高考数学(江苏二轮专题攻略课件专题四微专题8解析几何中最值与取值范围的问题

1、微专题8解析几何中最值与取值范围的问题核心题型突破栏目索引0微专题8解析几何中最值与取值范围的问题核心题型突破题型一 利用图形的性质求解2 2例1 （2017江苏无锡期末）已知椭圆+十二1，动直线/与椭圆交于5C两点.若点B的坐标为，求OBC面积的最大值.核心题型突破栏目索引C3解析由已知得，直线OB的方程为尸詁即3炉2尸0.设经过点C且平行于直线a的直线啲方程为尸芸+b,则当r与椭圆只有一个公共点时Aobc的面积最大由V2 2 3 3消去y并整理，得衣+3分+决3二0.由/二9典12（决3）二0懈得by = x + bI 2/二2馆当b二2馆 时,C -y/3,大值为fxi +匕_ 2丿 9

2、XI3V3 + V3I_4V13（ 入、;当b=2乜时,C履-亠所以ZXOBC面积的最 2 丿【方法归纳】锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为在某区间的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方 程,化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和（或差）与第三边的不等关系 求解.圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法.核心题型突破栏目索引C2 21-1设P是椭圆*+*=1上一点MN分别是两圆:(兀+4)+2二1和(x-4)2+/= 1上 的点侧IPM+PN的最小值、最大值分别为、答案8;12相交于胚“两点，此时解析 由椭圆及圆的方程可知，两圆圆

3、心分别为椭圆的两个焦点由椭圆的定 义知,PA+PB=2a=lQ.连接PAJPB份别与圆相交于两点，此时LPMI+IPV1最 小，最小值为F4I+IPBI2二8;连接P4FB并延长，分别与 PM+PN最大，最大值为F4I+LPBI+2二12.综上PMI+IPVI的最小值和最大值分 别为&12.1-2 (2018如东高级中学第二学期阶段测试)在平面直角坐标系xOy中，已 知为圆x2+j2=4上两点，点4(1,1),且AB丄AC,则线段BC的长的取值范围是答案舲-血,舲+血解析 设BC的中点为D连接ADQD由丄AC,得BC=2AD,OD丄BCQD，+DC2=OC 即 0/)2+42=比.设 D(x,

4、y),则 *3+(炉 1)2+_1)2二4,化简，得匕一引 + 丄丫仝，此即为点D的轨迹方程，圆心(丄,丄与点A(l,l)之间的距离为至则I 2) 2(2 2丿2並-：HWADW返+.所以BC=2AD e 羽-迥,羽+逅.2 2 2 2题型二利用不等式求解2 2 例2 (2017苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:+补二 a b1 (ab0)的离心率为丰，且右焦点F到左准线的距离为6迈.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A为椭圆C的左顶点屮为椭圆C上位与兀轴上方的点，直线P4交y轴于点胚解析(1)由题意，得 =返 a 22c + = 6a/2.c解得厂所以b=2l. c

5、= 2J2.2 2 所以椭圆C的标准方程为二+丄二1.16 8(2)由题意，设直线FA的方程为尸心+4)00,则M(0,4Q.所以直线FN的方程为尸空(炉2血),则M。,-* .4k核心题型突破栏目索引C 当直线PA的斜率为*,即詁时,M(0,2),N(0,-4), 因为MF丄FN,FQ迈,0),所以FMN的外接圆的方程为分+1 丫二9.歹=心+ 4)， 由/+亍_消去y并整理,得.16核心题型突破栏目索引04_液2（解得心4或7产所以H8疋一4 同理可得Qw8k1 + 2疋所以化0关于原点对称，即直线戶0过原点.所以 APQ 的面积S二 * 1041 (yP-yQ)=2 x16k1 + 2/

6、322k +W8血，当且仅当即K(1 +2lc)x+16+32 心 16=0 4-加 祿1 + 2k? 1 + 2k?又易知直线AN的方程为尸-（兀+4）,社时，取等号.所以4F0的面积的最大值为8VI【方法归纳】 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变，但总体上主 要是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的 表达式，然后利用基本不等式等进行求解.2-1 （2018盐城中学高三数学阶段性检测）在平面直角坐标系中冲心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆，点只（0）是它的一个焦点分别为上顶点和右顶 点，原点O到线段的距离为迺.求椭圆E的标准方程;（2）过原点O的直线与线段AB

7、交于点D与椭圆交于点求四边形AEKF面积的最大值.2 2解析才+亍(2)设EF的方程为y=kx(k0).y = kx,4x2 +3y2 = 12,4x2+3k2x2= 12.所以兀;二124 + 3宀12k24 +3k2I12(l + /c2)4 4 + 3 疋所 EF=2OE=2yxl + y =2 又点A0到EF的距离为y/l + e 71+F所以四边形AEBF的面积为S二迪2 +理).J4 + 3k2又因为(2+尿疋2(4曲，所以岳朋所以頁2屈故四边形4EBF面积的最大值为2&题型三利用函数的方法求解2 2cr b例3 (2017苏锡常镇二模)已知椭圆。鼻+書二lb0)的左焦点为F(-l

8、,0),左 准线方程为x=2.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知直线/交椭圆C与A 0两点. 若直线/经过椭圆C的左焦点F,交y轴于点只且满足臥二总，丘二“品,求证汎 +为定值； 若4,3两点满足OAJL 03(0为坐标原点)，求的面积的取值范围.核心题型突破栏目索引Q解析由已知，得c=l,2.解得眉2,则夕=1.所以椭圆C的标准方程为y+y=l.(2)证明:由题设，直线Z的斜率存在.设直线/的方程为尸紅x+1),则P(O,Q.核心题型突破栏目索引C设A(xj)0(jV2j2),将直线伯勺方程代入椭圆的方程，得？+2眦兀+1)2=2 整理，得(1 +2疋)分+4炸+2尿2=0. 4*22

9、k 2 几i十儿2兀1兀2 T71 + 2k1 + 2kT TT_ y_ y由 PA=AAF PB=a BF,知尼一戶 一J严1 + x,l + x2-44疋_4加+歼:+ ： +簣=丐*丰4(定值).1 + 兀+ 小 + %1兀2 + 4Zc + 2k 211 + 2疋 1 + 2/当直线OA,OB分别与坐标轴重合时湯知4OB的面积5=;2当直线OAQB的斜率均存在且不为零时， 设直线OA :y=kx,直线OB:y二丄兀人（兀1 $）0（兀2丿2）,K将y=尬代入椭圆C的方程，得士+2纭2二2.222k2,2_ :所以虫乔石用=乔可同理工二r,/ 所以zviob的面积s二坐工2令匸加+1侧胆

10、1+00）,(2 疋+1)伙2+ 2)2 + k2y2=7+k 伙2 +1）2I产(2r-l)(r + l)14w=-,贝检 u(o,i, t2 V|亍3核心题型突破栏目索引一核心题型突破栏目索引Q【方法归纳】 解决有关范围、最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的 坐标、角、斜率等）,建立目标函数，然后通过求这个函数的值域解决问题.圆 锥曲线中的范围与最值问题大致可分为两类:一是设计距离、面积的最值以 及与之相关的一些问题;二是求直线与圆锥曲线中几何元素的范围与最值，以 及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.核心题型突破栏目索引Q3-1 (2018如东高级中学第二学期阶段测试)已知圆M

11、:x2+(y-4)2=4,P是直线 l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线FA,P5切点为40.(1)当切线的长度为2馆时，求点P的坐标；若的外接圆为圆N,试问:当P运动时，圆N是否过定点?若过点定，求岀 所有的定点的坐标;若不过定点,请说明理由；求线段长度的最小值.核心题型突破栏目索引C解析(1)由题可知，圆M的圆心M(0,4),半径厂=2.设P(2bQM的一条切线，所以ZMAP=90.所以MF二 J(0 - 2疔 + (4 -二 Jam 2 + 仲2 二4Q解得归0或b二亍所以P(090)或P(2)设PQb、b).因为ZMAP=90所以经过4只M三点的圆N以MP为直径,2其方程为(x-/?)2+f y -4戻+0 4)24核心题型突破栏目索引Q即(2%+丁-4)工(卡+才-4)=0乡巧穿。解得x +y -4y = 0,8x =54 ,=?所以圆过定点(0,4), |,扌 即卡+只2 加(b+4)y+4b 二 0 ，圆 M:x2+(j-4)2=4,即