工程数学积分变换(第四版)第2讲课件

1、|一一.Fourier变换的概念变换的概念|三三.非周期函数的频谱非周期函数的频谱我们知道, 若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有jj1( )( )eded2tf tf可以看出可以看出 f(t) 与与 F() 可相互转换可相互转换,分别记为分别记为 F()=F f(t) 和和 f(t)=F 1F()1.Fourier变换的概念变换的概念j( )( )ed (1.9)Ff 设j1( )( )ed (1.10)2tf tF则(1.9)式叫做式叫做 f(t) 的的Fourier变换式变换式,(1.10)式为式为 F() 的的Fourier逆变换式逆变换式,可

2、以说象函数可以说象函数F( )和象原函数和象原函数f(t)构成了一个构成了一个Fourier变换对变换对.它们有相同的奇偶性它们有相同的奇偶性(习题二习题二).还可以将还可以将f(t)放在左端放在左端, F( )放在右端放在右端, 中间用双向中间用双向箭头连接箭头连接:f(t) F()F( )称作称作f(t)的的象函数象函数, (1.9)式右端的积分运算式右端的积分运算, 叫做叫做f(t)的的Fourier变换变换, f(t)称作称作F( )的的象原函数象原函数.同样同样, (1.10)式右端的积分运算式右端的积分运算, 叫做叫做F( )的的Fourier逆变换逆变换.( ),f t当为奇函数

3、时002( )( )sindsindf tft 由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,0( )( )sind sFf tt tf(t)的Fourier正弦变换02( )( )sindsf tFtF()的Fourier正弦逆变换( ),f t当为偶函数时由f(t)的Fourier余弦积分公式002( )( )cosdcosdf tft 可得,0( )( )cosd cFf tt t02( )( )cosdcf tFtf(t)的Fourier余弦变换F()的Fourier余弦逆变换( ) ( )ssFf tF1( )( )ssf tFF( ) ( )ccFf tF1( )( )ccf tFF

4、tf(t)0,01( )Fourier,e,00.( ),.ttf ttf t例 求函数的变换及其积分表达式其中这个叫做指数衰减函数 是工程技术中常碰到的一个函数1根据根据(1.9)式式, 有有j( ) ( )( )edtFf tf ttF这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的Fourier变换变换.j0eedttt(j)(j)0eed0jttt 221jj根据根据(1.10)式式, 有有1j1( ) ( )( )ed2tf tFFF现在现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式我们来求指数衰减函数的积分表达式.j221jed2t2201cossindtt22000cossind( )/20e0

5、ttttf ttt因此221cossind2tt22( )eFourier,0.,.tf tAA例 求函数的变换及其积分表达式其中这个函数叫做钟形脉冲函数 也是工程技术中常碰到的一个图见14数(2页函)(1.9),解: 根据式 有2jeedttAt22j24eedtAtj ( ) ( )( )edtFf tf ttF24eA1. 柯西-古萨基本定理.22.tedt普阿松积分公式 见复变函数课本第 170 页例 5.因此有如果令=1/2, 就有422eeAAt2222e2eAAt可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据(1.10)式1j1( ) ( )(

6、)ed2tf tFFF241e(cosjsin)d2Att240ecosdAt因此,我们得到一个含参量广义积分的结果:2240ecosd( )ttf teA1, 01,3 ( ).0, 1.tf tt 例 求函数的正弦变换和余弦变换(1.11)( )f t解: 根据式,的正弦变换为( ) ( )ssFf tF0( )sindf tt t11001sindsind()t ttt1cos,(1.13)( )f t根据式,的余弦变换为( ) ( )ccFf tF0( )cosdf tt t11001cosdcosd()t tttsin.注意: 在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同

7、的.在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数.有许多物理现象具有脉冲性质, 如：2. 单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 0,0,( )1,0.tq ttttqttqttqtit)()(limd)(d)(0由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即当t0时, 若以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则当t=0时, q(t)在这一点不连续, 0是q(t

8、)的第一类间断点.从而在普通导数意义下, q(t)在这一点不存在导数.i(t)=0.如果我们形式地计算这个导数, 则得00(0)(0)1(0)limlimttqtqitt 问题问题: 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度表示这样的电流强度. 解决办法解决办法:引进狄拉克引进狄拉克(Dirac)函数函数, 简单记成简单记成 函数.弱收敛弱收敛:若对任何一个无穷次可微的函数f(t), 如果函数序列Sn满足lim( ) ( )d( ) ( )dbbnaanS t f ttS t f tt( )( ).nS tS t则称函数列弱收敛于函数出

9、发点出发点: 想办法把无法表示的函数用某个可以表想办法把无法表示的函数用某个可以表出出的函数列求弱极限来得到的函数列求弱极限来得到.称e(t)的弱极限为-函数, 记为(t)0lim( ) ( )d( ) ( )dt f ttt f ttee 其它00/1)(eeette(t)1/eeO0( )( )ttee弱即 即即: -函数可以看成一个普通函数序列的函数可以看成一个普通函数序列的弱极限弱极限. -函数的性质函数的性质:( )d1.tt证明证明: 因为对任何一个无穷次可微的函数f(t),0( ) ( )dlim( ) ( )dt f ttt f ttee ,( )1,f t 特别的 取则0(

10、)dlim( )dttttee 01( )dd1.ttteee显然, ( )d1.tt所以, 性质性质1.工程上将-函数称为单位脉冲函数, tO(t)1可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.(t)( )( ) ( )d(0).f tt f ttf若为无穷次可微函数,则性质性质2.证明证明:0( ) ( )dlim( ) ( )dt f ttt f ttee 由于001lim( )df tteee001lim( )df tteee无穷次可微函数必连续,由积分中值定理可得0( )d() (01),f ttfeee01( ) ( )dlim

11、()t f ttfeeee所以0lim()fee(0).f -函数的筛选性质函数的筛选性质推论推论.00( )() ( )d( ).f tttf ttf t若为无穷次可微函数,则 证明证明:000() ( )dlim() ( )dttf ttttf ttee 由于0001lim( )dttf tteee 0001lim( )dttf tteee 001lim()f teeee 0( )f t -函数的其他性质函数的其他性质（习题（习题13）1.( )();tt -函数是偶函数,即-d2.( )( ),( )( ),dtdu tu ttt 0, 0,( )1, 0tu tt其中称为单位阶跃函数；

12、单位阶跃函数；3.( )( ) ( )d(0),f tt f ttf 若为无穷次可微函数,则 ( ),( ) ( )d( 1)(0).nnnt f ttf 一般地 有 -函数的函数的Fourier变换变换 -函数的函数的Fourier变换为变换为:( ) ( )( )edj tFtttF根据根据 -函数的筛选性质可得函数的筛选性质可得,0( ) ( )( )ed1.j tj ttFttteF可见可见, -函数和函数和1构成了一个构成了一个Fourier变换对变换对.0-0, ()Fourierj ttte同理和也构成了一个变换对.注意注意: 此处的此处的Fourier变换是一种广义变换是一种广

13、义Fourier变换变换.所谓广义是相对于古典意义而言的所谓广义是相对于古典意义而言的.tO(t)1OF()1可见, 单位脉冲函数(t)与常数1构成了一Fourier变换对.同理, (tt0)和 亦构成了一个Fourier变换对.0j te在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件ttfd| )(|例如常数常数, 符号函数符号函数, 单位阶跃函数以及正单位阶跃函数以及正, 余弦函数余弦函数等, 然而它们的广义广义Fourier变换变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.引入单位脉冲函数的

14、意义引入单位脉冲函数的意义:0,0,4( )Fourier1,01 ( ).tu ttj 例证明单位阶跃函数的变换为O|F()|Otu(t)1,( )( ),FourierjF 事实上 若由逆变换可得证证:分析分析:jFourier( )( )ed , tFf tt已知变换为j1Fourier( )( )ed,2tf tF逆变换为当没有办法直接验证F()是一个函数的Fourier变换时,可以将F()代入Fourier逆变换,看结果是否为f(t).1j11( ) ( )( )d2jtf tFe Fjj11d( )d2j2ttee 1cossind2jtjtcossinjtt1sin d2t01s

15、in dtj1( )d 2te j01 2tte1 20sind,2因为则0,02sind0,0,02tttt011sin( )d2tf t11()0,022111,022tt011sin0 , ( )d . 2 ttu t当时1( )( )Fourier.ju t 因此,和构成了一个变换对若F()=2()时, 由Fourier逆变换可得jj11( )( )ed2( )ed22ttf tF 所以1和2()也构成了一个Fourier变换对.j1( )( )ed2tf tF推论推论:1同理, 如果F()=2(0)j012()ed2t 0jet0j0e2()Fouriert 即和也构成了一个变换对.

16、由上面两个函数的变换可得jed2( )tt j12( )ed12t 0j()0ed2()tt j012()ed2t 0jet12( ) 002()jte 意义意义: : 函数的引入使得在普通意义下不存在的积分函数的引入使得在普通意义下不存在的积分有了确定的数值有了确定的数值.( )F( )F( )F( )F例5 求正弦函数f(t)=sin0t的Fourier变换.j0( ) ( )esindtFf tt tF由Fourier变换公式可得解:00jjjeeed2jtttt00()jj1(ee)d2 jjtjttteet0012()2()2j 00j()() 如图所示:tsint00O|F()|3

17、. 非周期函数的频谱非周期函数的频谱T对于以 为周期的非正弦函数:01( )(cossin)2Tnnnaftan tbn t2,nnnnT它的第 次谐波,即时cossinsin()nnnnnan tbn tAt的振幅为22,nnnAab而函数的复指数复指数形式为01 ( )nnjtjtTnnnftcc ec en它的第 次谐波为nnjtjtnnc ec e其中jj,22nnnnnnababcc 并且221| |,2nnnnccab( )Tftn所以,周期函数的第 次谐波的振幅为2|(0,1,2,).nnAcn频率为频率为 n时的振幅时的振幅,即振幅随频率变化的分布情况即振幅随频率变化的分布情况

18、.频谱图频谱图: 频率和振幅的关系图频率和振幅的关系图.特点特点: 频谱的图形是不连续的频谱的图形是不连续的,因为因为n=0,1,2, 离散频谱离散频谱.f(t)tE/2/2例6 求下列周期函数的频谱.T/2T/20, ,22( ), ,220, .22TTtftEtTt 已知 解解:(1.2)Fourier根据式,得级数的复指数形式如下(0)( )sin,jn tTnnEEnfteTnT0, ,sin(1, 2,).nEEnccnTnT 可见它的频谱为0022|,EAcT22|sin (1, 2,).nnEnAcnnT 4,T特别当 时0,2EA 2sin , (1, 2,).42nnEnnAnnn 离散频谱离散频谱