221椭圆及其标准方程

1、 ?,.,会会得得到到什什么么图图形形呢呢的的夹夹角角如如果果变变平平面面与与圆圆锥锥轴轴线线一一个个圆圆是是线线截截面面与与圆圆锥锥侧侧面面的的交交截截口口曲曲线线圆圆锥锥截截的的轴轴的的平平面面用用一一个个垂垂直直于于圆圆锥锥我我们们知知道道 tionsconic sec.,圆圆锥锥曲曲线线统统称称为为椭椭圆圆、抛抛物物线线、双双曲曲线线我我们们通通常常把把圆圆、物物线线、双双曲曲线线它它们们分分别别是是椭椭圆圆、抛抛截截口口曲曲线线可可以以得得到到不不同同的的轴轴夹夹角角不不同同时时当当截截面面与与圆圆锥锥的的的的平平面面截截圆圆锥锥轴轴用用一一个个不不垂垂直直于于圆圆锥锥的的如如图图腊

2、腊尔尔基基1F2FM112 .图图 ?,?,),.(,.,足足的的几几何何条条件件吗吗满满动动点点你你能能说说出出移移动动笔笔尖尖在在这这一一过过程程中中曲曲线线画画出出的的轨轨迹迹是是什什么么移移动动笔笔尖尖拉拉紧紧绳绳子子上上铅铅笔笔套套图图处处分分别别固固定定在在图图板板的的两两点点段段距距离离一一如如果果把把细细绳绳的的两两端端拉拉开开画画出出的的轨轨迹迹是是一一个个圆圆动动点点这这时时笔笔尖尖动动笔笔尖尖移移拉拉紧紧绳绳子子套套上上铅铅笔笔定定在在图图板板的的同同一一点点处处把把它它的的两两端端都都固固细细绳绳的的长长条条定定取取一一究究探探112 .,形象地展现探究过程形象地展现探

3、究过程操作打开的几何画板操作打开的几何画板.,点的距离和等于常数点的距离和等于常数即笔尖到两个定即笔尖到两个定细绳的长度保持不变细绳的长度保持不变程中程中移动笔尖的过移动笔尖的过距离距离把细绳的两端拉开一段把细绳的两端拉开一段.,圆的性质圆的性质并通过方程研究椭并通过方程研究椭建立椭圆的方程建立椭圆的方程坐标系坐标系选择适当的选择适当的何特征何特征下面我们根据椭圆的几下面我们根据椭圆的几之之?,单单系系才才能能使使椭椭圆圆的的方方程程简简你你认认为为怎怎样样选选择择坐坐标标观观察察椭椭圆圆的的形形状状思思考考.,立它的方程立它的方程建建选择适当的坐标系选择适当的坐标系们根据椭圆的几何特征们根据

4、椭圆的几何特征我我立圆的方程的过程立圆的方程的过程类比利用圆的对称性建类比利用圆的对称性建xyOccM1F2F212 .图图.,.xOyyFFxFF系建立直角坐标轴线为的垂直平分线段轴的直线为两焦点以经过椭圆如图2121212 xyOccM1F2F212 .图图 .,.,aFFMccFFccyxM200022121和等于的距离的与又设坐标分别为的那么焦点为距椭圆的焦一点是椭圆上任意设 .|,aMFMFMP221 椭圆就是集合由椭圆的定义 ,| ,|222221ycxMFycxMF 因为 . aycxycx22222 所以得右边将左边的一个根式移到为化简这个方程, ,22222ycxaycx 得

5、将这个方程两边平方, ,222222244ycxycxaaycx ,222ycxacxa 整理得得上式两边再平方,2222222222422yacacxaxaxccxaa ,22222222caayaxca 整理得 1122222222., cayaxcaa得两边同除以.,02222 cacaca所以即由椭圆的定义可知?,.的线段吗的线段吗从中找出表示从中找出表示你能你能观察图观察图思考思考22312caca yOx1F2FP312 .图图,| ,| ,.cOFOFaPFPF 2121312可知由图,|.|2222caPObcaPO 令 20112222. babyax式就是那么 .,椭椭圆圆

6、上上的的解解为为坐坐标标的的点点在在都都在在方方程程即即以以的的距距离离之之和和为为个个焦焦点点为为坐坐标标的的点点到到椭椭圆圆的的两两解解的的以以方方程程点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程椭椭圆圆上上任任意意一一看看到到可可以以程程过过述述上上从从22002221acFcFyx .,.,2221002baccFcFx 这这里里别别是是两两个个焦焦点点分分轴轴上上它它的的焦焦点点在在叫叫做做我我们们把把方方程程这这样样椭椭圆圆的的标标准准方方程程1F2FOMxy ?,.什么什么是是椭圆的方程椭圆的方程那么那么义同上义同上的意的意分别为分别为的坐标的坐标且且轴上轴上在在如果焦点如果焦点如图如图

7、思考思考baccFFyFF004122121 ,012222 babxay此时椭圆的方程是此时椭圆的方程是容易知道容易知道.准方程准方程这个方程也是椭圆的标这个方程也是椭圆的标412 .图图 .,求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程并且经过点并且经过点标分别是标分别是已知椭圆的两个焦点坐已知椭圆的两个焦点坐例例 232502021,10223225232252222 a2由椭圆定义知.,.6410210222 cabca故又则.,161022 yx所求椭圆的标准方程为因此?的方程吗的方程吗你还能用其他方法求它你还能用其他方法求它设设?,.,.什么什么为为的轨迹是什么的轨迹是什么的中点的中点线段线段

8、在圆上运动时在圆上运动时点点当当为垂足为垂足轴的垂线段轴的垂线段作作过点过点上任取一点上任取一点在圆在圆如图如图例例MPDPDPDxPPyx4512222 xyPMDO512 .图图.,.,的坐标所满足的方程的坐标所满足的方程的方程得到点的方程得到点的坐标满足圆的坐标满足圆并由点并由点坐标之间的关系式坐标之间的关系式与点与点的中点得到点的中点得到点为线段为线段我们可以由我们可以由运动运动点点的运动引起的运动引起点点上运动上运动在圆在圆点点分析分析MPPMPDMMPyxP422 .,形成轨迹的过程形成轨迹的过程观察点观察点操作打开的几何画板操作打开的几何画板MxyPMDO512 .图图 .,20

9、000yyxxyxPyxM 则的坐标为点的坐标为设点解, yxyxyxP所以上在圆因为点 ,44122200 yxyyxx得代入方程把.的轨迹是一个椭圆所以点即Myx1422 .,方程常用的一种方法方程常用的一种方法迹迹这是解析几何中求点轨这是解析几何中求点轨的轨迹方程的轨迹方程得到点得到点然后消去然后消去之间的关系之间的关系与中间变量与中间变量的坐标的坐标寻找点寻找点中中在例在例MyxyxyxM00002?的的关关系系吗吗你你能能发发现现椭椭圆圆与与圆圆之之间间从从例例思思考考2xMyABO612 .图图 .,.,.的轨迹方程的轨迹方程求点求点且它们的斜率之积是且它们的斜率之积是相交于点相交于点直线直线的坐标分别为的坐标分别为设点设点如图如图例例MMBMAMBA9405056123 .,.,的轨迹方程的轨迹方程得出点得出点关系式关系式之间的之间的因此可以建立因此可以建立的斜率之积是的斜率之积是由于直线由于直线的式子表示的式子表示的斜率就可以用含的斜率就可以用含那么直线那么直线的坐标为的坐标为设点设点分析分析MyxBMAMyxBMAMyxM94 .察轨迹的形