线性相关和线性无关

1、第二节第二节 线性相关与线性无关线性相关与线性无关 本节我们将进一步研究本节我们将进一步研究 n 维向量之间的维向量之间的线性线性关系关系。 其中向量组的其中向量组的线性相关与线性无关线性相关与线性无关是非常重要是非常重要的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。 本节内容本节内容 一一. 向量的线性组合、线性表示；向量的线性组合、线性表示； 二二. 向量组的线性相关与线性无关；向量组的线性相关与线性无关； 三三. 向量的向量的线性组合与线性相关的关系；线性组合与线性相关的关系； 四四. 判别向量判别向量相关性的例子相关性的例子。 对于两个对于两个

2、 n 维向量维向量 、 ，若存在一常数，若存在一常数 k, 使得使得k 则称向量则称向量 、 成比例成比例。123 ,6 ,24 12 则。则。例如例如一、向量的线性组合、线性表示一、向量的线性组合、线性表示 现将这个概念推广到多个现将这个概念推广到多个 n 维向量。维向量。如果存在一组数如果存在一组数 ，m,21使得使得是向量组是向量组 的一个的一个线性线性m,21则称向量则称向量m,21组合组合，或称向量，或称向量可以由向量组可以由向量组，m,21对于对于 n 维行（列）向量维行（列）向量1122mm = = 定义定义112,m 称称为为表表出出系系数数. .线性表示线性表示。其中。其中例

3、如，例如，设设),1, 2 , 1(1 3122 则则 3 3 就是向量就是向量 1 1、 2 2 的线性组合，又称的线性组合，又称 3 3 可可由向量由向量 1 1、 2 2 线性表示。线性表示。不难验证不难验证),1 , 3, 2(2 )1, 1 , 4(3 显然显然：任一：任一 n 维向量维向量 =(a1,a2,an)T 都是向量组都是向量组,0011 ,的线性组合的线性组合称为单位向量组称为单位向量组事实上事实上,0102 100.,n1 122.,nnaaa 11220mm m,21则称向量组则称向量组线性相关线性相关； 否则，否则，m,21已知已知 n 维行（列）向量组维行（列）向

4、量组，定义定义2使得使得称该向量组称该向量组线性无关线性无关。（linearly de-pendent）二、向量组的线性相关与线性无关二、向量组的线性相关与线性无关00021m,m,21如果存在不全为零的一组数如果存在不全为零的一组数，有有例如，例如，),0,0, 1(1使得使得1122nn 0则显然必有则显然必有120,0,0n 是是线性无关线性无关的。的。事实上，若有一组数事实上，若有一组数),(,),(1000102n12,n n 维行向量组维行向量组12(,)n ？不难验证不难验证 12330 所以它们是所以它们是线性相关线性相关的。的。 而对向量组而对向量组 )10, 9 , 5(3

5、 ),1 , 3 , 2(2 ),3 , 2 , 1(1 三、线性组合与线性相关的关系三、线性组合与线性相关的关系定理定理1 1 该向量组中该向量组中至少有一个至少有一个向量可以由其余向量可以由其余 m -1证证 因为因为 线性相关线性相关，则，则m,21存在存在 m 个不全为零的数个不全为零的数 ， m,21使得使得 11220mm 不妨设不妨设 1 1 0，于是，于是向量组向量组 线性相关线性相关m,21（m 2）个向量线性表示。个向量线性表示。必要性必要性 故故 1 1 可以由可以由 2 2、 m m 线性表示。线性表示。 充分性充分性 不妨设不妨设 1 1 可以由可以由 2 2、 m

6、m 线性表线性表示，示，即即12233mm 则有一组不全为零的数则有一组不全为零的数 使得使得m, 1321223310mm 32123111mm 故向量组故向量组 1 1、 2 2、 m m 线性相关。线性相关。线性相关线性相关，m,2则则 能由能由m,21线性表示，线性表示，由由向向量量组组m,21线性相关，则线性相关，则存在一组存在一组不全为零不全为零的数的数 ,21m，使得，使得 mm22110m,21线性无关线性无关，设设定理定理2 2证证 而而 ，,1且表示法是唯一的。且表示法是唯一的。若若 = 0，则则 1 1、 m m 不全为零，且不全为零，且 11220mm 这与这与 1、

7、2、 m 线性无关线性无关矛盾矛盾。因此。因此 0，1212mm 即即 可以由可以由 1、 2、 m 线性表示线性表示。故有故有再证唯一性再证唯一性：设：设 有如下两个线性表示式有如下两个线性表示式 = 1 1+ 2 2+ m m = k1 1+ k2 2+ k m m两式相减得两式相减得( 1- k1) 1+( 2- k2) 2+ ( m- k m) m=0由于由于 1、 2、 m 线性无关，从而有线性无关，从而有 1=k1， 2= k2， m= k m即即表示方法是唯一的表示方法是唯一的。性质性质1在向量组在向量组 1、 2、 m中，若有部分中，若有部分向量线性相关，则整个向量组线性相关；

8、向量线性相关，则整个向量组线性相关；若整个向量组线性无关，则任意部分向量组也线若整个向量组线性无关，则任意部分向量组也线性无关。性无关。反之反之，部分组部分组相关，则相关，则全体组全体组也相关；也相关；全体组全体组无关，则无关，则部分组部分组也无关。也无关。性质性质1在向量组在向量组 1、 2、 m中，若有部分中，若有部分 证明证明 由由相关性定义立即可相关性定义立即可得。得。推论推论1 含有零向量的向量组必定线性相关。含有零向量的向量组必定线性相关。向量线性相关，则整个向量组线性相关；向量线性相关，则整个向量组线性相关；若整个向量组线性无关，则任意部分向量组也线若整个向量组线性无关，则任意部

9、分向量组也线性无关。性无关。反之反之，四、例题四、例题 设有一组数设有一组数 k1, k2, k 3 , 使得使得例例1 试讨论下列向量组的试讨论下列向量组的线性线性相关性：相关性： 解解k1 1+ k2 2 + k3 3 = 0 即即123(1,0, 1) ,(1, 1,0) ,(0,1,1)TTT 122313000kkkkkk 1231100110101kkk 所以上述所以上述方程组，方程组，11001120101 可见可见向量组的向量组的相关性相关性等价于等价于这个齐次方程组这个齐次方程组有否有否非零解非零解。 而它的系数行列式而它的系数行列式即即 k1= k2 = k 3 =0。于是

10、。于是向量组向量组 1、 2、 3是是线性线性无关无关的。的。只有唯一零解，只有唯一零解，由克莱姆法则，由克莱姆法则， 设有一组数设有一组数 k1, k2, k 3 , 使得使得例例2 设向量设向量 1、 2、 3 线性无关线性无关，试证明向量，试证明向量组组 1、 1 + 2、 1 + 2 + 3 也线性无关。也线性无关。 证证k1 1+ k2 ( 1 + 2 ) + k 3 ( 1 + 2 + 3 ) = 0 即即 (k1 + k2 + k 3) 1+ (k2 + k 3) 2 + k 3 3 = 0 因为向量因为向量 1、 2、 3 线性无关线性无关，所以，所以所以所以11111101

11、证毕证毕由克莱姆法则由克莱姆法则 这是关于这是关于k1, k2, k 3 的齐次方程组，它的系数行的齐次方程组，它的系数行 k1 + k2 + k 3 = 0 k2 + k 3 = 0 k 3 = 0 列式列式方程组只有零解，即方程组只有零解，即k1= k2 = k 3 =0。 向量的线性组合、线性表示；向量的线性组合、线性表示； 向量组的线性相关与线性无关；向量组的线性相关与线性无关； 线性组合与线性相关的关系。线性组合与线性相关的关系。五、小结五、小结 一个向量一个向量 线性相关线性相关或或线性无关线性无关的的 充要条件充要条件是什么是什么? ?六、思考题一六、思考题一思考题解答：思考题解答： 一个向量一个向量 线性相关线性相关的的 充要条件充要条件 是：它是零是：它是零向量。向量。 思考题二思考题二 综合性题综合性题设向量组设向量组 线性无关线性无关。试讨论下列。试讨论下列s,21,322 向量