3.1.2　函数的表示法（解析版）

1、3.1.2函数的表示法一、知识点归纳知识点1.函数的表示法1.解析法是表示函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系2由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点2.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数1.分段函数虽然由几部分组成,但它仍是一个函数而不是几个函数2分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的如y其“段”是不等长的知识点3.三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量

2、间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图象研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大二、题型分析题型一 函数表示法【例1】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式tax.当x2时,t100；当x14时,t28,且参加此项任务的人数不能超过20人(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象【解析】(1

3、)由题设条件知,当x2时,t100,当x14时,t28,列出方程组解得所以tx.又因为x20,x为正整数,所以函数的定义域是x|0x20,xN*(2)x1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,共取20个值,列表如下：x12345678910t19710068.35344.238.73532.530.829.6x111281920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列,如图所示【规律方法总结】函数的三种表示法的选择和应用的注

4、意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”【变式1】. 某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是()【参考答案】D【解析】：由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线

5、比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.题型二 函数图象的作法及应用 【例2】作出下列函数的图象,并指出其值域(1)yx2x(1x1)；(2)y(2x1,且x0)【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示由图可知yx2x(1x1)的值域为.(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示由图可知y(2x1,且x0)的值域为(,12,)【规律方法总结】描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等要分清这些

6、关键点是实心点还是空心圈【提醒】函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等 【变式2】已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是_,值域是_【参考答案】：3,32,2【解析】：结合图象,知函数f(x)的定义域为3,3,值域为2,2题型三函数解析式的求法【例3】求下列函数的解析式：(1)已知函数f(1)x2,求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数,且f(0)1,f(x1)f(x)2x2,求f(x)【解】(1)法一：换元法设t1,则x(t1)2(t1)f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21,f(x)x21(x1)法二：配凑法x2()2211(1)21,f(

7、1)(1)21(11),f(x)x21(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)f(0)1,c1.又f(x1)f(x)2x2,a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x2,整理,得2ax(ab)2x2.由恒等式的性质知,上式中对应项的系数相等,解得f(x)x2x1.【规律方法总结】求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围

8、；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)【变式3】（1）已知f(x1)x23x2,求f(x)【解】：法一(配凑法)：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6,f(x)x25x6.法二(换元法)：令tx1,则xt1,f(t)(t1)23(t1)2t25t6,即f(x)x25x6.（2）已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x)4x8,求f(x)【解】：设f(x)axb(a0),则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又f(f(x)4x8,a2xabb4x8,即,解得或f(x)

9、2x或f(x)2x8.（3）已知f(x)2f(x)x22x,求f(x)【解】：f(x)2f(x)x22x,将x换成x,得f(x)2f(x)x22x.由得3f(x)x26x,f(x)x22x.题型四 分段函数的定义域、值域【例4】已知函数f(x),则其定义域为()ARB(0,)C(,0) D(,0)(0,)【参考答案】D【解析】要使f(x)有意义,需x0,故定义域为(,0)(0,)【规律方法总结】求分段函数定义域、值域的策略(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集；(3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决【变式4】函数f(x)的定义域

10、为_,值域为_【参考答案】(1,1)(1,1)【解析】由已知定义域为x|0x10x|1x0x|1x1,即(1,1)又0x1时,0x211,1x0时,1x210,x0时,f(x)0,故值域为(1,0)0(0,1)(1,1)题型五 分段函数求值问题 【例5】已知函数f(x)(1)求f(5),f(),f的值；(2)若f(a)3,求实数a的值【参考答案】见解析【解析】(1)由5(,2,(2,2),(,2,知f(5)514,f()()22()32.f1,且22,不合题意,舍去；当2a2时,a22a3,即a22a30.(a1)(a3)0,得a1或a3.1(2,2),3(2,2),a1符合题意；当a2时,2

11、a13,即a2符合题意综上可得,当f(a)3时,a1或a2.【规律方法总结】1求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入到不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内【变式5】已知函数f(x)则f(f(1)()AB2C4 D11【参考答案】C【解析】：由函数的解析式可得,f(1)1223,则f(f(1)f(3)34.题型六分段函数的图象及应用 【例6】如图,底角ABE45的

12、直角梯形ABCD,底边BC长为4 cm,腰长AB为2 cm,当一条垂直于底边BC的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有大众点)时,直线l把梯形分成两部分,令BEx,试写出阴影部分的面积y与x的函数关系式,并画出函数大致图象【解析】根据题意得,当直线l从点B移动到点A时,0x2,yx2；当直线l从点A移动到点D时,20时,f(a)f(1)2a20a1,与a0矛盾；当a0时,f(a)f(1)a120a3,符合题意5f(x)的定义域为_,值域为_【参考答案】：0,20,1【解析】：函数定义域为0,1(1,20,2当x(1,2时,f(x)0,1),故函数值域为0,1)0,10,16已知函数f(2x1)

13、3x2,且f(a)4,则a_.【参考答案】：【解析】：因为f(2x1)(2x1),所以f(a)a.又f(a)4,所以a4,a.7若f(x)f(x)2x(xR),则f(2)_.【参考答案】：【解析】：f(x)f(x)2x,得相加得f(2)4,f(2).8求下列函数解析式：(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x1)f(x)2x9,求f(x)；(2)已知f(x1)x24x1,求f(x)的解析式【参考答案】见解析【解析】：(1)由题意,设函数为f(x)axb(a0),3f(x1)f(x)2x9,3a(x1)3baxb2x9,即2ax3a2b2x9,由恒等式性质,得a1,b3.所求函数解析式为f(

14、x)x3.(2)设x1t,则xt1,f(t)(t1)24(t1)1,即f(t)t22t2.所求函数为f(x)x22x2.四、课后提升作业一、选择题1已知函数yf(x)的对应关系如下表,函数yg(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2)的值为()A3B2C1 D0【参考答案】B【解析】：由函数g(x)的图象知,g(2)1,则f(g(2)f(1)2.2如果f,则当x0且x1时,f(x)等于()A. B.C. D.1【参考答案】B【解析】：令t,得x,所以f(t),所以f(x).3已知f(x)x2pxq,满足f(1)f(2)0,则f(1)()A6 B

15、5C5 D6【参考答案】D【解析】：由题意可知,1,2是方程f(x)0的两根所以即所以f(x)x23x2.所以f(1)(1)23(1)26.4若f(12x)(x0),那么f等于()A1 B3C15 D30【参考答案】C【解析】：令12xt,则x(t1),f(t)1(t1),即f(x)1(x1),f16115.5已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的解析式为()Ayx(x0) Byx(x0)Cyx(x0) Dyx(x0)【参考答案】C【解析】：正方形外接圆的直径是它的对角线,又正方形的边长为,由勾股定理得(2y)222,y2,即yx(x0)6下列给出的函数是分段函数的是()f(

16、x)f(x)f(x)f(x)ABC D【参考答案】B【解析】：对于：取x2,f(2)3或4,对于：取x1,f(1)5或1,所以都不合题意7设xR,定义符号函数sgn x则函数f(x)|x|sgn x的图象大致是()【参考答案】C【解析】：由题意知f(x)则f(x)的图象为C中图象所示8.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是()【参考答案】B【解析】：根据题意,知这列火车从静止开始匀加速行驶,所以排除A、D,然后匀速行驶一段时间后又停止了

17、一段时间,排除C,故选B.9已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数表达式是()Ax60tBx60t50CxDx【参考答案】D【解析】：由于在B地停留1小时期间,距离x不变,始终为150千米,故选D.10设函数f(x)若f4,则b()A1 BC D【参考答案】D【解析】：fff.当b时,3b4,解得b(舍去)当b1,即b时,24,解得b.故选D.11设f(x)若f(a)f(a1),则f()A2 B4C6 D8【参考答案】C【解析】：当0a1时,a11,f(

18、a),f(a1)2(a11)2a,f(a)f(a1),2a,解得a或a0(舍去)ff(4)2(41)6.当a1时,a12,f(a)2(a1),f(a1)2(a11)2a,2(a1)2a,无解综上,f6.12.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f等于()A B.C D.【参考答案】B【解析】：由题图可知,函数f(x)的解析式为f(x)所以f1,所以ff1.二、填空题13已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是_,值域是_【参考答案】3,32,2【解析】结合图象,知函数f(x)的定义域为3,3,值域为2,214若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这

19、个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是_【参考答案】y80x(x10),x(0,)【解析】由题意可知,长方体的长为(x10) cm,从而长方体的体积y80x(x10),x0.14已知具有性质：ff(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是_【参考答案】【解析】对于,f(x)x,fxf(x),满足；对于,fxf(x),不满足；对于,f即f故ff(x),满足综上可知,满足“倒负”变换的函数是.15.已知f(x)则ff_.【参考答案】：4【解析】：f(x)fffff2,f2,ff4.16若定义运算ab则

20、函数f(x)x(2x)的值域为_【参考答案】：(,1【解析】：由题意得f(x)画出函数f(x)的图象得值域是(,117已知函数f(x)若f(f(0)a,则实数a_.【参考答案】：【解析】：依题意知f(0)3022,则f(f(0)f(2)222aa,求得a.18.设函数f(x)若f(4)f(0),f(2)2,则f(x)的解析式为f(x)_.【参考答案】：【解析】：f(4)f(0),f(2)2,解得f(x)19根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)(A,c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是_,_.【参考答案】：6

21、016【解析】：因为组装第A件产品用时15分钟,所以15.由题意知4A,且30.由解得c60,A16.三、解答题20求下列函数的解析式：(1)已知f(x1)x23x2,求f(x)；(2)已知f(1)x2,求f(x)【解析】(1)解法一(替换法)：在f(x1)x23x2中,把x换成x1,得f(x)(x1)23(x1)2x22x13x32x25x6,即f(x)x25x6.解法二(配凑法)：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6,f(x)x25x6.解法三(换元法)：令tx1,则xt1,f(t)(t1)23(t1)2t25t6,即f(x)x25x6.(2)解法一(配凑法)：因为f(1)x2(1)24(1)3,而11,所以f(x)x24x3(x1)解法二(换元法)：令