高等数学34函数性态研究课件VIP

1、 五个常用函数的麦克劳林公式五个常用函数的麦克劳林公式231111()2!3!xnnexxxxo xn 352112sin( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm 24221cos1( 1)( )2!4!(2 )!mmmxxxxRxm cossinixexix 五个常用函数的麦克劳林公式五个常用函数的麦克劳林公式2311ln(1)( 1)()231nnnxxxxxo xn (1)(1)(1)1()!mnnm mm nxmxxo xn (1)(1)!nmm mmnCn3.43.4 函数性态的研究函数性态的研究( (一一) ) 单调性和极值单调性和极值( (二二) ) 凸凹性和拐点凸

2、凹性和拐点（一）、单调性的判别法1( , )( )0a bfx（）如果在内，那么( ) , yf xa b函数在上单调增加；(2)( , )( )0a bfx如果在内，那么xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf( ) , ()1,yf xa ba b、设函数在上定理连续，在内可导，abBA( ) , .yf xa b函数在上单调减少00( )( )0yf xxxfx费马定理：设函数在点 处可导， 若 是函数的极值点，则极值点与驻点之间的关系？极值点与驻点之间的关系？00()0fxx驻点：一阶导数的点3yx|yx（二）极值，极值点，最值，最值点连续函数的极值点可能是

3、哪些点？连续函数的极值点可能是哪些点？可导的驻点，不可导的点可导的驻点，不可导的点求极值的步骤求极值的步骤: :(1)( )0fx求函数的不可导点和驻点（的点）；(2)判断驻点和不可导点是不是极值点；(3).求极值定理定理2(2(极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )0000( )(, )f xxxU x设函数在 处连续，在 某去心邻域可导例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值

4、)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx34616(0)0( )5525ff 极大值，极小值32( )(2)f xxx例2：求函数的极值32332254( )33xxfxxxx解:40( )( )5xf xxf x即，为的不可导点，为的驻点。x(,0)(4/5,)(0,4/5)04/5)(xf )(xf 不存在0 极大值极大值极小值极小值定理定理2(2(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 00()()fxxfxx 故由保号性：与异号，时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当

5、当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).sin(02 )1 cos( )( )xtttytyy xy x 例3.已知参数方程 确定的函数，求函数的极值。0 xy 令，sin1 cosxtyt解. ，sin0tt 即21(1 cos )xyt ，104xty 当时，( )ty x故，当时，函数达到极大值，max1 cos2y 最值的求法闭区间闭区间 a,b 上的连续函数可以取到最值上的连续函数可以取到最值要么是极值，要么是端点值要么是极值，要么是端点值。1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求函数值；

6、求函数值；实际问题最值求法实际问题最值求法: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值:注意：，目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为确定有最值内时所求的最值3.求最值求最值例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f应用举例应用举例，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最最小小值值例例5、某房地产公司有、某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定

7、套公寓要出租，当租金定为每月为每月1200元时，公寓会全部租出去当租金每元时，公寓会全部租出去当租金每月增加月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费200元的整修维护费试问房元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月x元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，120050100 x每月总收入为每月总收入为)(xR(200)x120050100 x(200) 62100 xx( )(200) 62100 xR xx1( )62(200)100100 xR x

8、x6450 x0)( xR3200 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为3200元时收入最高.最大收入为最大收入为3200( )(3200200) 62100R x90000()元问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方（三）、曲线凹凸的定义（三）、曲线凹凸的定义( )f xI：函数在区间 上定义1有定义，( )f x函数的图像是下凸的，注意：可取等号时，称不严格下凸（或上凸）的。注意：可取等号时，称不

9、严格下凸（或上凸）的。12,x xI若恒有:1212()()()22xxf xf xf 成立，( )f xI则称函数在 上的图像是下凸的；121212( )(),()22( )xxf xf xx xIff xI若恒有: 成立， 则称函数在 上的图像是上凸的。( )f x称为下凸函数；( )( )f xf x上凸的函数的图像是，称为上凸函数。凹函数凸函数xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y( ) , ( , )( )0( )0( )f xa ba bfxfxf xab定理1：如果在上连续，内 二阶可导，且或), 则在 ， 上是下凸（

10、上凸）的。0个别点二阶导数等于 ，不影响函数的凸凹性( ) , ( , )( )( )0( )0f xa ba bf xabfxfx如果在上连续，内二阶可导， 且在 ，上是下凸（上凸）的, 则或推论：)。( ) , f xa bl如果在上是下凸（上凸）的, 则任意直线 与曲线的交最多两推论：个交点。( ) , ,f xa ba b在上下凸（上凸），内可导 则任意点处的切线在曲线的下方（推论：上方）。000002.( ),(,)()f xIxIxf xyf xxf x定义 若函数在区间 上连续， 为 的的内点。 曲线在点(左右凸凹性相反， 则称点为曲线的拐点。00( )()0 xf xfx若 是

11、二阶可导函数所表示曲线的拐点， 则必有推论：( )fx注意：不存在的点也可能是曲线的拐点( )0fx 的点也不一定是曲线的拐点例例6 6.14334凹凹、凸凸的的区区间间的的拐拐点点及及求求曲曲线线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(21123273(01) ()(0) ()即：拐点 ， ，下凸区间，23(0)上凸区间 ，00000( ),()0,()0,(,()( )f xxfxfxxf xyf x：设函数在 的邻域判别拐点充分条件内 三阶可导 且而 那么是曲线的拐点。例例7 7.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 三、小结单调区间；单调区间；注意最值与极值的区别：注意最值与极值的区别：最值是整体概念；极值是局部概念最值是