初中数学猜想型问题分析及对策

1、初中数学猜想型问题分析及对策 摘 要： 猜想是具有一定深度和广度的思维活动，初中数学猜想型问题既初考查学生对数学知识的掌握程度，又促进学生探形成科学探究的思维方式. 关键词： 初中数学猜想型问题探究 猜想 类比 创新思维 新课程改革以来，教师逐渐认识到了提高学生的自主探究能力远比单一掌握数学知识重要.学生学习能力提高了才能举一反三，为今后学习奠定基础.反之，仅仅掌握数学知识，思维得不到真正的发展.基于这样的认识，猜想型问题越来越受中考命题者的喜爱. 猜想是一种具有一定深度和广度的思维活动，是数学操作、探究、发现过程中的一种探究性思维，这类问题既考查学生对数学知识的掌握程度和收集、处理信息的能力

2、，又促进学生形成科学探究的思维方式，为发展学生的创新思维能力奠定基础.随着新课程的实施，今后中考试题中的数学猜想问题必将呈现新的局面，为新课程的实施和中学数学教学的改革起到推动作用. 猜想型问题要求学生根据题目中的数字或者图形，分析归纳，直观地发现共同点或者发展变化的趋势，据此推测估计一些和我们所学知识不同却又类似的相关结论，使带有猜想性质的推断尽量与实际情况相一致。题目如果需要则可以进行验证或者证明，据此体现出猜想的真正内涵.猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以多种形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找共同的地方，这个存在于个别情况中的共性就是规律.其中蕴含“特殊一

3、般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法更灵活多样：计算、验证、类比、测量、操作等都能用到.由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，因此备受命题专家的青睐，成为中考的热点.本文从以下方面探讨猜想型问题. 一、教师在猜想型问题教学方面的不足 教师往往平铺直叙，照本宣科地将知识程序化地教给学生，学生只知其然，而不知其所以然.教师没有给学生留有思考的余地，没有给予学生思考的空间，也没有让学生多角度、全方位地

4、探讨解题途径，束缚了学生的思维，课后也没有总结，没有总结如何更好地让学生领悟，因此现在普遍有学生反映“上课听起来全懂，可等到一做作业就不知道怎么下手”. 二、学生在解决猜想型问题方面的不足 学生很容易受已有知识局限性的影响，产生思维定势，还有可能受平时一些不良习惯的影响，在理解题目上产生偏差，以致产生负迁移. 以一道中考题为例：我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段ab的最小覆盖圆就是以线段ab为直径的圆. （1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求

5、证明）. 此题学生很容易误认为是平时所学习的三角形外接圆的问题，导致第一小题锐角三角形和钝角三角形都画成了三角形的外接圆，第二小题的结论也变成了平时上课所教的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的外接圆圆心的分类问题，学生对三角形外接圆的知识比较熟，看到这个概念，脑子里很机械地反映出这个知识点，这道题目就失去了它的意义. 三、猜想型问题解决策略 1.以特殊值为突破口进行猜想 特殊值猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析、仔细观察、综合归纳、大胆猜想、得出结论，进而加以验证的数学探索题.其解题思维过程是：从特殊情况入手探索发现规律综合归纳猜想得出结论验证结论，

6、这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性. 例1：将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行，将结果填在下表中，并解答所提出的问题： （1）如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ （3）利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ （4）能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ 解析：在具体活动中思考正方形个数与所剪次数的关系，从特殊到一般，揭示正方形个数匀速增加每次3个，最后得到当所剪次数为n时，正方形的个数为3n+1，在求剪22个正方形的时候，3n+1=2

7、2运用方程模型体现规律的一般性，学生在学习中经历具体到抽象到具体的思维过程，感受这种方法的乐趣. （1）1003+1=301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个； 2.用数形结合的思维探索并猜想 此类问题通常考查数的变化规律，然后用代数式表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值.解题时，要通过观察、猜想和验证等步骤，应使所得到的规律具有普遍性，只有这样才能应用于解题. 3.用类比感悟的思维方式进行猜想 通过动手实践，自主探索，动脑独立思考，经过试验、操作、观察、类比、归纳、猜想等活动，在手脑并用中体会思想方法，得出来的一定符合一定的经验与事实的数学结论

8、.在解题过程中，题目结构相同或类似，解题方法可能相同或类似，以此尝试确定解题的思路. 例3.阅读下面的材料：小明遇到这样一个问题：如图，在边长为a（a2）的正方形abcd各边上分别截取ae=bf=cg=dh=1，当afq=bgm=chn=dep=45，求正方形mnpq的面积. 小明发现：分别延长qe，mf，ng，ph交fa，gb，hc，ed的延长线于点r，s，t，w，可得rqf，smg，tnh，wpe是四个全等的等腰直角三角形（如图）. 请回答： （2）求正方形mnpq的面积. 参考小明思考问题的方法，解决问题： 解析：本题是一道典型的类比猜想型试题，先由材料给出由等腰直角三角形拼成新正方形，

9、教师引导学生找其中的等量关系，发现为什么能拼成新正方形的理由，从而得出其实中间的小正方形也是由四个小等腰直角三角形拼成的，从而得出第三小题变成等边三角形后得出类似的解法，学生可以先模仿其画出图形. 分别延长rd，qf，pe交fa，ec，db的延长线于点s，t，w.由题意易得：rsf，qet，pdw均为底角是30的等腰三角形，其底边长均等于abc的边长. 不妨设等边abc的边长为a，则sf=ac=a. 过点a作ansd于点n，设ad=as=x， 此题以正方形为载体，巧妙地设计了一个类比求面积或边长的自主探索的开放性试题，构思精巧，设计独特，是一道好题.目的在于考查学生合情推理、逻辑推理、分析问题

10、的能力，更注重学生思维探究过程.类比猜想型问题，要先仔细读懂题目所给的材料或所进行的操作及方法，然后进行类比迁移、合理猜想.因此，掌握题中所给材料是解题的关键，当然此类问题要防止产生负迁移. 4.利用问题引发学生操作并猜想 由于数与形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而形具有形象、直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，我们把数对应的形找出来，利用图形解决问题. 例4.圆心角与圆周角关系定理的发现过程 关于一条弧所对的圆周角与它所对圆心角的关系，我们用问题串引导学生进行试验与探究，从而猜想得到的结论： （1）任意画一个圆o，在圆上任意取三个点a，b，c，分别连接ab

11、，ac，ob，oc. （2）在你所画的圆中，哪个角是圆周角？哪个角是圆心角？ （3）圆心o与你所画出的圆周角有什么位置关系？圆心o与圆周角还可能有哪几种位置关系？ 学生猜想：圆周角与所在圆的圆心的关系有三种：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部. （4）分别量出三个图中，圆周角bac与圆心角boc的度数；你有什么发现？ 学生猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 之后教师与学生一起验证，显然这个定理是通过试验操作自己发现的.在探索过程中，学生获得了数学活动的经验.利用这种方法很好地激发了学习兴趣. 总之，做猜想型问题，教师应引导学生做猜想之前，先经过仔细思考

12、，合理推导，大胆又不失慎重地提出自己的合理猜想，然后进行验证.教师可以不断点拨、指导，帮助学生调整思路.在验证过程中，要帮助学生打开思路，让学生明白验证是一个科学、严谨的过程，必须在把各种情况都考虑过后才能慎重地得出结论.在得出结论的过程中，要提高学生的总结能力，引导学生回顾整个猜想的过程，明确猜想的合理性，感受验证过程对得出结论的重要性.只有通过这样的过程，学生才会发现结论的得出要建立在前面辛苦工作的基础上，结论不是随意得出的，而是有一定科学依据的. 猜想是数学中重要的思想和方法之一.较大的数字问题可仿较小数字问题处理，实现了以简驭繁的策略.在解题时，如果你不能解决所提出的问题，就可先解决“一个与此有关的问题”.你能否想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问