高等数学上38方程的近似解课件

1、上页下页结束返回首页).(xss 单调增加函数单调增加函数.12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率.dsdK 曲率的计算公式曲率的计算公式.)1(232yyk 复习上页下页结束返回首页D)(xfy ,曲曲率率中中心心 D.1曲率半径曲率半径 k xyo.曲率圆曲率圆上页下页结束返回首页基本思想Aa1 xyo1：确定根的隔离区间：确定根的隔离区间2：以隔离区间端点作为：以隔离区间端点作为根的初始近似值，再用根的初始近似值，再用一些方法加以改善精度一些方法加以改善精度Bb12aba 3.8 方程的近似解方程的近似解( ) , ( )( )0(

2、)( , )f xa bf af bf xa b 设设在在区区间间上上连连续续，则则方方程程在在内内至至少少有有一一个个实实根根 上页下页结束返回首页一、问题的提出求近似实根的步骤：求近似实根的步骤：确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离区间根的隔离区间 , , a ba b确确定定一一个个区区间间使使所所求求的的根根是是位位于于这这个个区区间间内内的的实实根根区区间间称称为为所所求求实实根根的的唯唯一一隔隔离离区区间间问题：问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计希望寻求方程近似根的有效计算方法算方法

3、3.8 方程的近似解方程的近似解上页下页结束返回首页轴交点的大概位置轴交点的大概位置定出它与定出它与的图形，然后从图上的图形，然后从图上如图，精确画出如图，精确画出xxfy)( 以以根的隔离区间的端点作为根的初始近似根的隔离区间的端点作为根的初始近似值值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根满足精确度要求的近似实根常用方法常用方法二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）上页下页结束返回首页二、二分法区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅有一个实根内仅有一个实根在在且方程且方程，上连续，上连续，在区间

4、在区间设设,),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那那末末如如果果110)( f作法：作法：11 , ().2aa bbf 取取的的中中点点，计计算算,)()(1111bbaaff 同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 上页下页结束返回首页,)()(1111 baabff同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(211111ababba 及及也也有有 总之，总之，);(211111ababba 且且时时，可可求求得得当当 二、二分法区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅

5、有一个实根内仅有一个实根在在且方程且方程，上连续，上连续，在区间在区间设设,),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf 作法：作法：上页下页结束返回首页);(21)(21,2222211211ababbababa 且且时时，可可求求得得当当复复上上述述做做法法，作作为为新新的的隔隔离离区区间间，重重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重复如此重复 小小于于的的近近似似值值，那那末末其其误误差差作作为为或或如如果果以以)(21abbannn 上页下页结束返回首页例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使使误误差差不不超超过过的的实实根根的的近

6、近似似值值用用二二分分法法求求方方程程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(内内连连续续在在显显然然 xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(内内单单调调增增加加在在故故 xf如图如图至多有一个实根至多有一个实根0)( xf上页下页结束返回首页, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf0,1, 0,1.ab取取即即是是个个隔隔离离区区间间一一计算得计算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75.

7、0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 上页下页结束返回首页;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故

8、 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 .10,671. 0,670. 03 其误差都小于其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的过剩近似值作为根的不足近似值作为根的不足近似值即即上页下页结束返回首页三、切线法( )( ) ,( ) , ( )( )0( )( , ) , fxfxa bf xa bf af bf xa ba b 设设在在上上具具有有二二阶阶导导数数，则则方方程程且且及及在在上上保保持持定定号号在在内内有有唯唯一

9、一个个的的实实根根 ，是是根根的的一一个个隔隔离离区区间间定义定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线切线法（牛顿法）法（牛顿法）上页下页结束返回首页如图，如图，0010(,()( )xfxxxf xx 在在纵纵坐坐标标的的那那个个端端点点（此此端端点点记记作作作作切切线线，这这切切线线与与轴轴的的交交点点的的横横坐坐标标比比更更接接近近方方与与号号程程的的根根同同,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 则则切切线线方方程程为为ABxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0

10、)(, 0)( xfxfbfaf上页下页结束返回首页作切线，作切线，在点在点)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得得根根的的近近似似值值如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf 可可记记同同号号与与如如果果注注意意,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yABxyoab 1x)(xfy 2x上页下页结束返回首页例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使使误误差差不不超超过过的的实实根根的的近近似似值值用用切切线线法法求求方方程程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxx

11、xf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是是一一个个隔隔离离区区间间上上，如如图图，在在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf1O上页下页结束返回首页( )(1)fxf 与与同同号号，. 10 x令令代入代入(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx计算停止计算停止.10,671. 03 其其误误差差都都小小于于得得根根的的近近似似值值为为1O上页下页结束返回首页四、小结求方程近似实根的常用方法求方程近似实根的常用方