数学分析多元函数的极限与连续(3)课件

1、数学分析多元函数的极限与连续(3)第十六章第十六章多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续数学分析多元函数的极限与连续(3)1 平面点集与多元函数数学分析多元函数的极限与连续(3) 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 数学分析多元函数的极限与连续(3)（2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果

2、果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集数学分析多元函数的极限与连续(3)的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上

3、的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 数学分析多元函数的极限与连续(3)连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo数学分析多元函数的极限与连续(3)0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过

4、过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx数学分析多元函数的极限与连续(3)（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点数学分析多元函数的极

5、限与连续(3) 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合数学分析多元函数的极限与连续(3)（4）n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称n元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个n元数元数组组),(21nxxx称为称为n维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数ix称为该点的第称为该点的第i个坐标个坐标. n维空间的记

6、号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 数学分析多元函数的极限与连续(3),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为数学分析多元函数的极限与连续(3) 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于

7、每个点DyxP ),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称值和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）. .（5）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数数学分析多元函数的极限与连续(3)例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013

8、222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 数学分析多元函数的极限与连续(3)（6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.（如下页图）（如下页图）数学分析多元函数的极限与连续(3)二元函数的图形