 3 3 37 ； 2007=3 3 223 ； 2008=2 2 2 251 ； 10101=3 7 13 37.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p的质数q（均为整数），使得q能够整除p, 那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p的质数去除p就可以了；但是 这样的计算

5、量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近 p的平方数 K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近144=12 12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.：Lhi二例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1 56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们 对应的字依次

6、排成一行，组成一句话，请写出这句话.【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋12 345 |6 7 8 9101112 1314杯赛联谊欢声响,念1笑慰来者多;151617 18192021 22 23242526 2728九天九/ 1/ 霄志凌云,九七共庆手相握;293031 32333435 36 37383940 4142聚起华夏中兴力,同唱移山壮丽歌.434445 46474849 50 51525354 5556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚 中山.【巩固】（2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练）炎黄骄子 菲尔兹奖

7、被 誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家.华人数学家丘 成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖.我们知道正整数中有 无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定 理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组.例 女口，k=3时，3, 5, 7是间隔为2的3个质数；5, 11, 17是间隔为6的 3个质数：而, , 是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）.【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12,所以2不能在所要求 的数组中.而且由于个位是5的质数只有一个5,所以个位是3的质数不 能作为第一个质数和

8、第二个质数，可参照下表：第一个质救第二个质戳第三个质数满足要求亦51?29Z71931V172941193143294153374961475971【巩固】（2003年“祖冲之杯”邀请赛）大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲 之，计算出n的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把 n的值精确到7位小数的人.现代人利用计算机已经将n的值计算到了小 数点后515亿位以上.这些数排列既无序又无规律.但是细心的同学发 现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在 3141, 31415, 314159, 3141592, 31415926, 31415

9、927 中，哪些是质数？.【解析】注意到 3141, 31415, 3141592, 31415926, 31415927依次能被 3, 5, 2, 2, 31整除，所以，质数是314159.【巩固】（2004年全国小学奥林匹克）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而 且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】这样的自然数有4个：23, 37, 53, 73.例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。【巩固】如果a, b均为质数，且3a+7

10、b = 41，则a+b=.【解析】根据题意a,b中必然有一个偶质数2,当a = 2时，b = 5，当b = 2时不符合 题意，所以a b =2 -5=7.【巩固】A, B, C为3个小于20的质数，A B C =30，求这三个质数.【解析】因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只 能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能 为11和17,所以这三个质数分别是2 , 11 , 17.【巩固】已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【解析】最小的合数是4,其平方为16.我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以 这3个质数中必然

11、有2,那么其余2个的和是14,只能一个是3 一个是 11,因此这3个质数的乘积是2 3 11=66 .【巩固】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数.同时， 她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a = b，而且ab和ba都是质数（a和b是两个数字）.具有这种形式的数共有多少个？【巩固】若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5,故有1331, 3113, 1771, 7117, 7337, 3773, 9779, 7997 共 8 个数.例 3】（“祖冲之杯”小学数学邀请赛）九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆 至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑.如

12、果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘 余下的大巴.那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均 分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人 22 23 23 =232 =529 （个）.【巩固】（俄罗斯数学奥林匹克）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同.如 果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数 0,2,4, 6, 8也不可能是奇数5.如 果末位数字是3或9,那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整 除

13、，这就不是质数了.所以个位数只能是 7.这个三位质数可以是167, 257, 347, 527或617中间的任一个.【巩固】（第五届“华杯赛” 口试第15题）图中圆圈内依次写出了前25个质数; 甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之 积填在下行方格中.81223711561535质数列乙填积数13问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同 ？为什么？【解析】质数中只有一个偶数2,其余的质数均为奇数.所以甲填的“和数”中除第一个是奇数 5夕卜，其余的均为不小于8的偶数.乙 填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数.所 以甲填的数与乙填的数都不相同.【巩固

14、】（全国小学数学奥林匹克）从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相 邻的两数之和都是质数.排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时 针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】由于质数除了 2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间 排列.切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低 位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9,第二位选8, 第三位最大可以选 乙但7与8之和不是质数，再改选5, 8与5之和是 质数，符合要求.第四位可选剩余的最大数字 6,如此类推十位可选 3,个位选2.所以，可以读到的最大数是 98567432.数字排列如下图.【巩固

15、】（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）用L表示所有被3除余1的全体正 整数.如果L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除， 称此数为“ L质数”.问：第8个“L质数”是什么？【解析】“L 数”为 1,4,7,10, 13,16,19,22, 25,28,31, 34,.“L质数”应为上列数中去掉1, 16, 28,，即为4, 7, 10, 13, 19, 22, 25, 31, 34,.所以，第8个“L质数”是31.例 4】9个连续的自然数，每个数都大于 80,那么其中最多有多少个质数？请 列举和最小的一组【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外

16、的质数的熟练情况，有101, 103, 107, 109是4个质数。【巩固】（我爱数学少年数学夏令营）用0, 1, 2,，9这10个数字组成6个质 数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500,那么共有多少种不同 的组成6个质数的方法.请将所有方法都列出来.【解析】除了 2以外，质数都是奇数，因为09中只有5个奇数，所以如果想组 成6个质数，则其中一定有2.又尾数为5的数中只有5是质数，所以5 只能单独作为6个质数中的一个数.另4个质数分别以1, 3,乙9为个 位数，从而列举如下：2 , 3, 5, 7, 41, 89, 2 , 3, 5, 7, 61, 89, 2 , 3, 5, 7, 8

17、9, 401, 2, 3, 5, 7, 89, 461, 2, 3, 5, 7, 61, 409 , 2 , 3, 5, 47, 61, 89, 2 , 3 , 5 , 41 , 67 , 89 , 2 , 3 , 5 , 67 , 89 , 401 , 2 , 5 , 7 , 43 , 61 , 89, 2, 5 , 7 , 61 , 83 , 409.即 共有10种不同的方法.【巩固】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？【解析】考虑到质数中除了 2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2； 又质数中除了 2和5,其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这

18、5个 质数中最小的数其个位数字为 1，则比它大24的数个位即为5，不可能 是质数；若最小的数其个位数字为 3,则比它大12的数个位即为5,也 不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是 7和9，因此最 小的数只能是5,这5个数依次是5，17, 29, 41, 53.这样的数只有一 组.例 5】用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这9个数字组成质数，如果每个数字都 要用到并且只能用一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数.【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、& 9这5个不是质数的数字未用.有1、4、 8、

19、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67.所以这9个数 字最多可以组成6个质数。I1 II /【巩固】有三张卡片，它们上面各写着数字1, 2, 3,从中抽出一张、二张、三张， 按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你 将其中的质数都写出来.【解析】抽一张卡片，可写出一位数 1, 2, 3;抽两张卡片，可写出两位数 12,13, 21, 23, 31, 32;抽三张卡片，可写出三位数 123, 132, 213, 231, 312, 321，其中三位数的数字和均为6,都能被3整除，所以都是合数. 这些数中，是质数的有：2, 3, 13, 23, 31.【巩固】某

20、质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质 数？把它们写出来.【解析】有六个这样的数，分别是 11, 13, 17, 23, 37, 47.【例6】7个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶 数，那么d是多少？【解析】因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是 偶数的质数只有2,因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的 质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以g=2.其他6个数从 大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样d=7.【巩固】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个 面上

21、，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地 上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【解析】小于20的质数有2 ,3 ,5 ,7 , 11 ,13 , 17 ,19，其中5 17 11T 13：每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和 最小是5 5 5 =15，最大是19 19 157，经试验，三个数的和可以是从15到 57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。【巩固】A=（【解析】【巩固】【解析】【例7】【解析】【巩固】【解析】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质， 那么A最小是几？）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+

22、（ ）=（ ）+（） 首先列出前几个合数 4，6，8，9，10, 12，14，15, 16，18, 20，21, 22, 24, 25, 26, 27, 28,因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数， 要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找 出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29即A的最小值为29。大部分的题考的都是 质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油.每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8, 9, 10, 11, 12, 13.已知4只空瓶的重量之 和以

23、及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共重（8 9 10 11 12 13）亠3=21（千克）而油重之和及瓶 重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于 2是唯一的偶质数，只有 两种可能： 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重1千克，2最重的两瓶内的油为13：2=12（千克）. 油重之和为2千克，瓶重之和2为19千克，每只瓶重19千克，最重的两瓶内的油为（千克），这442与油重之和2千克矛盾.因此最重的两瓶内共有12千克油。将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大 的

24、质数是多少最大的质数必大于5 ,否则10个质数之和将不大于50 ,又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2!卩8个7与2个2的和为60,故其中最大的质 数是7.将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最 大的质数是多少？若要求最大的质数尽可能大，则其余 9个质数应尽可能小，最佳的方案 是9个2。但是此时剩余的数为32,不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2, 1个3,那么第10个数为31【巩固】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法 中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？【解析】枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法

25、？1. 数不大，种类比较少2. 没有规律，不能用排列组合等方法3. 能有方法做的时候建议不采用枚举的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17共有10种不同的拆法，其中3X 5X 29=435最小【巩固】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康 数，那么最大的智康数是几？【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到 智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8，它们的和是18,则比

26、18小的数一定都不是智康数，而比18大的 数中，我们可以分为与18的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与18的 差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数， 可以写作4+6+(8+2n),如果 与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数， 所以最大的智康数为17。模块二、分解质因数”一-I例 8】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少？【解析】111555分解质因数：111555 =3 3 5 37 67 =( 3 3 37) ( 5 67)=333 335，所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，I ”例如本题中的

27、11仁3 37。【巩固】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【解析】210分解质因数：210 =2 3 5 7，可知这三个数是5、6和7。【巩固】把26, 33, 34, 35, 63, 85, 91, 143分成若干组，要求每组中任意两 个数的最大公约数是1,那么至少要分几组.【解析】要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少【巩固】把40, 44, 45, 63, 65, 78, 99, 105这八个数平分成两组，使每组四 个数的乘积相等。【解析】40 =23 5 , 44 =22 11 , 45

28、 =5 32 ,63 =7 32 , 65 =5 13 ,78 = 2 3 13 , 99 =32 11 ,105=3 5 7 ,要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2,第一组含有40,第二组含有44 , 78 ,再看11,13 ,第一组应 有40 , 99 , 65 ,再看5第二组应有44 , 78 , 45 , 105,最后看乙第一组 应有 40 , 99 , 65 , 63.I例 9】4个一位数的乘积是360 ,并且其中只有一个是合数，那么在这4个数i I |/字所组成的四位数中，最大的一个是多少？II I【解析】将360分解质因数得360 =2 2 2 3 3

29、5 ,它是6个质因数的乘积.因为题;I I述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为6 一 3 = 3个质因数的.积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3 , 3 , 5 ,8,所组成的最大四位数是8533.【巩固】将19九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48 , 第二组三个数的乘积是45 ,第三组三个数字之和最大是多少？【解析】分解质因数45=3 3 5 , 48=2 2 2 2 3 ,可知45只能是1 , 5 , 9的乘积，而48可能是2 , 4 , 6或2 , 3 , 8或1 , 6 , 8（舍去）,则第三组的三个数可能是3 , 7 , 8或4 ,

30、6 , 7 ,其中和最大的是3 7 8=18.【例10】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209 ,如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c ,有正面和上面的和为ac+ab=209.ac+ab二ax (c+b)=209，而 209=11 x 19.当a=11时，c+b=19,当两个质数的和为奇数，贝S其中必定有一个数为 偶质数2,则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9, b为9不是质数，所以不满足题意.所以它们的乘积为11X 2X 17=374.【巩固】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数

31、，它的体积是 39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？【解析】39270=2x3X5X 7x 11x 17,为三个连续自然数的乘积，而 34x 34x34 h” I II最接近39270, 39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有II I33x 34x35=39270.所以33、34、35为满足题意的长、宽、高.则长方I I体的表面积为：-一-I2x （长 x 宽 + 宽 x 高 + 高 x 长）=2 x （33 x 34+34x 35+35x 33）=6934（平 方厘米）.方法二：39270=2x 3x 5x7x 11 x 17,为三个连续自然数的乘积，考

32、I.”虑质因数17,如果17作为长、宽或高显然不满足.当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7,与34接 近的数3236中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一 条边的长度.而39270的质因数中只剩下了 3和11，所以这个长方体 的大小为 33 x 34 x 35 . 长方体的表面积为 2x （型卫 + 型卫 +39270 ）=2 x （1190+1155+1122）=2 x 3467=6934（平方厘333435米）.【巩固】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？【解析】我们知

33、道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小.如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小，为8. 1998=2X 3X 3X 3X 37, 37是质数，不能再分解，所以2X 3X3X 3对应的两个数应越接近越好.有2X 3X 3X 3=6X 9时，即1998=6X 9X 37时，这三个自然数最接近.它们的和为6+9+37=52(厘米).【例11】(老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥 叫三毛，那老四叫什么？)大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年 龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？【解析】题中告诉我们，

34、48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 一-、II，”. I I48384=28 33 7 =(22 3) (2 7) 24 (2 32) =12 14 16 18，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差 2的四 J个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、&又因为 104 : 48384，而 48384 : 204 ,所以可以断定，这四

35、个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是 12岁、14岁、16岁、18岁【巩固】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13,甲比乙大13岁，那么乙今年多大？【解析】个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有 67,三位数 中为167,再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40,27岁，或者90，77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。【例1】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？【解析】将6384分解质因数，6384=2 2 2 2 3 7 19，

36、则其中必有一个数是19或19的 倍数； 经试算，19-5=14=2 7， 19 5=24=2 2 2 3，恰好 14 19 24=6384，I所以这三个数即为14，19，24. 一般象这种类型的题，都是从最大的那个I 1即可)当该数被8整除时，该数可表示为4 (2n) 8 , n 1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4 (2n) 9, n 1,所以大于等于25 的被8除余1都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4 (2n)10, n 1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4 (2n)27, n 1,所以大于等于43的被8除

37、余3的都可表示 当该数被8除余4时，该数可表示为4 (2n) V,所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4 (2n)21,所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4 (2n)(,所以大于等于22的被8 除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4 (2n厂15,所以大于等于31的被8 除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是 43-8=35经检验，35的确无论如何也不能表示成合数X合数+合数的形式，因此我I I1 I I./们所求的最大的数就是35例 7】 已知P,Q都是质数，并且P 11-Q 93=2003，则P Q

38、=【解析】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看 2003是一个奇数，那么前面2个 乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。 由大小关系可以发现只能 Q是2,解出P=199,PX Q=398【巩固】将1到9这9个数字在算式二丄 的每一个括号内各填入一个数()()(1)字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数？【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2, 3, 5, 7将原始代入字母分析有2二归竺二丄，即有cb_ad =1，那么很容易发现只a c a：c axe有3X 5-2 x 7=

39、1。符合原式的填法为丄。7535【巩固】三个质数、口、0,如果口 . , v-O，那么是多少？【解析】除了 2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以、口必有一个偶质数2,又因为口 . .1,所以 =2I ”I I II I ” I I【例8】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 J共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 =1 32 =2 3仁3 30 = |川卄=16 17，共有16种形式

40、，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有 111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111 =37 3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？ )3倍就不是两位数了 .把九个三位数分解：111=37 3、222=37 6=74 3、333=37 9、444=37 12=74 6、 555=37 15、666=37 18=74 9、777=37 21、888=37

41、24=74 12、999=37 27 .把两个因数相加，只有(74 *3)=77和(37 *18)=55的两位数字相同.所以满 足题意的答案是74和3, 37和18.【巩固】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一 个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是 936.如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多少？【解析】注意936中有质因数13,故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有13 72， 26 36， 39 24， 52 18， 78 12这5种可能，由于两人各抄错了一个 数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同.经枚举可知，他们I I I

42、 /所抄错的算式可能是(13 72， 18 52)，( 13 72，12 78)， ( 26 36，24 39) . hT| _.卜或(52 18， 12 78).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数广、II .I字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是13 52或18 72，后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是13 52 =676. 对后三种情况作类似分析，可得出2 3 = 6种可能的原乘法算式，但它们的 结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求.I【例12】如果某整数同时具备如下三条性质：这个数与1的差是质数，这个数除以2所得的商也是质数，这个

43、数除以9所得的余数是5,那么我 们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【解析】由条件可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍， 即此幸运数为2p，则p的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23,29, 31, 37, 41, 43, 47。于是 2 p-1 的所有可能取值为 9, 13, 21, 25,33, 37, 45, 57, 61, 73, 81, 85, 93。根据题目条件，2p-1 应为质 数，因此2p-1只可能为13, 37, 61或73。再由条件知2p-1除以9所得的余数应为4,于是2p-1只可能是13,从而这个幸运数只能是2 p =14o【巩固】如果一个数，将它的数字倒排