数学分析曲线积分(3)课件

1、数学分析曲线积分(3)17.2 17.2 第二型曲线积分第二型曲线积分数学分析曲线积分(3)一、问题的提出一、问题的提出实例实例: : 变力沿曲线作功变力沿曲线作功, :有向可求长曲线有向可求长曲线BALjyxQiyxPyxF),(),(),( oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy 常力常力.ABFW 分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii 变力变力数学分析曲线积分(3),),(),(),(jQiPFiiiiii 取取oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy .),(),(iiiiiiiyQx

2、PW 即即,),(1iiiiiMMFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 近似值近似值 niiWW1 取极限取极限. ),(),(lim10| niiiiiiiTyQxPW 精确值精确值数学分析曲线积分(3)二、第二型曲线积分的概念二、第二型曲线积分的概念1. 定义定义的一条有向可求长的的一条有向可求长的到点到点平面内从点平面内从点为为设设BAL,曲线弧曲线弧,),(),(上上定定义义在在与与函函数数LyxQyxP的的对对L,T任任一一分分割割个有向小弧段个有向小弧段分成分成它把它把nLiiMM1 ), 2 , 1(ni ., 0BMAMn 其中其中记各小曲线记各小曲线ii

3、MM1 段段,is 的弧长为的弧长为 的细度的细度分割分割T.max|1inisT 数学分析曲线积分(3),11 iiiiiiyyyxxx 并并记记, ),(iiiyxM 的坐标为的坐标为设分点设分点), 2 , 1(ni 任取任取 ),(ii ,1iiMM 若极限若极限iiniiTiiniiTyQxP ),(lim),(lim10|10| ,存在存在,),(的的取取法法无无关关及及且且与与分分割割iiT 称称此此极极限限上上的的第第二二型型沿沿有有向向曲曲线线为为函函数数LyxQyxP),(),(.曲线积分曲线积分:记为记为数学分析曲线积分(3) LLdyyxQdxyxP),(),( Ldy

4、yxQdxyxP),(),( ABdyyxQdxyxP),(),(或或也写成也写成iiniiTxP ),(lim10| iiniiTyQ ),(lim10| 的曲线积分的曲线积分对坐标对坐标上上在有向曲线在有向曲线xLyxP),(的曲线积分的曲线积分对坐标对坐标上上在有向曲线在有向曲线yLyxQ),(数学分析曲线积分(3):常简记为常简记为 LQdyPdx. ABQdyPdx则则记记为为是是封封闭闭的的有有向向曲曲线线如如 ,L. LQdyPdx,jdyidxdsjQiPF 若若记记则则又又可可写写成成 LdsF ABdsF 或或 或或LyxQyxPyxF沿有向曲线沿有向曲线力力于是于是),(

5、),(),( , :所作的功为所作的功为 LdyyxQdxyxPW),(),(数学分析曲线积分(3)2.存在条件：存在条件：,),(),(上上连连续续时时在在有有向向光光滑滑曲曲线线弧弧当当LyxQyxP.第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在3.3.推广推广, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧,),(lim),(10|iiiniiTxPdxzyxP . RdzQdyPdx,),(lim),(10|iiiniiTyQdyzyxQ .),(lim),(10|iiiniiTzRdzzyxR 数学分析曲线积分(3)4.4.性质性质, )()(11也也存存在在 LkiiikiiidyQcdxPc则则存在存在

6、若若 ,), 2 , 1( )1(kidyQdxPLii 且且 )()(11LkiiikiiidyQcdxPc), (1 LiLikiidyQdxPc.), 2 , 1( 为为常常数数其其中中kici 数学分析曲线积分(3)且且首尾相接而成首尾相接而成由有向曲线由有向曲线若有向曲线若有向曲线 , )2(iLL iLQdyPdx则则都存在都存在 ,) , 2 , 1(ki LQdyPdx,也存在也存在且且 LQdyPdx. 1 kiLiQdyPdx则则方方向向相相反反的的有有向向曲曲线线弧弧是是与与设设,)3(LL . LLQdyPdxQdyPdx即第二型曲线积分与曲线的方向有关即第二型曲线积分

7、与曲线的方向有关.数学分析曲线积分(3)三、第二型曲线积分的计算三、第二型曲线积分的计算, )()( tytxL 的参数方程为的参数方程为设平面曲线设平面曲线定理定理,时时变到变到单调地由单调地由且当参数且当参数 tLyxM从从点点),(,BLA运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点及及在以在以 )(),(tt,一阶连续导数一阶连续导数为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有 ,),(),(上上连连续续在在LyxQyxP再设再设则则第第二二型型曲曲线线积积分分,),(),(存存在在 LdyyxQdxyxP且且数学分析曲线积分(3)dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()()

8、,(),(),( :分析分析dttttPdxyxPL)()(),(),( iiniiTxP ),(lim10| niittP10)( )(),(lim iiiiittxtxx )( )()(1 .数学分析曲线积分(3)特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则数学分析曲线积分(3).,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx RdzQdyPdx)()(),(

9、),(ttttQ dtttttR)()(),(),( )()(),(),(ttttP数学分析曲线积分(3)数学分析曲线积分(3)例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B数学分析曲线积分(3)的的定定积积分分，化化为为对对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)

10、1, 1( A)1 , 1(B数学分析曲线积分(3).)0 ,()0 ,()2(; )1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 数学分析曲线积分(3)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相：被积函数相同，起点和终点

11、也相 同，但路径不同积分结果不同同，但路径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 数学分析曲线积分(3)例例3).1 , 1(),0 , 1( )0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原

12、原式式 1034dxx. 1 数学分析曲线积分(3) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的的积积分分化化为为对对 y,10,:2变变到到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式数学分析曲线积分(3),上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相：被积函数相同，起点和终点也相 同，但路径不同而积分结果相同同，但路径不同而积分结果相同.数学分析曲线积分(3)数学分析曲线积分(3)数学分析曲线积分(3)数学分析曲线积分(3)数学分析曲线积分(3)四、小结四、小结1、第二型曲线积分的概念、计算；、第二型曲线积分的概念、计算；2、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系.数学分析曲线积分(3)思考题