Ch41 随机变量的数学期望

1、第四章 随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道

2、随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差方差一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望1)(kkkpxXE即即定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布律是是离散型随机变量，它的分布律是: PX=xk=pk , k=1,2,若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(XE的和为随机变量的

3、和为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为 ,若级数发散若级数发散 ，则称，则称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。 1kkkpx关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不

4、随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.xO 随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为, 5 . 1221 假设假设.98. 198. 0202. 01)( XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.

5、1 2 X21020.980.p例例1 甲、乙两工人每天生产出相同数量同类型的产品，用甲、乙两工人每天生产出相同数量同类型的产品，用X1，X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据次品数次品数X1 0 1 2 3 pk 0.3 0.3 0.2 0.2次品数次品数X2 0 1 2 3 pk 0.2 0.5 0.3 0试比较他们的技术水平的高低试比较他们的技术水平的高低.解解 根据定义根据定义，X1的数学期望的数学期望由由E(X1)=1.3知甲工人平均一天生产出知甲工人平均一天生产出1.3件次品，而件次品，而所以甲的技术水平比乙低。

6、所以甲的技术水平比乙低。10 0.3 1 0.32 0.23 0.21.3E X 20 0.2 1 0.52 0.3 3 01.1E X 为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?思考思考 谁的技术比较好谁的技术比较好? ?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21X

7、X数分别为数分别为设甲、乙射手击中的环设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.例例2 一批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二、三等及废品4种，相种，相应比例分别为应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级，若各等级的产值分别为的产值分别为10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求这批产元，求这批产品的平均产值。品的平均产值。 解解 设一个产品的产值为设一个产品的产值为X元，则元，则X的可能取值的可能取值分别为分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为；取这些值的相应比例分别为7%, 13%, 20%, 60%；则它们可以构成概率分布，；则它们

8、可以构成概率分布，由数学期望的定义求得产品的平均产值为由数学期望的定义求得产品的平均产值为 E(X)= 40.13 + 5.80.2 + 100.6 = 7.68（元）。（元）。 到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. 例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：

9、其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间解：设旅客的候车时间),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162611370()( ) ( )66P XP ABP A P B上表中例如的的数数学学期期望望为为候候车车时时间间到到站站第第二二班班车车为为事事件件到到站站第第一一班班车车为为事事件件其其中中XBA.30:9,10:8分分22.2736290363703615062306310)( XE二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如，如果积分果积分 绝对

10、收敛，则称该积分的值绝对收敛，则称该积分的值为随机变量为随机变量X的数学期望或者均值，记为的数学期望或者均值，记为EX，即，即dxxxf)(dxxfxXE)()( 如果积分如果积分 发散，则称发散，则称X的数学期的数学期望不存在。望不存在。 ( )x f x dx例例4 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度如下，求的概率密度如下，求E(X) 212 1,120,xf xx 其他解解 2+212-111=2 1221E Xfx dxdxxxx例例5 求常见分布的随机变量数学期望求常见分布的随机变量数学期望 2(1),E(2),E(3),EXU a bXXEXXNX 求连续型求求2ab1

11、(1),E(2),EXb n pXXX 求离散型求np例例6 设随机变量设随机变量X服从柯西分布，概率密度为服从柯西分布，概率密度为求求E(X). 21,1fxxx 21xdxx解解 因为反常积分因为反常积分不收敛，所以不收敛，所以E(X)不存在不存在.:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例7商店的销售策略商店的销售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX

12、. 0, 0, 0,e101)(,10的的数数学学期期望望器器收收费费试试求求该该商商店店一一台台家家用用电电概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxxfXx 解解xXPxde10111010 1 . 0e1 ,0952. 0 xXPxde101211021 2 . 01 . 0ee ,0861. 0 xXPxde101321032 ,0779. 0ee3 . 02 . 0 xXPxde1013103 .7408. 0e3 . 0 的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0

13、,15.2732)( YE得得.15.2732元元费费即平均一台家用电器收即平均一台家用电器收三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦一旦我们知道了我们知道了

14、g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的 . 1iiig xp定理定理1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布率为的分布率为,1,2,iiP Xxpig(x)是实值连续函数，且级数是实值连续函数，且级数 绝对收敛，则随机绝对收敛，则随机变量变

15、量g(X)的数学期望为的数学期望为 1iiiE g Xg xp定理定理2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x)， g(x)是实是实值连续函数，值连续函数，且反常积分且反常积分 绝对收敛，则随机变量绝对收敛，则随机变量g(X)的数的数学期望为学期望为 g x f x dx E g Xg x fx dx连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望

16、带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.X -2 -1 0 1 2 3 p 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10例例8 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求随机变量的函数求随机变量的函数Y=X2的数学期望的数学期望解解 由定理一可得由定理一可得 22222220.1010.2000.25 10.2020.1530.10E Y 例例9 设随机变量设随机变量X在区间（在区间（0,）内服从均匀分布，求随机）内服从均匀分布，求随机变量函数变量函数Y=sinX的数学期望的数学期望.解解 由题意知，由题意知，X的概率密度函数为的概率密度函数为 1, 00,xf x其

17、他由定理二可得由定理二可得 012=sinE Yxdx例例10 设设XN(0,1),求求E(X), E(X2)解解 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为 221,2xf xex 22102xE Xxf x dxxedx 222222222222211()221122112xxxxxE Xx f x dxxedxxd exeedxedx 例例11 按季节出售的某种应时商品，每售出按季节出售的某种应时商品，每售出1kg获利润获利润6元，如到季末尚有剩余商品，则每千克亏损元，如到季末尚有剩余商品，则每千克亏损2元，设某商元，设某商店在季节内这种商品的销售量店在季节

18、内这种商品的销售量X（以（以kg计）是一随机变计）是一随机变量，量，X在区间（在区间（8,16）内服从均匀分布，为使商店所获得）内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？利润最大，问商品应进多少货？解解 设设t 表示进货量，易知应取表示进货量，易知应取8t16，进货，进货t所得利润所得利润记为记为Wt(X)，且有，且有62(), 86 ,16tXtXXtWXttX要使获得的利润最大，只需要使获得的利润最大，只需EWt(X)取最大值。取最大值。X的概率密度为的概率密度为 1, 81680,xf x其他由定理二得由定理二得 1681688218162681826 16814322t

19、tttttE WXWx f x dxWx dxxtxdxtdxxt dxtttt令一阶导数等于零可得，令一阶导数等于零可得，t=14，并且在，并且在t=14时二阶导数小时二阶导数小于零，所以当于零，所以当t=14时，时， EWt(X)取极大值。即进货取极大值。即进货14kg时平均利润最大。时平均利润最大。密密度度即即具具有有概概率率上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设风风速速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的数学期望的数学期望求求常数常数的函数的函数是是压力压力又设飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkv

20、WEa 解：由上面的公式解：由上面的公式 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立例例 12 设设Xb(n,p)，求，求E(X)解解 引入随机变量引入随机变量1i=1,2, ,0iiAX

21、nA，第i次试验中事件 发生，第 次试验中事件 不发生，其中，其中，P(A)=p,则则Xi服从（服从（0,1）分布，由定义可知）分布，由定义可知E(Xi)=p，1niiXX又，所以1212=+.nnE XE XXXE XE XE XpppnpXnp即 的数学期望为 例例13 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车设每位旅客在各个车站下车是等可能的是等可能的,并设各旅客是否

22、下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第引入随机变量引入随机变量解解1021XXXX 易易知知10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii10, 2 , 1,1091)(20 iXEi由由此此次次进进而而784. 81091 10)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE1 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙把钥匙,其中只有一把能打其中只有一把能打开自己的家门开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门去开门,若每把钥匙试开一次后除去若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试求打开门时试开次数的数学期望开次数的数学期望. 000)(xxexfx的的数数学学期期望望。求求XeY2 1 解解 设试开次数为设试开次数为X,分布率为：是离散型随机变量，其X于是于是 E(X) nknk112)1 (1nnn21n31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字, 求这两个数