CAD技术-第二章-2-图形变换

1、第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础第二章第二章 材料加工材料加工CAD技术基础技术基础2.1 CAD系统的组成与分类系统的组成与分类2.2 计算机图形处理技术计算机图形处理技术2.3 CAD系统的三维造型技术系统的三维造型技术2.4 CAD系统的数据信息交换系统的数据信息交换2.5 CAD系统的智能化技术与优化系统的智能化技术与优化分析技术分析技术第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础n学习目标：学习目标：了解了解CAD系统的组成及分类。系统的组成及分类。掌握图掌握图形变换形变换、CAD系统系统的三维造型技术，的三维造型技术， CAD系统系统的数据信

2、息交换。了解的数据信息交换。了解CAD系统系统的智的智能化和优化技术。能化和优化技术。n学习重点：学习重点：图形变换图形变换、CAD系统系统的三维造的三维造型技术，型技术， CAD系统系统的数据信息交换的数据信息交换。第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础2.2 计算机图形处理技术计算机图形处理技术图形变换基础图形变换基础坐标系坐标系 窗口和视区窗口和视区裁剪裁剪第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础坐标系坐标系 1 1、世界坐标系、世界坐标系( (WCS，World Coordinate System) ) 世界坐标系一般是三维右手直角坐标系，世界坐标

3、系一般是三维右手直角坐标系，它的单位根据所描述的实际对象的大小来它的单位根据所描述的实际对象的大小来确定确定, , 通常使用实数通常使用实数, , 取值范围并无限制。取值范围并无限制。 它是一般用户绘图时所取的坐标系，有它是一般用户绘图时所取的坐标系，有时也称为用户坐标系或物体坐标系。时也称为用户坐标系或物体坐标系。 通常通常表示为图表示为图2.1(a), 2.1(a), 可以是二维的可以是二维的, , 表示为图表示为图2.1(b)2.1(b)。 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 图图 2.1 世界坐标系世界坐标系(WCS)(a) 3D右手直角坐标系；右手直角坐标系；

4、 (b) 2D右手直角坐标系右手直角坐标系第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础2、设备坐标系、设备坐标系 (DCS，Device Coordinate System)n图形显示器或绘图机自身有一个坐标图形显示器或绘图机自身有一个坐标系，称它为设备坐标系或物理坐标系。系，称它为设备坐标系或物理坐标系。n它的单位根据输出设备的实际大小来它的单位根据输出设备的实际大小来确定确定, 一般使用整数。一般使用整数。第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础窗口窗口视区变换视区变换 基本概念基本概念n在计算机图形学中在计算机图形学中, , 把在用户坐标系把在用户坐标系中

5、需要进行观察和处理的一个坐标区中需要进行观察和处理的一个坐标区域称为域称为窗口窗口（Window）， 如图如图2.22.2所示。所示。n把从窗口取得的那一部分物理世界把从窗口取得的那一部分物理世界（图形）映射到显示屏上的某一区域，（图形）映射到显示屏上的某一区域，这个区域称为这个区域称为视区视区（Viewport）。第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.2 窗口与视区示意图窗口与视区示意图 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 如图所示如图所示, 设在用户坐标系中设在用户坐标系中, 取取窗窗口口为边与坐标轴平行的矩形为边与坐标轴平行的矩形,

6、它的左下它的左下顶点和右上顶点坐标分别为顶点和右上顶点坐标分别为(Wxl,Wyb)、 (Wxr,Wyt)，度量单位由用户定义度量单位由用户定义，相，相应的视区也取成边与坐标轴平行的矩应的视区也取成边与坐标轴平行的矩形形, 它的左下顶点和右上顶点坐标分别它的左下顶点和右上顶点坐标分别为为(Vxl,Vyb)、 (Vxr,Vyt), 度量单位为度量单位为像素单位像素单位。 窗口窗口-视区变换公式视区变换公式第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.3 窗口窗口-视区变换示意图视区变换示意图 (xW , yW)窗 口(xV , yV)yDCSVytVybODCSVxlVxrx

7、DCSxWCSWxrWxlOWCSWytWybyWCS视 区第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 在窗口中点在窗口中点(xw,yw)到左边线的距离和窗口到左边线的距离和窗口在在x方向的长度之比方向的长度之比, 与在视区中相应点与在视区中相应点(xv,yv)到左边线的距离和视区在到左边线的距离和视区在x方向的长方向的长度之比度之比, 应该是相等的。同样应该是相等的。同样, 在在y方向也保方向也保持这种比例关系。持这种比例关系。 即即ybytybVybytybWxlxrxlVxlxrxlWVVVyWWWyVVVxWWWxybybWybytybytVxlxlWxlxrxlxrV

8、VWyWWVVyVWxWWVVx)()(第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础裁剪裁剪 位于窗口之外的的那一部分属于位于窗口之外的的那一部分属于不可见部分，应该删去。不可见部分，应该删去。v点的裁剪点的裁剪v直线段裁剪直线段裁剪 v多边形裁剪多边形裁剪 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图形变换图形变换 变换基本原理变换基本原理 齐次坐标齐次坐标 所谓齐次坐标所谓齐次坐标, 就是将一个原本是就是将一个原本是n维的维的向量用一个向量用一个n+1维向量来表示。例如，维向量来表示。例如，向量（向量（x1, x2, , xn）的齐次坐标表示）的齐次坐标表示为

9、（为（Hx1, Hx2, , Hxn, H），）， 其中其中H是是一个不为一个不为0的实数。的实数。 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 由点或向量的齐次坐标由点或向量的齐次坐标(Hx1, Hx2, , Hxn, H)求它的规范化齐次求它的规范化齐次坐标，可根据如下公式求得坐标，可根据如下公式求得:HHxxHHxxHHxxnn,2211（x1, x2, , xn,1）第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图2. 4 齐次坐标的几何意义齐次坐标的几何意义 zOyxa1b1c1H 1bac第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 齐次

10、坐标提供了用矩阵运算把二维、齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、 三维甚至高维空间中的一个点集三维甚至高维空间中的一个点集( (图形图形) )从一个坐标空间变换到另一个坐标空间从一个坐标空间变换到另一个坐标空间的有效而统一的方法。的有效而统一的方法。 二维图形齐次坐标变换矩阵的一般形二维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式是：式是：SNMQDCPBATD2第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 三维图形齐次坐标变换矩阵的一三维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式是：般形式是：SNMLRJIHQFEDPCBATD3第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础二维图形的几何变换二

11、维图形的几何变换n基本变换基本变换 平移变换、比例变换、等比例变换、平移变换、比例变换、等比例变换、旋转变换、错切变换、对称变换旋转变换、错切变换、对称变换n复合变换复合变换x* y* 1=x y 1T2D第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（1 1） 平移变换平移变换 平面图形的平移变换是将平面图形从平面图形的平移变换是将平面图形从一个位置平移到另一位置一个位置平移到另一位置, , 形状没有任何形状没有任何改变。如图改变。如图2.52.5所示。所示。 平移变换的矩阵为：平移变换的矩阵为：10100012NMTD第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图

12、图 2.5 三角形的平移变换示意图三角形的平移变换示意图 *P2*P3*P1P3P2P1yOx第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（2 2） 比例变换比例变换 平面图形的比例变换是将图形放大、平面图形的比例变换是将图形放大、 缩小缩小( (压缩压缩), ), 如图如图2.62.6所示。所示。 比例变换的矩阵为：比例变换的矩阵为：10000002DATD其中，其中，A、D0。 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（3 3） 等比例变换等比例变换 等比例变换的矩阵为：等比例变换的矩阵为：20000001DSTS当当s1s1时，图形被放大；时，图形被放大；

13、当当s1s1时，图形缩小；时，图形缩小；当当s=1s=1时，图形大小不变。时，图形大小不变。第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础*P3*P2xy*P11P2PO3P 图图2.6 比例变换比例变换第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础(4) 旋转变换旋转变换 平面图形的基本旋转变换是指图形平面图形的基本旋转变换是指图形绕坐标原点旋转任意角绕坐标原点旋转任意角, 并且规定并且规定逆时逆时针方向旋转针方向旋转时时, 取正值取正值, 顺时针方向旋顺时针方向旋转时转时, 取负值取负值, 如图如图2.7(a)所示。所示。 1000cossin0sincos2DT第

14、二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.7 2D图形的旋转变换示意图图形的旋转变换示意图 (a) 点的旋转点的旋转; (b) 三角形的旋转三角形的旋转y*PPrr*xxxO*P1OP2*P2P1*P3P3yx(a)(b)第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（5） 错切变换错切变换 平面图形的错切变换是指变换前后的平面图形的错切变换是指变换前后的平面图形沿平面图形沿x轴方向或轴方向或y轴方向错切。如轴方向错切。如图图2.8、2.9。错切变换的变换矩阵为：。错切变换的变换矩阵为：10001012CBTD第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基

15、础技术基础 图图 2.8 2D图形的错切变换示意图图形的错切变换示意图 (a) 沿沿x方向错切；方向错切； (b) 沿沿y方向错切方向错切 y*P1P1*P2P2OOxyP4P3*P4*P3P4*P4P1*P1P2*P2P3*P3(a)(b)x第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.9 x、 y方向同时错切的变换方向同时错切的变换 yP4P3P1OP2x*P4*P2*P1*P3第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（6） 对称变换对称变换 平面图形的对称变换是指变换前后的平面图形的对称变换是指变换前后的平面图形对称于平面图形对称于x轴轴, y轴或

16、某个特定轴。轴或某个特定轴。如图如图2.10所示。对称变换的矩阵为：所示。对称变换的矩阵为：100002DCBATD第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 图图 2.10 2D图形的对称变换图形的对称变换三角形对称于三角形对称于x轴；轴； (b) 三角形对称于三角形对称于y轴；轴； (c) 三角形对称于坐标原点三角形对称于坐标原点P3(15 , 30)y*P1P1(0 , 0)P2(30 , 0) )0 ,30(*2Px)30, 51 (*3P0) 30,(*2P*P1P1(0 , 0)P2(30 , 0)xy)30 , 51 (*3P)30 , 51 (3P)0 ,30(

17、*2P*P1y)30 , 51 (3PxP2(30 , 0)P1(0 , 0)30 ,15(*3P(a)(a)(b)(c)OOO第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础平面图形复合变换举例平面图形复合变换举例 设设P1P2P3的三个顶点分别为的三个顶点分别为P1(10,20), P2(20,20), P3(15,30), 它绕点它绕点Q(5,25)逆时逆时针方向旋转针方向旋转30, 它的复合变换为：它的复合变换为：1255010001Tcos30sin300sin30cos3000011255010001复合变换矩阵的求解顺序不能任意变动复合变换矩阵的求解顺序不能任意变动第二

18、章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.11 三角形的复合变换示意图三角形的复合变换示意图 (a) 先平移；先平移； (b) 旋转后再平移旋转后再平移yQP3P2P1QO2Px3Py*P3*P2Q3P 2P 1P OxQ (a)(b)*P11P第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础基本变换基本变换 三维空间立体图形的基本变换与二三维空间立体图形的基本变换与二维平面图形的基本变换，同样可以利维平面图形的基本变换，同样可以利用矩阵处理方法。通常用规范化的四用矩阵处理方法。通常用规范化的四维齐次坐标维齐次坐标(x, y, z, 1)来表示三维空间来表示三维

19、空间点点(x, y, z)。 因此因此, 三维空间点的变换三维空间点的变换的一般公式为：的一般公式为： x* y* z* 1=x y z 1T3D三维图形的几何变换三维图形的几何变换式式(2-1)第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 式中式中, T3D是三维图形的变换矩阵是三维图形的变换矩阵, 它它是一个是一个44阶方阵阶方阵, 即即式式(2-2)SNMLRJIHQFEDPCBATD3第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（1） 三维平移变换三维平移变换 平移变换是指三维立体沿平移变换是指三维立体沿x、 y、 z三三个方向分别移动个方向分别移动L, M

20、, N到一个新的空间到一个新的空间位置。位置。 平移变换后平移变换后, 立体的大小和形状立体的大小和形状保持不变。三维平移变换的矩阵为：保持不变。三维平移变换的矩阵为：10100001000013NMLTD第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.12 三棱锥的平移变换示意图三棱锥的平移变换示意图 OzDD*C*xAA*BB*y第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（2） 三维比例变换三维比例变换 1. 比例变换比例变换 比例变换是指三维立体在比例变换是指三维立体在x、 y、 z三三个方向以原点为中心个方向以原点为中心, 分别放大或缩小分别放大或缩

21、小A, E, J倍倍, 得到一个新的三维立体。得到一个新的三维立体。 比例变比例变换后换后, 三维立体的大小和形状可能发生改三维立体的大小和形状可能发生改变。变。 比例变换的变换矩阵为：比例变换的变换矩阵为：10000000000003JEATD第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.13 正方体的等比例变换示意图正方体的等比例变换示意图 *C*By*G*FFE*Ez*DDC*AAO*HxHBG第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.14 三棱锥的不等比例变换示意图三棱锥的不等比例变换示意图 zD*DCOAA*xBB*C*y第二章第二章

22、材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 2. 全比例变换全比例变换 在式在式(2-2)中中, 变换矩阵主对角线上的变换矩阵主对角线上的元素元素S能使三维立体在空间各方向等比例能使三维立体在空间各方向等比例放大或缩小。放大或缩小。 全比例变换矩阵为：全比例变换矩阵为：STD0000100001000013第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（3）三维对称变换）三维对称变换 1. 对对xOy坐标平面的对称变换坐标平面的对称变换 把给定图形对于把给定图形对于xOy坐标平面作对称变坐标平面作对称变换时换时, 变换前后相应点的变换前后相应点的x、 y坐标保持不坐标保持不变变,

23、 z坐标互为相反数坐标互为相反数, 所以仅需将单位矩阵所以仅需将单位矩阵中中z坐标的元素值取为坐标的元素值取为-1。 因此因此, 对称变换对称变换的矩阵为：的矩阵为：10000100001000013DT第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 图图 2.15 对称变换示意图对称变换示意图对对xOy面的对称；面的对称； (b) 对对yOz面的对称面的对称; (c) 对对xOz面的对称面的对称5867412zx2*1*5*6*7*8*3*4*Oyx21564378zO4*3*2*1*6*7*8*5*y5*6*2*1*4*3*8*7*z34215687yx(a)(b)(c)3O第

24、二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 2. 对对yOz坐标平面的对称坐标平面的对称 把给定图形对于把给定图形对于yOz坐标平面作对称坐标平面作对称变换时变换时, 仅需将单位矩阵中仅需将单位矩阵中x坐标的元素坐标的元素值取为值取为-1, 因此因此, 对称变换矩阵为：对称变换矩阵为：10000100001000013DT第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 3. 对对xOz坐标平面的对称坐标平面的对称 把给定图形对于把给定图形对于xOz坐标平面作对称变坐标平面作对称变换时换时, 仅需将单位矩阵中仅需将单位矩阵中y坐标的元素值坐标的元素值取为取为-1, 因此

25、因此, 对称变换矩阵为：对称变换矩阵为：10000100001000013DT第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础（4） 三维错切变换三维错切变换 三维错切变换是指三维立体在空间沿三维错切变换是指三维立体在空间沿x、 y、 z三个方向实现错切变形三个方向实现错切变形, 三维错切三维错切是二维错切变换的一个扩充。是二维错切变换的一个扩充。 三维错切三维错切变换矩阵为：变换矩阵为：10000101013IHFDCBTD第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础图图 2.16 错切变换示意图错切变换示意图D*zBOB*C*A*CDAxy第二章第二章 材料加工材料

26、加工CADCAD技术基础技术基础（5）三维旋转变换）三维旋转变换n 三维立体的旋转变换是指给定的三维三维立体的旋转变换是指给定的三维立体绕三维空间某个指定的坐标轴旋转立体绕三维空间某个指定的坐标轴旋转角度。角度。 旋转后旋转后, 立体的空间位置将发生变立体的空间位置将发生变化化, 但形状不变。但形状不变。 角的正负按右手规则角的正负按右手规则确定确定, 右手大姆指指向旋转轴的正向右手大姆指指向旋转轴的正向, 其余其余四个手指指向旋转角的正向四个手指指向旋转角的正向, 如图如图2.17(a)所示。所示。逆时针为正逆时针为正，顺时针为负。，顺时针为负。n下面主要讨论三维立体分别下面主要讨论三维立体

27、分别绕三个坐标轴绕三个坐标轴旋转的旋转的旋转变换旋转变换, 如图如图2.17所示。所示。 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础 图图 2.17 旋转变换示意图旋转变换示意图绕绕z轴正向旋转；轴正向旋转； (b) 绕绕x轴正旋转；轴正旋转； (c) 绕绕y轴正向旋转轴正向旋转 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础n 1. 绕绕x轴正向旋转角轴正向旋转角xn 三维空间立体绕三维空间立体绕x轴旋转时轴旋转时, 立体上各顶立体上各顶点的点的y, z坐标改变坐标改变, 而而x坐标不变坐标不变, 因此因此, 变变换矩阵在第一行和第一列中换矩阵在第一行和第一列中,

28、 除去主对角除去主对角线上元素为线上元素为1以外以外, 所有元素均为所有元素均为0, 而而y, z坐标可由二维点绕原点旋转公式得到坐标可由二维点绕原点旋转公式得到, 因因此可得：此可得：x*=xy*=y cosxz sin xz*=y sin x +z cos x第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础n 将上式改写成矩阵形式，将上式改写成矩阵形式， 则绕则绕x轴旋轴旋转的旋转变换矩阵为：转的旋转变换矩阵为：10000cossin00sincos000013xxxxDT第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础n 2. 绕绕y轴正向旋转角轴正向旋转角yn 三维空间立体绕三维空间立体绕y轴正向旋转时轴正向旋转时, 立体立体上各顶点的上各顶点的x, z坐标改变坐标改变, 而而y坐标不变坐标不变, 因此因此, 变换矩阵在第二行和第二列中变换矩阵在第二行和第二列中, 除除去主对角线上元素为去主对角线上元素为1以外以外, 所有元素均所有元素均为为0, 而而x, z坐标可由二维点绕原点旋转公坐标可由二维点绕原点旋转公式得到式得到, 因此可得：因此可得： x*=x cos y +z sin y y*=y z*=-x siny+z cos y 第二章第二章 材料加工材料加工CADCAD技术基础技术基础n 将上式改写成