高等数学II(微积分龚德恩范培华)22函数极限极限的基本性质课件

1、高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质1 上一节讨论了数列的极限，由于数列上一节讨论了数列的极限，由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函实际上可以看成是定义域为正整数域的函数数, ,( )nxf nnz，所以所以, ,可望将数列的极限理论可望将数列的极限理论推广到函数推广到函数中中, ,并用极限理论研究函数的变化情形并用极限理论研究函数的变化情形. .高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质2第二章 极限与连续2.1 2.1 数列极限数列极限2.2 2

2、.2 函数极限函数极限 极限的基本性质极限的基本性质2.3 2.3 无穷大与无穷小无穷大与无穷小2.4 2.4 极限的运算法则与复合函数的极限极限的运算法则与复合函数的极限2.5 2.5 极限存在定理与两个重要的极限极限存在定理与两个重要的极限2.6 2.6 函数连续性函数连续性高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质32.2 函数极限函数极限0,( )一一、时时的的极极限限xxf x ,( )二二、时时的的极极限限xf x 三、三、 函数极限的性质函数极限的性质高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22

3、函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质4( )f x关关于于函函数数的的极极限限所所讨讨论论的的无无限限变变化化过过程程，有有六六种种情情况况：00(1) ()xxxx自自变变量量 无无限限接接近近于于有有限限值值记记作作时时，函函数数值值( )f x 的的总总的的变变化化趋趋势势；还还包包括括：(2) (|)xxx 自自变变量量 的的绝绝对对值值无无记记作作时时限限增增大大，函函数数值值,( )xxfx 的的总总的的变变化化趋趋势势。还还包包括括。000,xxxxxx 且且 趋趋于于记记作作：000,xxxxxx 且且 趋趋于于记记作作：。高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分

4、龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质522(1)1 ( )1xxf xx考考察察时时函函数数的的变变化化趋趋势势 1x 函函数数虽虽然然在在处处无无定定义义，从从图图形形上上可可见见：0 , ( ) xxf x函的极限一一、当当时时数数 1, ( )4xf x 当当从从无无限限接接近近于于 时时 对对应应的的函函数数右右侧侧y42O12 (1)yxx 1, ( ) 4; xf x当当从从无无限限接接近近于于 时时 对对应应的的函函数数左左侧侧高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质6函数极限的定义：函

5、数极限的定义：0( )()yf xxDx 给给定定函函数数，假假设设去去点点的的某某一一心心邻邻域域内内0( )xxfAxA当当时时如如果果存存在在常常无无数数 ，使使得得，函函数数限限接接近近于于值值，0( )Af xxx则则称称为为函函数数当当时时的的极极限限，记记作作00lim( )( ),xxf xAf xAxx 或或当当0 ( )yf xx 不不要要求求函函数数在在定定点点处处注注义义中中并并有有定定义义。2112(1) lim( )lim41xxxf xx高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质70( )()0,y

6、f xxDx 设设函函数数在在的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，00,0,xx 当当时时 恒恒有有|( )|f xA 0( )f xxxA则则当当时时极极限限为为称称。000(, )1 xO x 对对于于任任意意小小的的，总总有有，使使得得当当注注时时，2 上上面面定定义义中中的的 一一般般与与预预先先任任意意给给定定的的注注有有关关。( )( , )f xO A 。函数极限严格的定义：函数极限严格的定义： 语语言言高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质80( )()0,yf xxDx 设设函函数数在在的的某某空空心

7、心邻邻域域内内有有定定义义，00,0,xx 当当时时 恒恒有有|( )|f xA 0( )f xxxA则则当当时时极极限限为为称称。函数极限严格的定义：函数极限严格的定义： 语语言言00|( )|lim( )3 xxxxf xf x如如果果当当时时，随随之之无无限限增增大大，则则注注不不0( )lim( )xxf xf x 存存在在，称称的的极极限限为为 ，并并记记作作。00|( )|(),xxf xxU x 如如果果当当时时，随随之之无无限限增增大大，且且对对于于00( )0(0)lim( )(lim( )xxxxf xf xf x 或或，则则记记或或。4 limcc 常常数数的的极极限限即

8、即其其本本身身，即即注注。高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质92lim() 3 241xx 例例证证明明。 032,4x 要要使使证证明明，23x 只只要要，= 3 取取，02(32)4,xx 当当时时, ,总总有有2lim(32)4xx 即即高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质100001xxxx在在定定义义 中中，既既可可以以从从，也也可可以以从从趋趋右右侧侧近近于于左左侧侧，00 xxx但但有有时时只只须须考考察察当当从从的的一一侧侧趋趋于于时

9、时，对对应应的的函函数数值值( )f x 的的变变化化趋趋势势。0000 ()lim( ) ()lim( ) xxxxf xf xfBf xAx 右右极极限限：左左极极限限：极极左左限限极极限限与与的的关关右右，极极限限系系如如何何？高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质11lim( )0 xxf xA 0( )xxf xA当当时时，0( )f xxA左左、右右极极在在的的并并限限都都存存在在均均为为 ，即即lim( )lim( )00 xxxxAf xf x 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22

10、函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质12 sgn2 0 xx 求求符符号号函函数数当当例例时时的的极极限限。1,0,sgn0,0,1,0.xxxx 符符号号函函数数 解解xyosgnyx lim( )xf x 0lim()x 01 1lim( )xf x 0limx 01 1显然显然, )0()0( ff所以所以不存在不存在 .)(lim0 xfx高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质13 tan3 2yxx 求求正正切切函函数数在在点点例例处处的的极极限限。正切函数正切函数xytan yOtanyx 2 lim t

11、an2xx lim tan2xx 所以所以不存在不存在 .2lim tanxx高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质14211 ( )lim(14) xxf xf xx ，求求例例设设。( )1( )f xxf x 函函数数在在处处确确实实没没有有定定义义，但但是是不不表表示示函函数数注注：1x 在在处处没没有有极极限限。想想想想为为什什么么？-2111 lim( )= lim1xxxf xx 解解-1lim1xx （）2 00( )xf xxx研研究究函函数数的的极极限限只只考考虑虑 无无限限接接近近于于 时时的的变变化化

12、与与在在是是否否有有定定趋趋势势, ,而而义义无无关关. .+2111lim( )=lim1xxxf xx +1lim1xx （）2 211 lim2.1xxxf ( x ) 在点在点 x0= -1 处没有定义处没有定义.高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质15(1) 左、右极限均存在左、右极限均存在, 且相等；且相等；(2) 左、右极限均存在左、右极限均存在, 但不相等；但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！找找例题！ 函数在点函数在点 x0 处的左、右极限可能出现处的左、

13、右极限可能出现以下以下三种三种情况之一：情况之一：高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质161 , ( ) .xf xx先先考考察察当当时时函函数数的的变变化化趋趋势势1, ( ) 0;1, ( ) 0. xf xxxf xx 时时 函函数数的的值值无无限限接接近近于于常常数数时时 函函数数的的值值也也无无限限接接近近于于常常数数1yxxyO,( )xf x二二、当当时时数数函的极限, ,( ) 0.xf x因因此此 当当的的绝绝对对值值趋趋于于无无穷穷时时的的值值无无限限接接近近于于1 lim0.xx高等数学高等数学II(

14、微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质17 ( )|f xx设设函函数数当当大大于于某某一一正正数数时时有有定定定定义义义义。如如果果存存,AX 在在常常数数 ，对对于于任任意意给给定定的的正正数数 总总存存在在着着正正数数使使得得当当|( )xxXf x 满满足足不不等等式式时时，对对应应的的函函数数值值满满足足不不等等式式lim( )( )()xf xAf xA x 或或|( )|,f xA ( )Af xx 则则常常数数叫叫做做函函数数当当时时的的极极限限，记记为为上上述述定定义义简简单单表表注注1 1 述述如如下下： lim( )0,0,

15、|( )|xf xAXxXf xA 当当时时，有有。X语语言言高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质18 ( )|f xx设设函函数数当当大大于于某某一一正正数数时时有有定定定定义义义义。如如果果存存,AX 在在常常数数 ，对对于于任任意意给给定定的的正正数数 总总存存在在着着正正数数使使得得当当|( )xxXf x 满满足足不不等等式式时时，对对应应的的函函数数值值满满足足不不等等式式lim( )( )()xf xAf xA x 或或|( )|,f xA ( )Af xx 则则常常数数叫叫做做函函数数当当时时的的极极限限，

16、记记为为lim( ), li2 m( )xxf xAf xA 类类似似的的可可以以定定义义注注。也也可可以以X 用用的的方方法法严严格格定定义义这这两两个个极极限限。高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质19lim ( )lim( )lim( )xxxf xaf xaf x . ,( )xf xA 当当 ( )xf xA 趋趋于于+ + ，时时，极极限限都都存存在在并并均均为为，即即高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质20 arcta n5yxx 讨讨论

17、论反反正正切切函函数数在在处处例例的的极极限限。22yxyarctanx由图容易看出：由图容易看出： , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质21 0,1,log0 ,6 aaayxxx 设设讨讨例例论论函函数数在在处处的的极极限限是是否否存存在在。xyalog xya1log ) 1( a1, a 0 lim log , axx lim log , axx 01, a0 lim log , axx lim log ,

18、axx 0 lim loglim logaaxxxx 及及不不存存在在高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质22 .1( ) ,f x( () )如如果果函函数数的的极极惟惟一一性性限限存存在在 则则极极性性限限惟惟一一质质00lim( )lim( ),xxxxf xAfBAxB 和和则则。0 ()00lim( ),( )(),( ), .2 xxxf xAMf xxxNxNf xM 或或()()如如果果那那么么存存在在一一个个 正正数数使使得得函函数数在在点点不不包包括括点点的的某某一一 个个邻邻域域内内( (或或存存在在一一个个正正数数当当时时) )总总有有 局局部部有有界界性性 有有极极限限的的函函数数局局 性性即即部部有有界界质质三、函数极限的性质三、函数极限的性质高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)22函函数极限极限的基本性质数极限极限的基本性质230lim3( )xxf xA 局局部部保保号号性性质质 ( () )性性假假设设，0(1)(0)0 xAx 如如，则则对对的的某某一一去去