高考数学压轴题跟踪演练系列四

1、江苏省备战2020高考数学一一压轴题跟踪演练系列四1. (本小题满分14分)已知f(x)=三仝(x R)在区间1, 1上是增函数. x22(I)求实数a的值组成的集合A;1(U)设关于x的方程f(x)=-的两个非零实根为X1、X2.试问：是否存在实数Xm使得不等式m+tm+1|x 1 X2|对任意a A及t 1,1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：(I)f/(x)=4 2ax 2x2 =2(x：岂2),(x2 2)2(x2 2)2

2、f(x)在1, 1上是增函数， f / (x) 0 对 x 1，1恒成立,即x2 ax2 0对x 1, 1恒成立.方法设(x)=x 2 ax 2,(1)=1 a 2 0,K a 1, (1)=1+a 2 0.对x 1, 1 , f(x)是连续函数，且只有当 a=1时，f / (-1)=0以及当a=1 时，f / (1)=0-A=a| 1 w aW 1.方法二:a c0,2(1)=1+a 2 0(1)=1 a2 0,m2 或 mw 2.所以，存在实数 m使不等式m+tm+1A|x 1 X2|对任意a A及t 1, 1恒 成立，其取值范围是m|m2,或mw 2. ax 2=0,/ =a2+80x2

3、2 x X1, X2是方程x2 ax 2=0的两非零实根，x1+X2=a,从而 |x 1 X2|= 区 x2)2 4x2 = a2 8 .X1X2=2,T 1 w aw 1 , |x 1-x 2|=、a28 w 3.要使不等式mi+tm+1|x 1 X2|对任意a A及t 1, 1恒成立，当且仅当m+tm+13对任意t 1, 1恒成立，即m+tm 2 0对任意t 1, 1恒成立.设 g(t)=m 2+tm 2=mt+(m 2),方法一：2g( 1)=m m- 2 0,方法二:当m=0时，显然不成立;当m 0时，m 0g(1)=m+m 2 02 或 m 2.所以，存在实数m使不等式m+tm+1|

4、x 1 X2|对任意a A及t -1 , 1恒成 立，其取值范围是m|m2,或me 2.2. （本小题满分12分）如图，P是抛物线C: y=-x2上一点，直线I过点P且与2抛物线C交于另一点Q.（I）若直线I与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（U）若直线I不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点试求册 翻的取值范围- 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（I）设 P（X1，y”，Q（X2，y2），M（x。，y），依题意0，y10，y20.由y=x2，2得 y/ =x.过点P的切线的斜率k切=X1,1 1直线

5、I的斜率kl=-k切x1直线 l 的方程为 y- Xi=-Xo将上式代入并整理，得xi i yo=Xo +2+i（Xo工 0）,2xo=- (x -xi),2x1方法一：联立消去y，得x2+?x - xi2 - 2=0.Xi M是PQ的中点-XiX20=丄Xi_ i 20= Xi 2（X o Xi）.Xi消去Xi,得 yo=xo2+i（x o 工 0）,2xo PQ中点M的轨迹方程为y=x2 +i（x 工 0）.2xo方法二:由 yiXi2,21 2y2=X2 , xo=2xix22/i 2 i 2 iX2）,得 yi- y2= xi X2 = （xi+X2）（x i- X2）=xo（xi2

6、贝U xo=y2 =ki=-,Xi X2xi PQ中点M的轨迹方程为2y=x +2xo2+1(x 丰 0).(U)设直线 l:y=kx+b，依题意 k 丰 0,0,则 T(0, b).分别过P、Q作PP丄x轴，QQ丄y轴，垂足分别为PC CT,则1ST|ST|OT |OT |b|b|SP|SQ| PP|QQ|yjMly=1 2x2消去 x，得 y2 - 2(k 2+b)y+b2=0.y=kx+b1ST | ST |SP| |SQ|2i+y2=2(k +b)，iy2=b2.|b|(十 9 2* y； =2|b| I =2. yi、y2可取一切不相等的正数,-竺竺的取值范围是(2, + ).|SP

7、| |SQ|方法二：.竺空=心訥2. | SP| | SQ| yiy2b当b0时，空 d=b巡=迸亡卫=理+22；|SP| |SQ| b2bb当b0,于是 k +2b0,即 k 2b.所以 1ST! lSTl2( 2b b)=2 |SP| |SQ|b.当b0时，坐可取一切正数,b竺竺的取值范围是(2, + ).|SP| |SQ|方法三：由P、Q T三点共线得匕尸6, 即建上=心.x2x1贝U xiy2 bxi=X2yi bx2,即卩 b(x2 xi)=(x 2yi Xiy2).12 i 2x2xi xix2于是 b= -=xiX2.x2 xi2ii.Q im=JM jmJ 2xix2|+| 2

8、xix2|= |纠+| 些 |2.| SP| | SQ| | yi | | y2 |2 i2 i捲x? |生|可取一切不等于i的正数，Xi.竺旦的取值范围是（2, + ）.|SP| |SQ|3. （本小题满分i2分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独 采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45万元和30万元，采用相应预防措施 后此突发事件不发生的概率为 0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措 施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生

9、突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力,满分12分.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为400X 0.3=120 （万元）; 若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45万元，发生突发事件的概率为1 0.9=0.1，损失期望值为400X 0.仁40 （万元）,所以总费用为45+40=85（万 元） 若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1 0.85=0.15，损失期望值为400X 0.15=60 （万元），所以总费用为30+60=90（万元）； 若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75

10、（万元），发生突发事件的概率为（1 0.9 ） （1 0.85 ） =0.015，损失期望值为400X 0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81 （万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4. （本小题满分14分）1已知 a 0,数列an满足 a1a, an 1 a 一 , n 1,2,（I ）已知数列an极限存在且大于零，求（II ）设 bnan A,n 1,2,证明:bn 11anA lim an (将A用a表示); nbnA(bn A)（III ）若|bn |飞对n 1,2,都成立，求a的取值范围.2本小题主要考查数列、数列极限的概念

11、和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析两边取极限得问题和解决问题的能力，满分14分.解：(I )由 lim an存在，且A lim an(A 0),对an 1 nn1(IIbn即bm(III )A,解得A由 an bnA bnbna a22代an1_A对nA(bnA)4.又 A 0,1,2,1令吋-,得|a|2( a2 4a24 a1,解得a3现证明当a 3时,|bn |2右得bn11bnA都成立bn32.宁对n1bn AA(bnA)2 1a2 4)| 21,2,都成立.(i )当n=1时结论成立(已验证)(ii )假设当n k(k1)时结论成立，即| bk |,那么|bk1|bk|A(bk

12、A)|A|bk A| 2故只须证明A|bk A|2,即证A|bkA|-成立.2由于Aaa2 422a2_而当a3时,山a 1,A 2.|bkA| A |bk |丄2 即n=k+1时结论成立.故当a12k12k1,即 A|bkA| 2.12k 1 .根据(i )和(ii)可知结论对一切正整数都成立13故|bn|匚对n 1,2,都成立的a的取值范围为-,)225. (本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分)已知 a R，函数 f(x) x2 |x a|.(I )当a 2时，求使f (x) x成立的x的集合；(II)求函数y f(x)在区间1,2上的最小值.本小题主要考查运用导数研究

13、函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推 理能力.满分14分.解：(I)由题意，f(x) x2 x 2 .当 x2 时，f(x)x2(2x)x，解得 x 0或 x 1；当 x2 时，f(x)x2(x2)x，解得 x 12 .综上，所求解集为0,1,1近.(I)设此最小值为m . 当 a 1 时，在区间1,2 上, f(x) x3 ax2.因为2 2f (x) 3x 2ax 3x(x a) 0 , x (1,2),则f(x)在区间1,2上是增函数，所以m f(1) 1 a . 当 1 a 2 时，在区间1,2 上, f(x) x2(x a) 0，由 f(a) 0知m f(a)0. 当 a

14、2 时，在区间1,2 上, f(x) ax2 x3.2 2f (x)2ax 3x23x(fa x).若a 3，在区间(1,2)内f(x) 0，从而f(x)为区间1,2上的增函数，由此得m f(1) a 1.若 2 a 3，则 1 -a 2.3当1 x 2a时，f (x) 0，从而f(x)为区间1,a上的增函数；33当x 2时，f (x) 0，从而f (x)为区间-a,2上的减函数. 33因此，当 2a3 时，m f(1) a1或 mf(2)4(a 2).当 2a7 时，4(a 2) a1，故m f(2)4(a2);3当 7a3 时，a 14(a2)，故m f(1)a 1 .3综上所述，所求函数

15、的最小值2)a 1 2 a 当当当 当6. (本小题满分14分，第一小冋满分2分，第二、第二小冋满分各6分)设数列an的前n项和为Sn，已知a1 1, a2 6 ,a3 11，且(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B，n 1,2, 3 L ，其中A，B为常数.(I )求A与B的值；(n )证明：数列an为等差数列；(川)证明：不等式 J5a mn 寸 a m a n 1对任何正整数m,n都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力.解：(I)由已知，得 S1 a11 , S2 a1 a27 , S3 a1 a2 a3 18.由(5n 8)Sn 1

16、 (5n 2)Sn An B，知3S? 7 Si A B ，2S3 12S2 2A B，即A B2A B28，48，解得A20，B 8.(U)方法1由(I)，得(5n8)Sn 1(5n2)Sn20n8，所以(5n3)Sn 2(5n7)Sn 120n28.-，得(5n3)Sn 2(10 n1)Sn1(5n2)Sn20，所以(5n2)Sn 3(10n9)Sn2(5n7)Sn 120.-，得(5n2)Sn 3(15n6)Sn2(15n6)Sn 1(5n2)Sn 0因为an 1Sn 1Sn ，所以(5n2)an 3(10 n4)an2(5n2)an 10 .又因为5n2 0，所以an 32an 2an 10，即an 3an 2an 2an 1 ，n 1.所以数列an为等差数列.方法2由已知，得S1 a11 ,又(5n 8)Sn i (5n 2)Sn20n 8，且 5n 8 0,所以数列Sn是唯一确定的，因而数列an是唯一确定的.设bn 5n 4，则数列bn为等差数列，前n项和Tnn(5n 3).23)22于是(5n 8)Tn i(5n 2)Tn (5n 8)(n 1)(5n 2)(5n2) n