(完整)概率论与数理统计知识点总结!,推荐文档

1、61.1随机事件概率论与数理统计第一章随机事件及其概率一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：1.2概率a所含样本点数古典概型公式：p（a）= w所含样本点数 实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例 1：将 n 个球随机地放到 n 个盒中去，问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少？解：设a：“每个盒子恰有 1 个球”。求：p(a)=？ 所含样本点数： n n . n = nnn (n - 1) (n - 2) . 1 = n! p( a) = n! 所含样本点数：nn补例 2：将 3 封信随机地放入 4 个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为 1

2、、2、3 的概率各是多少？解：设 ai ：“信箱中信的最大封数为 i”。(i =1,2,3)求：p(ai)=？ 所含样本点数： 4 4 4 = 43 = 64a1 所含样本点数： 4 3 2 = 24 p( a ) = 24 = 316483a2 所含样本点数： c 2 4 3 = 36 p( a2) = 36 = 9 6416a 所含样本点数： c 3 4 = 433 p( a3) = 464= 1 16注：由概率定义得出的几个性质：1、0p（a）12、p()=1，p() =01.3概率的加法法则定理：设 a、b 是互不相容事件（ab=），则： p（ab）=p（a）+p（b）推论 1：设 a

3、1、 a2、 an 互不相容，则p(a1+a2+.+ an)= p(a1) + p(a2) + p(an)推论 2：设 a1、 a2、 an 构成完备事件组，则p(a1+a2+.+ an)=1推论 3： p（a）=1p（ a ）推论 4：若 b a，则 p(ba)= p(b)p(a)推论 5（广义加法公式）：对任意两个事件 a 与 b，有 p(ab)=p(a)+p(b)p(a b)补充对偶律：a1 a2 . an a1 a2 . ana1 a2 . an a1 a2 . an1.4条件概率与乘法法则条件概率公式：p(a/b)= p(ab) （p(b)0）p(b/a)=p(b)p( ab)（p(

4、a)0）p( a)p（ab）=p（a/b）p（b）= p（b / a）p（a）有时须与 p（a+b）=p（a）+p（b）p（ab）中的 p（ab）联系解题。全概率与逆概率公式：n全概率公式： p(b) = p( ai )p(b / ai )i =1逆概率公式：p( ai/ b) = p( ai b)(i = 1,2,.,n)p(b)（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 独立试验概型事件的独立性： a与b相互独立 p( ab) = p( a) p(b)贝努

5、里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本 p24另两个解题中常用的结论1、定理：有四对事件：a 与 b、a 与 b 、 a 与 b、 a 与 b ，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。 2、公式： p( a1 a2 . an ) = 1 - p( a1 a2 . an )第二章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为a写成一行；计算各种事件概率，记为 p k 写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质1、 pk 0 （非负性）2、 pkk= 1（可加性和规范性）补例 1：将一颗骰子连掷 2 次，以a 表示两次所得结果之和，试写出

6、a的概率分布。解： 所含样本点数：66=36所求分布列为：补例 2只球中最一袋中大号码有 5 只，试写乒乓球，出a的概c 3编号 1，率分布。2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以a表示取出3apk解： 所含样本点数： 所求分布列为：5 =10a345p k1/103/106/102、求分布函数 f(x)：分布函数f ( x) pax二、关于连续型随机变量的分布问题： pkxk x xr，如果随机变量a的分布函数 f（x）可写成 f（x）= a( x) dx连续型。a( x) 称概率密度函数。，则a为解题中应该知道的几个关系式：a(x) 0a ( x) dx 1bpa a b = pa a

7、b = f (b) - f (a) =a(x)dxa第三章随机变量数字特征一、求离散型随机变量a 的数学期望 ea =？数学期望（均值）ea= xk pkk二、设a 为随机变量，f(x)是普通实函数，则 =f(a)也是随机变量，求 e=?ax1x2xkpkp1p2pk= f(a)y1y2yk以上计算只要求这种离散型的。补例 1：设a的概率分布为：a101252pk15110110310310a101252pk15 110 110 310 310=a1210132=x21014254求：a= a- 1，a= a2 的概率分布； ea。解：因为所以，所求分布列为：=a1210132pk151101

8、10310310和：=x21014254pk15110110310310当 =a1 时，e=e（a1）=2 1 +(1) 1 +0 1 +1 3 + 3 35=1/4101010210当 =x2 时 ，e=e x2=1 1 +0 1 +1 1 +4 3 + 25 35101010410=27/8三、求a 或 的方差 da =？d=？实用公式 da= ea2 e 2a其中， e 2a= (ea)2 = ( xkkpk )2ea2= x2 k pkk补例 2：a202pk0.40.30.3求：e a 和 d a解： ea=20.4+00.3+20.3=0.2ea2=（2）20.4+020.3+22

9、0.3=2.8 da= ea2 e 2a=2.8（0.2）2=2.76第四章几种重要的分布名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布n pn p q0p0泊松分布不要求0指数分布不要求01a1a2常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）解题中经常需要运用的 e a 和 d a 的性质（同志们解题必备速查表）e(aa) = ea ead(ca) = c2 da若a、a独立，则e(a) = ea ea若a、a独立，则d(aa) = da+ dad(c) = 0e(c) = cd a 的性质e a的性质e(ca) = c ea第五章参数估计8.1估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）若总体参数

10、的估计量为a ，如果对任给的 0，有lim pa a a 1 ，则称 是 的一致估计；n如果满足 e(a) a，则称 是 的无偏估计；如果a 和均是 的无偏估计，若 d(a) d(a) ，则称a 是比有效的12估计量。12128.3区间估计： 几个术语1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量a (x ，.，x) 及11n2a (x1，.，xn )，对于给定的a（0a1）满足：pa (x ，.，x ) aa (x ，.，x) = 1-a11n21n则称随机区间（a ， ）是a的 100（1a）的置信区间， 和称为a的1212100（1a）的置信下、上限，百分数 100（1a）称为置

11、信度。一、求总体期望（均值）e a 的置信区间1、总体方差a2 已知的类型7据a，得f0(ua) 1 a，反查表（课本 p260 表）得临界值u ；2a1 n xann x = i i=1求 d=ua 置信区间（ x -d， x +d）补简例：设总体 x n (a,0.09) 随机取 4 个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值 的 95%的置信区间。解：1=0.95，=0.05a（u）=1 =0.975，反查表得：u=1.9614x =x =12(12.6 + 13.4 + 12.8 + 13.2) =1344i i=1=0.3，n=4d=ua a =1.96 0.

12、3 =0.29n4所以，总体均值 的 =0.05 的置信区间为：（ x d， x d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、总体方差a2未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据a和自由度 n1（n 为样本容量），查表（课本 p262 表）得ta(n -1) ；nn1确定 x =xis 2 = 1 n(x - x )2n -1和i=1ii=1求 d= t (n -1) s置信区间（ x -d， x +d）na注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差a2 的置信区间据 和自由度 n1（n 为样本数），查表得临界值：aa2 (n -1)2a2a和1-

13、 2(n -1)nn1确定 x =xis 2 = 1 n ( x - x )2n -1和i=1ii=1(n -1)s 2(n -1)s227a上限2a1-(n -1)下限 aa 2 (n -1)22置信区间（下限，上限） 典型例题：补例 1：课本 p166 之 16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对 10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（0.04）。解：=0.04，又 n=10，自由度 n1=9查表得，a2 (n -1)a2= a 2(9) =19.70.02

14、a2(n -1)1-a=22a0.98(9)=2.5310 1 10 x =xii=1= 1 (482 + 493 + . + 469) =457.510s 2 = 1 10 ( x - x )2 = 1 (457.5 - 482)2 + (457.5 - 493)2 + (457.5 - 469)2 9 i=1i9=1240.28a(n -1)s29s29 1240.28上限2a(n -1) = a2(9) =2.53=4412.061-0.982(n21)s-2下限 a (n -1)9s29 1240.28= a2(9) =566.63a0.02219.7所以，所求该批木材横纹抗压力的方差

15、的置信区间为（566.63，4412.06）第六章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设 h02、选择统计量 3、据检验水平a，确定临界值 4、计算统计量的值 5、作出判断检验类型：未知方差a2 ，检验总体期望(均值)根据题设条件，提出 h0:a= a0 ( a0 已知)；选择统计量 t = t(n - 1) ；x - as /n据a和自由度 n1（n 为样本容量），查表（课本 p262 表）得ta(n -1) ；由样本值x - as /n算出 x ？和 s ？从而得到 t=；0若t0作出判断若t0典型例题： ta(n - 1)， 则拒绝h 0对一批新的某

16、种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查 5 个，得到爆破压力的数据（公斤/寸 2x - as /n）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为 549 公斤/寸 2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解：h :a= 549 选择统计量 t =0 t(n - 1)a=0.05，n1=4，查表得： t0.05(4) =2.776 又 x = 1 (545 + . + 545) =5435s2= 1 (545 - 545)2 + . + (543 - 545)2 =57. t0 =4x - a543 -549 5

17、7.5 /5 =s /n=1.772.776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。(n -1) s 2a2检验类型：未知期望(均值)，检验总体方差a2aa aa2 (n -1) =根据题设条件，提出 h0: =0 ( 0 已知)；选择统计量；据a和自由度 n1（n 为样本容量），查表（课本 p264 表）得临界值：a2(n -1)1-aa 2 (n -1) ；和a22(n -1) s 2a2a2 (n -1) =；由样本值算出 x ？和 s ？从而得到 0若aa 2(n -1)01-a 2 (n -1) a 2a (n -1)则接受假设，否则拒绝!22补例：某厂生产铜丝的折

18、断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差a2 =64，今从一批 产 品 中 抽 10 根 作 折 断 力 试 验 ， 试 验 结 果 （ 单 位 ： 公 斤 ）： 578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是 64？（=0.05） 解： h0:a=64(n -1) s 2a2a2选择统计量(n -1) =a=0.05，n1=9，查表得：a2(n -1) a2(9)1-a=0.975=2.72a2 (n -1)a2(9)a=0.025=192又 1 (578 + . + 570) =575.2s2= 1 (575.2 - 5

19、78)2 + . + (575.2 - 570)2 =75.73 x = 109a2 (n -1) = 9 75.73 = 10.65 a2(9) =2.7 a 2 (n -1) = 10.65 0，则称为事件 a 发生条件下，p( a)p( ab)事件 b 发生的条件概率，记为 p(b / a) =。p( a)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 p(/b)=1 p( b /a)=1-p(b/a)（13）乘法公式乘法公式： p( ab) = p( a)p(b / a)更一般地，对事件 a1，a2，an，若 p(a1a2an-1)0，则有p( a1 a2 an) = p(

20、 a1)p( a2 | a1)p( a3 | a1 a2) p( an | a1 a2 an - 1) 。（14）独立性两个事件的独立性设事件 a 、 b 满足 p( ab) = p( a)p(b) ，则称事件 a 、 b 是相互独立的。若事件 a 、 b 相互独立，且 p( a) 0 ，则有p(b | a) = p( ab) = p( a)p(b) = p(b)p( a)p( a)若事件 a 、 b 相互独立，则可得到 a 与 b 、 a 与 b 、 a 与 b 也都相互独立。必然事件w 和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 abc 是三个事件，如果满足

21、两两独立的条件， p(ab)=p(a)p(b)；p(bc)=p(b)p(c)；p(ca)=p(c)p(a) 并且同时满足 p(abc)=p(a)p(b)p(c)那么 a、b、c 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 b1, b2,l, bn 满足1 b1, b2,l, bn 两两互不相容， p(bi) 0(i = 1,2,l, n) ，na u bi2i=1，则有p( a) = p(b1)p( a | b1) + p(b2)p( a | b2) +l + p(bn)p( a | bn) 。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果

22、要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；（16）贝叶斯公式设事件 b1 ， b2 ， bn 及 a 满足1 b1 ， b2 ， bn 两两互不相容， p(bi) 0， i = 1，2， n ，a un bip( a) 02i=1， 则p(b / a) =p(bi )p( a / bi )，i=1，2，n。in p(bj )p( a / b j )j =1此公式即为贝叶斯公式。p(bi ) ，（ i = 1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率。p(bi / a) ，（ i = 1 ， 2 ， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分

23、为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。（17）伯努利概型我们作了n 次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果， a 发生或 a 不发生；u n 次试验是重复进行的，即 a 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 a 发生与否与其他次试验 a 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 a 发生的概率，则 a 发生的概率为1 - p = q ，用pn(k ) 表示n 重伯努利试验中 a 出现 k (0 k n) 次的概率， pn(k ) = ck pk qn-kk = 0,1,2,l, nn，

24、。第二章随机变量及其分布（1）离设离散型随机变量 x 的可能取值为 xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(x=xk)的概率为p(x=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 x 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：x| x1, x2,l, xk ,lp( x = xk )p1, p2,l, pk ,l 。显然分布律应满足下列条件：（1）p 0k = 1,2,l pk = 1k， （2） k =1。散型随机变量的分布律（2）连设 f (x) 是随机变量 x 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有xf (x) = - f (x)dx ，则称 x

25、 为连续型随机变量。 f (x) 称为 x 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。+密度函数具有下面 4 个性质：1、 f (x) 0 。2、 - f (x)dx = 1 。x23、 p(x1 x x2 ) = f (x2 ) - f (x1) = x 1 f (x)dx4、p(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0续型随机变量的分布密度（3）离p( x = x) p(x x x + dx) f (x)dx积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 p( x = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。散与连续型随机变量的关系（4）分

26、布函数设 x 为随机变量， x 是任意实数，则函数f (x) = p( x x)称为随机变量 x 的分布函数，本质上是一个累积函数。p(a x b) = f (b) - f (a)可以得到 x 落入区间(a, b 的概率。分布函数 f (x) 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：10 f (x) 1,- x + ；2f (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2) ；3f (-) = lim f (x) = 0 ，f (+) = lim f (x) = 1；x-x+4f (x + 0) = f (x) ，即 f (x) 是右连续的；5p(

27、 x = x) = f (x) - f (x - 0) 。对于离散型随机变量， f (x) = pk ；xk xx对于连续型随机变量， f (x) = f (x)dx 。-（5）八大分布0-1 分布p(x=1)=p, p(x=0)=q二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件 a 发生的概率为 p 。事件 a 发生的次数是随机变量，设为 x ，则 x 可能取值为0,1,2,l, n 。p( x = k ) = pn(k ) = c k pk qn-k ， 其中nq = 1 - p,0 p 0 ， k = 0,1,2l，k!则称随机变量 x 服从参数为a的泊松分布，记为 x a(a) 或者p(a)。

28、泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。几何分布p( x = k ) = qk-1 p, k = 1,2,3,l ，其中 p0，q=1-p。随机变量 x 服从参数为 p 的几何分布，记为 g(p)。均匀分布设随机变量 x 的值只落在a，b内，其密度函数 f (x) 在a，b上1为常数，即b - a 1,axbf (x) = b - a其他，则称随机变量 x 在a，b上服从均0,匀分布，记为 xu(a，b)。分布函数为0，xb。当 ax1x2b 时，x 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为p(x x x ) = x2 - x1 。12b - a指数分布ae-ax ,x 0 ,f (x)

29、=0,x 0 ，则称随机变量 x 服从参数为a的指数分布。x的分布函数为1 - e-ax ,x 0 ,f (x) =0,x0。记住积分公式：+ xne -x dx = n!0正态分布设随机变量 x 的密度函数为21-( x-a) 2- x 0 为常数，则称随机变量 x 服从参数为a、a的正态分布或高斯（gauss）分布，记为 x n (a,a2 ) 。f (x) 具有如下性质：1f (x) 的图形是关于 x = a对称的；2当 x = a时， f (a)=1为最大值；2aa若 x n (a,a2 ) ，则 x 的分布函数为f ( x)= =1x e- ( t - a ) 2 dt02a 2参数

30、2a、aa-= 1时的正态x n (0,1) ，其密度函数记分布称为标准正态分布，记为为2a(x) = 1e- x22a， - x + ，分布函数为21x - tf(x) = e 2 dt 。2a -f(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x)1-(x) 且 (0) 。22x - a如果 x n (a,a ) ，则 a n (0,1) 。p(x aa)a。（7）函离散型已知 x 的分布列为xx1, x2, l, xn, l，p( x = xi) p1, p2, l, pn, ly = g( x ) 的分布列（ yi = g(xi ) 互不相等）如下：yg(x1), g(x

31、2), l, g(xn), l ，p(y = yi )p1,p2,l,pn,l若有某些 g(xi) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi) 的概率。数的分布函数连续型先利用 x 的概率密度 fx(x)写出 y 的分布函数 fy(y)p(g(x)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fy(y)。（2）定理法：当 y=g(x)严格单调并且可导时:其中 h(y)是 g(x)的反函数yxy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jmmmmmxipi1pijmmmmm（1）联合分布离散型如果二维随机向量a（x，y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称a为离散型随机量。设

32、a=（x，y）的所有可能取值为(xi , y j )(i, j = 1,2,l) ， 且事件a= (xi , y j ) 的概率为 pij,称p( x , y ) = (xi , y j ) = pij (i, j = 1,2,l)为a=（x，y）的分布律或称为 x 和y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：这里 pij 具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2） pij = 1.ij连续型对于二维随机向量a= ( x , y ) ，如果存在非负函数f (x, y)(- x +,- y +) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 d，即 d=(x,

33、y)|axb,cyd有p( x ,y ) d = f (x, y)dxdy,d则称a为连续型随机向量；并称 f(x,y)为a=（x，y）的分布密度或称为 x 和 y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0;+ +（2） - - f (x, y)dxdy = 1.（2）二维随机变量的本质a( x = x, y = y) =a( x = x i y = y)（3）联合分布函数设（x，y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数f (x, y) = px x, y y称为二维随机向量（x，y）的分布函数，或称为随机变量 x 和y 的联合分布函数。分布函数

34、是一个以全平面为其定义域，以事件(a1 ,a2 ) | - x (a1 ) x,- x1 时，有 f（x2,y）f(x1,y);当 y2y1 时，有 f(x,y2) f(x,y1);（3）f（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即f (x, y) = f (x + 0, y), f (x, y) = f (x, y + 0);（4） f (-,-) = f (-, y) = f (x,-) = 0, f (+,+) = 1.（5）对于 x1 x2，y1 y2p(x1xx2,y1yy2)= f (x2，y2 ) - f (x2，y1 ) - f (x1，y2 ) + f (x1，y1 ) 0

35、（4）离散型与连续型的关系p( x = x，y = y) p(x x x + dx，y 0,a2 0, | a| 1是 5 个参数，则称（x，y）服从二维正态分布，记为（x，y）n（ a, a a2 ,a2 , a).12, 12由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 xn（ a,a2 ),y n (a a2 ).112, 2但是若 xn（ a,a2 ),y n (aa2 ) ，(x，y)未必是二维正态分布。112, 2正态分布（10）函z=x+y根据定义计算： fz (z) = p(z z) = p( x + y z)+对于连续型，fz(z) f (x, z - x)dx-两个独立的正态分布的和仍