计算水力学04

1、计算水力学计算水力学第四章第四章 河道水流计算河道水流计算 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n天然河道水流天然河道水流:一维流动一维流动n基本方程基本方程:圣维南方程组圣维南方程组n双曲线型微分方程有两类基本求解方法双曲线型微分方程有两类基本求解方法:n一是基于方程的特征线形式的特征线法一是基于方程的特征线形式的特征线法n二是基于偏微分方程的有限差分法二是基于偏微分方程的有限差分法n介绍适用于河道水流计算的有限差分法介绍适用于河道水流计算的有限差分法计算水力学计算水力学 李光炽李光炽第一节第一节 蛙跳格式蛙跳格式计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n蛙跳方法是最先使用的方法之一蛙跳方法是最先使

2、用的方法之一n优点是接近二阶精度，质量守恒很好优点是接近二阶精度，质量守恒很好nB是常数时连续方程的近似解是二阶的是常数时连续方程的近似解是二阶的n缺点是所得的结果为锯齿形线，原因是缺点是所得的结果为锯齿形线，原因是因变量是在奇、偶交替的点上计算的，因变量是在奇、偶交替的点上计算的，两组网格点互不相关。两组网格点互不相关。 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n该格式的稳定性的必要条件是该格式的稳定性的必要条件是 n其中其中U为特征流速，为特征流速，C 重力波速重力波速计算水力学计算水力学 李光炽李光炽第二节第二节 LaxWendroff格式格式n和和W提出了有

3、限提出了有限差分格式写成守恒形式的一阶微分方程差分格式写成守恒形式的一阶微分方程系统为：系统为：该方程首先应用于气体动力方程的系统。该方程首先应用于气体动力方程的系统。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n应用台劳级数展开应用台劳级数展开 n保留表达式的头三项，并应用原方程保留表达式的头三项，并应用原方程 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽式中式中=A()是是()关于的雅可比行列式：关于的雅可比行列式：展开式变成展开式变成 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽式中式中该式是二阶精度的显式有限差分格式该式是二阶精度的显式有限差分格式方法可以简化，令为常数有方法可以简化，令为常数有:计算水力学计算水力

4、学 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n此式可用两步法代替此式可用两步法代替1、用下式计算中间值：、用下式计算中间值：2、用、用“校正校正”格式计算输出值：格式计算输出值： 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽格式的稳定性条件为：格式的稳定性条件为： 是矩阵的特征值是矩阵的特征值n格式的使用格式的使用,需要初始条件尽可能满足流动方程需要初始条件尽可能满足流动方程,格式格式具有二阶精度具有二阶精度,而且是不耗散的而且是不耗散的,这样这样,它它不会使初始扰动光滑化。对于这一方程不会使初始扰动光滑化。对于这一方程和的边界值需用特征线法计算。和的边界值需用特征线法计算。 计算水力学计算水力学

5、 李光炽李光炽第三节第三节 隐式格式隐式格式n格式应用的微分方程形式格式应用的微分方程形式与常用的有所不同，在连续方程中用与常用的有所不同，在连续方程中用“存储宽度存储宽度 ”的概念，在动量方程中的概念，在动量方程中用用“计算宽度计算宽度”的概念的概念计算水力学计算水力学 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 李光炽李光炽离散格式离散格式tfftfffffxxxfnjnjnjnjnjnjjj111111111)(21)(211thhthQQQQxxxQnjnjnjnjnjnjjj111111111)(21)(211计算水力学计算水力学 李光炽李光炽交错网格交错网格计算水力学计算水力学 李光炽李光炽

6、n差分方程采用追赶法求解。差分方程采用追赶法求解。nAbbott格式是无条件稳定的，如果时步格式是无条件稳定的，如果时步长过大时，它的收敛速度较慢。长过大时，它的收敛速度较慢。 n不管怎样，这种格式可以在相当大的不管怎样，这种格式可以在相当大的Courant数下计算仍然保持稳定。在潮数下计算仍然保持稳定。在潮汐波计算中，汐波计算中， Courant数可取数可取1020，在明渠水流计算中，在明渠水流计算中， Courant数可取数可取100。)cuxt(tt00计算水力学计算水力学 李光炽李光炽第四节第四节Preissmann隐式格式隐式格式 n由于采用显格式对时间步长由于采用显格式对时间步长t

7、要施加限要施加限制，从而促使有限差分的隐式方法得到制，从而促使有限差分的隐式方法得到发展。本节介绍年发展起来的发展。本节介绍年发展起来的Preissmann隐式方法，其实际是一个隐式方法，其实际是一个四点隐格式，对圣维南方程进行离散，四点隐格式，对圣维南方程进行离散，得到以增量表达的非线性方程组，忽略得到以增量表达的非线性方程组，忽略二阶微量简化成为线性代数方程组，可二阶微量简化成为线性代数方程组，可以直接求解。以直接求解。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 李光炽李光炽Preissmann格式格式式中式中加权系数加权系数 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽四点线性隐格式四

8、点线性隐格式 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽连续方程连续方程 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽连续方程连续方程其中：其中：计算水力学计算水力学 李光炽李光炽动量方程动量方程 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽动量方程动量方程代入动量方程化简得代入动量方程化简得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽其中系数为其中系数为计算水力学计算水力学 李光炽李光炽任一河段差分方程任一河段差分方程 n为书写方便，忽略上标，任一河段差分方程写为书写方便，忽略上标，任一河段差分方程写成：成：n其中均由初值计算，所以方程组为常系数线性方程组。其中均由初值计算，所以方程组为常系数线性方程组。对一条具有对一条具有-个

9、河段的河道，有个河段的河道，有2(L2-L11）个未知变量，可以列出个未知变量，可以列出 (L-L)个方程，加上河个方程，加上河道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组，可唯一道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组，可唯一求解未知量求解未知量 。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽格式的稳定条件和精度格式的稳定条件和精度 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解n对于该方程组，根据不同的边界条件，对于该方程组，根据不同的边界条件，可设不同的递推关系，用追赶法直接求可设不同的递推关系，用追赶法直接求解。对于河道的三种边界条件：解。对于河道的三种边界条件

10、： 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解、水位边界条件的计算、水位边界条件的计算 设如下的追赶方程设如下的追赶方程 因为因为 所以所以 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解n把把Zj的表达式的表达式n代入差分方程得代入差分方程得 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解n令令计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解由由和和解得解得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解n所以所以计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解最后一个追赶方程最后一个追赶方程

11、与边界条件与边界条件联立可求得联立可求得回代可求出各断面的水位和流量。回代可求出各断面的水位和流量。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解、流量边界条件的计算、流量边界条件的计算设如下的追赶方程设如下的追赶方程 因为因为 所以所以 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解n把把Qj的表达式的表达式n代入差分方程得代入差分方程得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解n以以Zj+1为自由变量，解出为自由变量，解出Zj和和Qj+1，得追，得追赶系数表达式赶系数表达式 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解最后一个追赶方程最后一个追赶方程与

12、边界条件与边界条件联立可求得联立可求得回代可求出各断面的水位和流量。回代可求出各断面的水位和流量。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽追赶法求解追赶法求解、水位、流量关系边界的计算、水位、流量关系边界的计算 对于水位流量关系，可线性化处理成同对于水位流量关系，可线性化处理成同流量边界条件一样计算。流量边界条件一样计算。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽水位流量关系边界水位流量关系边界n所以，可以把边界条件写成所以，可以把边界条件写成n与流量边界条件的表达式相同。与流量边界条件的表达式相同。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽第五节第五节 内边界的处理内边界的处理 n在河道水流计算中，除了外部边界条

13、件外，还在河道水流计算中，除了外部边界条件外，还可能遇到内部边界条件。可能遇到内部边界条件。n所谓内部边界条件是指河道的几何形状的不连所谓内部边界条件是指河道的几何形状的不连续或水力特性的不连续点。例如，集中入流，续或水力特性的不连续点。例如，集中入流，过水断面突然放大，堰闸过流等等。过水断面突然放大，堰闸过流等等。n内边界处，圣维南方程组不再适用，必须根据内边界处，圣维南方程组不再适用，必须根据其水力特性作特殊处理。内部边界条件通常包其水力特性作特殊处理。内部边界条件通常包含两个相容条件，即流量的连续性条件和能量含两个相容条件，即流量的连续性条件和能量守恒条件守恒条件(或动量守恒条件或动量守

14、恒条件)。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽一、集中旁侧入流一、集中旁侧入流 n对于集中旁侧入流，可设一虚拟河段，对于集中旁侧入流，可设一虚拟河段，这时基本的连接方程为这时基本的连接方程为 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n当上边界为水位边界条件当上边界为水位边界条件 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽n用上式计算虚拟河段的追赶系数，可同用上式计算虚拟河段的追赶系数，可同正常河道一样递推求解。正常河道一样递推求解。n当上边界为流量条件当上边界为流量条件 n用上式计算虚拟河段的追赶系数，可同用上式计算虚拟河段的追赶系数，可同正常河道一样递推求解。正常河道一样递推求解。计算水力学计算水力学 李光

15、炽李光炽二、河道与贮水池汇合二、河道与贮水池汇合n相容方程相容方程n贮水池的连续方程贮水池的连续方程 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽河道与贮水池汇合河道与贮水池汇合n相容方程n上边界是水位边界条件 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽河道与贮水池汇合河道与贮水池汇合解得同追赶方程计算水力学计算水力学 李光炽李光炽河道与贮水池汇合河道与贮水池汇合n比较可得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽河道与贮水池汇合河道与贮水池汇合n上边界是流量边界条件 解得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽河道与贮水池汇合河道与贮水池汇合n同追赶方程n比较可得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽三、过水断面突然放大三、过

16、水断面突然放大 n相容条件 n令计算水力学计算水力学 李光炽李光炽过水断面突然放大过水断面突然放大n相容方程n上边界为水位边界条件 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽过水断面突然放大过水断面突然放大n同追赶方程n比较可得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽过水断面突然放大过水断面突然放大n上边界为流量边界条件 n相容方程计算水力学计算水力学 李光炽李光炽过水断面突然放大过水断面突然放大n同追赶方程n比较可得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽四、堰闸过流四、堰闸过流 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n三种情况三种情况:关闸、自由出流、淹没出流关闸、自由出流、淹没出流n关闸：关闸：

17、 闸上、闸下可以作为两条单一河道来处闸上、闸下可以作为两条单一河道来处理，对上游河道来说，为下边界流量已理，对上游河道来说，为下边界流量已知条件，可单独求解。对于下游河道，知条件，可单独求解。对于下游河道，可按流量已知边界条件单独求解。可按流量已知边界条件单独求解。 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n自由出流自由出流为上游水深，是闸孔净为上游水深，是闸孔净宽，为计算过流水深，孔流，宽，为计算过流水深，孔流，堰流，为综合流量系数。计堰流，为综合流量系数。计算方法同关闸情况。算方法同关闸情况。计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n淹没出流淹没出流n为淹没出流系数，考

18、虑连续性为淹没出流系数，考虑连续性n线性化处理线性化处理 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流差分代替微分差分代替微分相容方程相容方程计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n上游为水位边界条件上游为水位边界条件 n相容方程相容方程n联立解得联立解得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n同追赶方程n比较可得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n上游为流量边界条件 n相容方程n解得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n同追赶方程n比较可得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n上游边界为水位边界条件，过闸后仍然上游边界

19、为水位边界条件，过闸后仍然以水位边界计算，当流量为零的情况会以水位边界计算，当流量为零的情况会引起较大的误差。当接近关闸时，有引起较大的误差。当接近关闸时，有，计算无法进行。，计算无法进行。n最好的改进办法是把下游河道计算改用最好的改进办法是把下游河道计算改用流量边界条件，可连续进行求解。流量边界条件，可连续进行求解。 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n上游水位边界条件上游水位边界条件n相容方程相容方程n解得解得计算水力学计算水力学 李光炽李光炽堰闸过流堰闸过流n与追赶方程与追赶方程n比较得比较得n这样必须在上游河道与下游河道分别用不同的这样必须在上游河道与下游河道分别用不同的关系求解。先以水位边界条件计算上游河道的关系求解。先以水位边界条件计算上游河道的追赶系数，在下游河道追赶系数，在下游河道i+1处的边界处，以流处的边界处，以流量边界条件计算下游河道的追赶系数。量边界条件计算下游河道的追赶系数。 计算水力学计算水力学 李光炽李光炽内边界的处理内边界的处理n对于内边界的处理归结于特殊河段对于内边界的处理归结于特殊河段的追赶系数计算。计算依据的是特的追赶系数计算。计算依据的是特殊河段的相容方程殊河段的相容方程(水量守恒与动量水量守恒与动量守恒，这些方程与非恒定流的基本守恒，这些方程与非恒定流的基本方程无关方程无关)，对相容方程进行必要的，对相容