【数学】高二数学必修五数列

1、名师精编欢迎下载第 3 讲 等比数列及其前 n 项和1. 等比数列的有关概念1等比数列的定义假如一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 qq 0表示数学语言表达式：anqn2， q 为常数an 12等比中项假如 a，g，b 成等比数列，那么 g 叫做 a 与 b 的等比中项即： g 是 a 与 b 的等比中项 . a，g，b 成等比数列 . g2 ab.2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1) 如等比数列 an 的首项为 a1，公比是 q，就其通项公式为 an a1qn 1；n m如等比

2、数列 an 的第 m 项为 am，公比是 q,就其第 n 项 an 可以表示为 an amq.a1 1qn(2) 等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，snna1；当 q1 时，sna1 anq 1q .3. 等比数列及前 n 项和的性质1q(1) 如 an 为等比数列，且 kl m nk， l，m， n n*，就 akalaman.(2) 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak 2m，仍是等比数列，公比为 qm.(3) 当 q 1，或 q 1 且 n 为奇数时， sn， s2n sn，s3n s2n 仍成等比数列， 其公比为 qn.(4) 如 a ， b1 项数相同

3、是等比数列，就 a 0， a2 ， aanb ，nnnannnnbn仍是等比数列考点一等比数列的判定与证明【例 1】 2021 济宁测试 设数列 an 的前 n 项和为 sn，如对于任意的正整数 n都有 sn 2an 3n，设 bnan 3.求证：数列 bn 是等比数列，并求 an.规律方法 证明数列 an 是等比数列常用的方法： 一是定义法，证明anqn2，an 12q 为常数；二是等比中项法，证明 an an 1an 1 .如判定一个数列不是等比数列，就只需举出反例即可，也可以用反证法【训练 1】 2021 陕西卷 设 an 是公比为 q 的等比数列(1) 推导 an 的前 n 项和公式；

4、(2) 设 q1，证明数列 an 1 不是等比数列考点二等比数列基本量的求解【例 2】 2021 湖北卷 已知等比数列 an 满意： |a2 a3|10，a1a2a3125. 1求数列 an 的通项公式；12是否存在正整数 m，使得 a 111？如存在，求 m 的最小值；如不1a2am存在，说明理由规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于娴熟把握等比数列的有关公式并能敏捷运用，特殊需要留意的是， 在使用等比数列的前 n 项和公式时， 应当要分类争论， 有时仍应善于运用整体代换思想简化运算过程【训练 2】 1已知 an 是首项为 1 的等比数列， sn 是

5、 an 的前 n 项和，且 9s31s6，就数列 an 的前 5 项和为2设 an 是由正数组成的等比数列， sn 为其前 n 项和已知 a2 a41，s37，就s5.【例 3】 12021考点三等比数列性质的应用新课标全国卷 已知 an 为等比数列， a4 a72，a5a6 8，就 a1a10a 7b 5c 5d72等比数列 a 的首项 a 1，前 n 项和为 s ，如s1031q.n1ns5 32，就公比规律方法 娴熟把握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多， 主要是考查 “等积性” ，题目“ 小而巧”且背景不断更新 解题时要善于类比并且要能正确区分等差、 等

6、比数列的性质， 不要把两者的性质搞混【训练 3】 1已知 x，y，zr，如 1，x，y，z， 3 成等比数列，就 xyz的值为a 3b3c 33d3322021 昆明模拟 在各项均为正数的等比数列 an 中， a3 21，a5 21，326就 a22aa aa 37a 4b 6c8d 8 4 21. 等比数列的判定方法有以下几种：an 1*(1) 定义： an qq 是不为零的常数， n n. an 是等比数列(2) 通项公式： ancqn 1c、q 均是不为零的常数， n n*. an 是等比数列n1(3) 等比中项法： a2anan2anan1an20，nn* . an 是等比数列2. 方

7、程观点以及基本量 首项 a1 和公比 q思想仍旧是求解等比数列问题的基本方法：在 a1，q，n，an， sn 五个量中，知三求二 3在求解与等比数列有关的问题时，除了要敏捷地运用定义和公式外，仍要注意等比数列性质的应用，以削减运算量而提高解题速度基础巩固题组一、挑选题12021 六安二模 已知数列 an 的前 n 项和 sn3n 2， n n*，就a. an 是递增的等比数列b. an 是递增数列，但不是等比数列c. an 是递减的等比数列d. an 不是等比数列，也不单调722021 广州模拟 已知等比数列 an 的公比 q2，前 n 项和为 sn.如 s32，就s6 等于31a. 2b.6

8、32c63d.127232021 新课标全国卷 等比数列 an 的前 n 项和为 sn.已知 s3a210a1， a5 9，就 a13a. 1b 1c.1d 13994在等比数列 an 中， a37，前 3 项之和 s321，就公比 q 的值为2a 1b 1c1 或 1d 1 或12252021 浙江十校联考 如方程 x2 5xm0 与 x210x n0 的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为 1 的等比数列，就 mn 值为11a. 4b.2c 2d4二、填空题，如s103162021 江西九校联考 实数项等比数列 an 的前 n 项的和为 sn公比 q 等于s5 32，就7在等比数列 an

9、中， a1a2 30，a3 a460，就 a7 a8.8设等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 sn，如 sn 1 ，sn，sn 2 成等差数列， 就 q 的值为三、解答题9在数列 an 中，已知 a1 1，且 an12an3n 4n n* 1求证：数列 an 1an3 是等比数列；2求数列 an 的通项公式及前 n 项和 sn.102021 济南期末 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn，且满意 a24，a3 a4 17.(1) 求 an 的通项公式；(2) 设 bn2an2，证明数列 bn 是等比数列并求其前n 项和 tn.1. 公式法(1) 等差数列的前 n 项和公式：第

10、4 讲 数列求和snn a1an2na1n n12d.(2) 等比数列的前 n 项和公式：na1， q 1，sna1anqna1 1 q，q1.1q1q2. 数列求和的几种常用方法1分组求和法一个数列的通项公式是由如干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，就求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3) 错位相减法假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的(4) 倒序相加法假如一个数列 an

11、 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法， 如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的(5) 并项求和法在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，就称之为并项求和 形如 an1nfn类型，可采纳两项合并求解例如， sn 1002992982972 22121002992 982972 22 1210099 9897 21 5 050.3. 常见的拆项公式11111n n1 nn ；1211 1；2n1 2n112 2n12n13 n 1 n.n n 1数列求和的常用方法11辨 析 感 悟1111当 n2 时， n21n n

12、 .(2) 求 sn a 2a23a3 nan时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可依据错位相减法求得 (3) 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1 sin2 2 sin2 3 sin2 88 sin2 89 44.5.42021 南京调研改编 如 sn 1 2 3 4 1n 1n，就 s50 25. 感悟提升两个防范一是用裂项相消法求和时，留意裂项后的系数以及搞清未消去的项， 如1二是含有字母的数列求和， 常相伴着分类争论， 如2中 a 需要分 a0，a 1，a1且 a0 三种情形求和，只有当 a1 且 a0 时可用错位相减法求和 .考点一分组转化法求和【例

13、1】 已知数列 an 的通项公式是 an 23n 11nln 2ln 3 1nnln 3，求其前 n 项和 sn.规律方法 1等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解2奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式【训练 1】 2021 湖州质检 在等比数列 an 中，已知 a1 3，公比 q1，等差数列 bn 满意 b1a1， b4a2，b13a3.(1) 求数列 an 与 bn 的通项公式；(2) 记 cn 1nbnan，求数列 cn 的前 n 项和 sn.考点二裂项

14、相消法求和n【例 2】 2021 江西卷 正项数列 an 的前 n 项和 sn 满意： s2n2 n 1snn2 n0.(1) 求数列 an 的通项公式 an；n1*2(2) 令 bn64tn 5 .n22，数列 bn 的前 n 项和为 tn，证明：对于任意的 nnan，都有*规律方法 使用裂项法求和时，要留意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不行漏写未被消去的项， 未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【训练 2】2021 滨州一模 已知数列 an 的前 n 项和是 sn，且 sn1n1nn (1) 求数列 an 的通项公式；1*2a111(2) 设 bn

15、log1sn 1nn，令 tn b1 b2b2b b，求 tn.33考点三错位相减法求和nbn 1【例 3】 2021 山东卷设等差数列 an 的前 n 项和为 sn，且 s44s2，a2n2an 1.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设数列 bn 的前 n 项和为 tn，且 tn求数列 cn 的前 n 项和 rn.an1*2n为常数 ，令 cnb2n，nn ，所规律方法 1一般地，假如数列 an 是等差数列， bn 是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采纳错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比，然后作差求解2在写出 “sn”与“qsn”的表达式时应特殊

16、留意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步精确写出“ snqsn”的表达式【训练 3】 2021 嘉兴二模 在数列 an 中， a1 2， an 13an2. 1记 bnan1，求证：数列 bn 为等比数列；2求数列 nan 的前 n 项和 sn.数列求和的方法技巧1倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和 2错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和3分组求和：用于如干个等差或等比数列的和或差数列的求和基础巩固题组一、挑选题1等差数列 an 的通项公式为 an2n1，其前 n 项和为 sn，就数列snn 的前 10项的和为na 120b70c75d100 2如数列 an 的通项公式为 an2 2n1，就数列 an 的前 n 项和为 a 2nn21b2n 1 n21c 2n1n22d2n n 2n 13数列 an 的前 n 项和为 sn，已知 sn1234 1n，就 s17a 9b 8c 17d16 42021 西安质检 已知数列 an 满意 a1 1，an 1an2nn n* ，就 s2 012 a 22 012 1b 321 006 3c321 0061d 321 005 2f n52021 杭州模拟 已知函数 fxx22bx 过1,2点，如数列 1的前 n 项和为sn，就 s2 014 的值为a.2 0122 011二、填空题2 010b.