(完整版)斯普林菲尔德分配学生答案.docx

1、1 概述研究的背景斯普林菲尔德（ Springfield）学校董事会打算在年底关闭它的一所中学（包括6,7,8 年级） ,并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。学校为离校距离超过 1 英里的所有学生提供上下课的接送服务，因此，为了节省公交费用，学校将对学生进行分配。 从该城市的六个居住区到各所学校，每个学生的一年的公交费用如下表所示（表中还给出了下一年的其他一些基本数据）。其中， 0 表示不需要公交服务，而“”表示这种分配不可能。地区学生数量6 年级比例7 年级比例8 年级比例每学生的校车成本（美元）学校 1学校 2学校 3145032383030007002600372835400

2、500355030323860030020043502840322005005500393427040064503428385003000学校容量90011001000学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的30 36之间，上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。可以划出学生上学的地区界限，以便于在多所学校之间分配学生。 但是，不管如何分配， 上表所要求的每所学校的各年级的比例必须得到满足。假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。2 模型的建立2.1基础数据的建立目标函数系数的确定通过观察分析，我们可以知道：目标函数 =各个居住区分

3、配到某个学校的人数 * 该居住区到这个学校的学生公交费用经过调查分析， 总结出各个居住区到学校的公交花费， 我们统计了一个学生每年从家里到学校所要花费的公交费用， 为了更加清晰明了， 我们以表格的形式进行整理：第1页 共12页1.3.1各个居住区的学生到不同学校的每年公交的费用地区每位学生每年的公交成本学校 1学校 2学校 3130007002400500360030020042005005040065003000注：“”表示费用无穷大，不分配学生。 居住区学生总人数以及各个年级学生的数量根据学校的调查结果，发现一共有6 个居住区，每个居住区的学生数量、各个年级学生在这个居住区中所占的比例，都

4、进行了统计， 由于数字比较多， 为了更加清晰的表达出来， 我们进行了一系列的整理与分析，通过一定的计算， 因而得到如下表格1.3.2 A 各个居住区学生总数量与各个年级的学生比例地区学生数量6年级7年级8年级比例 %比例 %比例 %145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838总计29001.3.2 b 各个年级学生的总体数量6年级7年级8年级每个年级学生数量地学生总计区数量比例 %比例 %比例 %6年8年7年级级级14503238301441711354502600372835222168210600355030323

5、8165176209550第2页 共12页43502840329814011235055003934271951701355006450342838153126171450总29009779519722900计各个学校的可容纳量由于学校的规模不一样， 可容纳的学生数量也就不一样，因此通过学校的研究，这些学校还可以容量的学生数量为，我们同样通过表格来表示：1.3.3 各个学校的可容纳量（人）学校1学校2学校3总计学生容纳量900110010002900各个学校不同年级学生的可容纳量由于校方规定，每个学校里，每一个年级的学生人数必须在总人数的30% 36%之间，则根据这个要求我们又得到每个年级最大

6、与最小接收量。经过计算，我们同样通过表格体现：1.3.4各个学校不同年级学生的可容纳量学校 1学校 2学校 3学校容量90011001000各年级可最小最大最小最大最小最大容纳量6年级2703243303963003607年级2703243303963003608年级270324330396300360总计171097299011889961080 学校可容纳量的总数一定学校可容纳量的总数为30002.2变量的设定设各个居住区中各个年级分配到不同学校的数量分别是：第3页 共12页由于变量相对比较多， 写起来比文字叙述过于复杂，我们就通过表格来表未清楚：各个居住区中不同年级的学生分配到各个学校的

7、人数变量学校 1(x1)学校 2(x2)学校 3(x3)居住6年级7年级8年级6年级7年级8年级6年级7年级8年级区1x11x12x13x111x112x113x121x122x123x131x132x1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31x32x33x311x312x313x321x322x323x331x332x3334x41x42x411x412x413x421x422x4235x51x53x511x512x513x531x532x5336x61x62x63x611x612x613x621x622x623x631x632x6332.3目标函数的建立根

8、据上述基础数据可以得出如下目标函数Minf(x)=300x11+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62+700x13+500x23+200x33+400x53目标函数 =各个居住区分配到某个学校的人数 * 该居住区到这个学校的学生公交费用要使总损益值最小， 只需要该目标函数取得极小值即可， 这与研究问题的目的是相一致的。限制条件案例中 a 题的约束条件 居住区的学生总数量的约束x11+x12+x13=450x22+x23=600x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500第4页 共12页x61+x62+x6

9、3=450 各个学校可容纳量的约束x11+x31+x41+x51+x61-x1=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0x13+x23+x33+x53+x63-x3=0各个学校中各个年级人数的约束x111+x121+x131=144x112+x122+x132=171x113+x123+x133=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x321+x331=165x312+x322+x332=176x313+x323+x333=209x411+x421=98x412+x422=140x413+x423=112x511+x531=19

10、5x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171各个居住区总学生人数的限制x111+x112+x113-x11=0x311+x312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0x611+x612+x613-x61=0第5页 共12页x121+x122+x123-x21=0x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62

11、=0x131+x131+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x132+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x33=0x531+x532+x533-x53=0x631+x632+x633-x63=0居住区各个年级人数的约束x111+x311+x411+x511+x611-0.3x10x111+x311+x411+x511+x611-0.36x10x112+x312+x412+x512+x61

12、2-0.36x10x113+x313+x413+x513+x613-0.36x10x121+x221+x321+x421+x621-0.36x20x122+x222+x322+x422+x622-0.36x20x123+x223+x323+x423+x623-0.36x20x131+x231+x331+x531+x631-0.36x30x132+x232+x332+x532+x632-0.36x30x133+x233+x333+x533+x633-0.36x30案例中 c 题的约束条件同 a 题约束条件1-4，无条件5 约束，但增加约束条件6居住区学生分到同一学校的约束X(ijk ）这些所有的

13、变量均为整数3 模型的求解及解的分析3.1模型的求解对该线性规划进行求解，结果如下所示a 为该问题建立线性规划模型。第7页 共12页b 你给学校董事会的最终建议是什么？由以上的求解结果可知，当各个居住区的学生人数分配取得相对应的值时，即为最终成本达到426800 美元。第8页 共12页c 根据这一点调整你的建议，使同一个地区尽可能的分配在同一所学校里。（加人这一限制可能会使你不得不取消另外一些约束。）这样做会增加多少公交成本？（在案例9.4 中将会对这一类的分析进一步探讨。）最终成本是420000，成本较a 题减少 6800 元。d将问题 a 中的模型加人选项 l 重新考虑，并求解。将结果与 b 中的结果想比较，包括公交总成本的减少。第9页 共12页成本为 250400，较 a 题减少 176400.e 以选项2 代替选