第九章欧氏空间

1、第九第九章章 欧氏空间欧氏空间内内 容容 摘摘 要要1 内积和欧几里得空间内积和欧几里得空间 , ( , ) = a1 b1 + a2 b2 + + an bn= T. Rn对于实向量对于实向量 = (a1 , a2 , , an ) , = (b1 , b2 , , bn ) ,内积为内积为R sn对于实矩阵对于实矩阵sn, sn,内积为内积为ninjijijbaBA11),(Px对于实系数多项式对于实系数多项式f(x), g(x),内积为内积为baxxgxfxgxf.d)()()(),( , , i , j );,(),( )41111sinjjijinjjjsiiilklk 2 长度、夹

2、角与正交长度、夹角与正交 (1) 设设V是欧氏空间，对任意是欧氏空间，对任意，非负实数，非负实数),(),(|1.,0,|),(arccos, , =0 | + | | | + | |. , , i + + 1 , 2 , , s 两两正交两两正交| 1 + 2 + + s |2 = | 1 |2 + | 2 |2 + + | s |2 . 3 度量矩阵度量矩阵 (1) 设设 V 是是 n 维维欧氏欧氏空间，空间， 1 , 2 , , n是是 V 的的一组基，称矩阵一组基，称矩阵为基为基 1 , 2 , , n的度量矩阵的度量矩阵. ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212

3、221212111nnnnnn (2) 度量矩阵有如下的性质：度量矩阵有如下的性质： 1) 设设 , 在基在基 1 , 2 , , n下的坐标分别为下的坐标分别为x=(x1, x2, , xn)T，y=(y1, y2, , yn)T，则，则( , ) = xTAy ，其中，其中A是基是基 1 , 2 , , n的度量矩阵，这表明的度量矩阵，这表明任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积；积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积； 2) 基的度量矩阵是对称正定的；基的度量矩阵是对称正定的； 3) 设设 1 , 2 ,

4、 , n 是是欧氏欧氏空间空间 V 的另外一组基，而的另外一组基，而由由 1 , 2 , , n 到到 1 , 2 , , n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 C, 即即( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) C .则则基基 1 , 2 , , n的度量矩阵的度量矩阵A和基和基 1 , 2 , , n 的度的度量矩阵量矩阵B满足满足B= CTAC，即，即不同基的度量矩阵是合同的不同基的度量矩阵是合同的，且合同变换矩阵是两组基之间的过渡矩阵，且合同变换矩阵是两组基之间的过渡矩阵.4 标准正交基标准正交基 (1) 设设 1 , 2 , , n是是 n 维维欧氏欧氏空间空间V

5、的一组基，如的一组基，如果它们两两正交，则称之为果它们两两正交，则称之为V的正交基；由单位向量组的正交基；由单位向量组组成的正交基称为标准正交基组成的正交基称为标准正交基. (2) n 维维欧氏欧氏空间空间V必存在正交基与标准正交基必存在正交基与标准正交基. 对对n 维维欧氏欧氏空间空间V的任一组基的任一组基 1 , 2 , , n都可以用施密特都可以用施密特(Schmidt)正交化过程化为正交基正交化过程化为正交基1 , 2 , , n. 施密特施密特正交化过程如下：正交化过程如下： .),(),(),(),(),(),(;),(),(111122221111111122211nnnnnnn

6、nn； 如果再把每个如果再把每个i单位化，即得到单位化，即得到V的一组标准正交基的一组标准正交基. (3) 标准正交基的有关结果如下：设标准正交基的有关结果如下：设 V 是是 n 维维欧氏欧氏空间，空间， 1 , 2 , , n是是 V 的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则 1) 标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；标准正交基的度量矩阵是单位矩阵； 2) 设设 , , 在基在基 1 , 2 , , n下的坐标分下的坐标分别为别为x=(x1, x2, , xn)T，y=(y1, y2, , yn)T，则，则( , ) =x1y1+ x2 y2+ + xn yn=xTy 3) 中任一向量中任一向量

7、 在基在基 1 , 2 , , n下的坐标为下的坐标为( , 1 ), ( , 2 ), , ( , n )T. 4) 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵阵(即满足即满足ATA=E的的n级实矩阵级实矩阵). 又若两组基之间的过渡又若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基组基也是标准正交基. 5 正交矩阵正交矩阵 (1) 如果如果n级实矩阵级实矩阵A满足满足ATA=E ( 或或 AAT=E, 或或A-1A=E), 则称则称A为正交矩阵为正交矩阵. (2)

8、 正交矩阵具有如下性质：正交矩阵具有如下性质： 1) 如果如果A是正交矩阵，则是正交矩阵，则|A|=1； 2) 如果如果A是正交矩阵，则是正交矩阵，则AT，A-1，A*，Ak均是正均是正交矩阵；而交矩阵；而lA是正交矩阵的充要条件是是正交矩阵的充要条件是l=1； 3) 如果如果A, B是是n级正交矩阵，则级正交矩阵，则AB也是正交矩阵；也是正交矩阵； 4) n级实矩阵级实矩阵A是正交矩阵的充要条件是是正交矩阵的充要条件是A的的n个列个列(或行或行)向量是两两正交的单位向量向量是两两正交的单位向量. , = 6 欧氏空间的同构欧氏空间的同构 = 1) 同构的同构的欧氏欧氏空间具有空间具有 7 正交变换正交变换 (1) 变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意 / /| / | = | | /8 正交子空间与正交补正交子空间与正交补 i , j 1 , 2 , , tj (j=1, 2, ., t); 1 , 2 , , s1 , 2 , , ti j (i=1, 2, ., s; j=1, 2, ., t). 1 , 2 , , r 1 , 2 , , r r+1 , , n r+1 , , n9 实对称矩阵的标准形实对称矩阵的