浅谈行列式—数学专业毕业论文

1、their own conditions to develop the correct road, the maximum to avoid investment risk, gain profit.(three) vigorously promote the brand. To establish brand awareness, awareness of the use of brand, brand value, brand acquisition performance, enhance the competitive strength. Concentrated manpower,

2、careful planning, packaging and publicity of a number of unique, market influence and coverage of the brand, the implementation of key breakthroughs, to enhance the competitive strength, walking business road the competition of alienation and characteristics, the pursuit of stability and development

3、 of the market.(four) to promote the integration of resources. To further broaden their horizons, effective integration of resources within the group, the city resources, other industries and regional resources, mutual trust, mutual benefit, seeking win-win principle, in the framework of national po

4、licies and regulations, strict inspection and argumentation, legal consultation, examination and approval procedures, strict regulation of economic activities, attract injection the social investment to the industry group, to achieve leveraging the development, ensure that the value of state-owned a

5、ssets.(five) to strengthen the construction management personnel. Strengthen the management of education and training of cadres and workers of the existing business, firmly establish the concept of the market, enhance the sense of crisis to adapt to market competition, the sense of urgency, improve

6、the ability to respond to market competition, improve management and operation of the market. At the same time, according to the need of industrial development, vigorously the introduction of high-quality management management personnel, and strive to build a high-quality professional management tea

7、m, hard work, and promote the entire workforce knowledge structure, age structure, structure optimization and upgrading ability, enhance core competitiveness, adapt to the need of market competition.(six) seriously study the policy for policy. Serious research about social support the development of

8、 cultural undertakings in the country and the XX policy, especially the policy of industrial development, financial investment policy, financial policy and tax policy, and actively seek policy, projects and funds, enterprise and industry group mission to promote leapfrog development.1毕业论文（设计）作者声明本人郑

9、重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目：浅谈行列式作者单位：郑州师范学院作者签名：29目 录摘 要1引言21.行列式及性质21.1行列式21.2行列式的性质32.行列式按行（列）展开及代数余子式的应用5

10、2.1行列式按行（列）展开定理52.2代数余子式的应用73.行列式的计算93.1关于n阶行列式的计算93.2抽象行列式的计算154行列式理论的应用184.1范德蒙行列式184.2范德蒙行列式在计算行列式中的应用194.3一类阶实方阵行列式的应用214.4行列式在多项式理论中的应用234.5在线性变换理论中的应用24参考文献26致谢27浅谈行列式 摘 要：行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法。行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用。本文总结了行列式的定义和性质，讨论了不同类型的行列式的计算方法，给

11、出了行列式在线性代数理论中的应用。 关键词：行列式;范德蒙行列式；线性变换.Introduction to the determinant Abstract: The determinant is an important component of the theory of algebra。The general method of calculating the determinant does not exist,and different determinates have different computing method。The theory of determinant is

12、used widely in the solution of linear equations, the judgment of the linear correlation, the theory of the the linear space, and the linear transformation,etc。The paper summarizes the definition and properties of determinant ,discuss the computing methods about different types of determinants, and g

13、ives the applications of determinant in linear algebra theory。 Key word:Determinant; Vandermonder determinant; Linear transformation。 引言行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现

14、在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。1.行列式及性质1.1行列式定义1 n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 （1）的代数和，这里是的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当是偶排列时，（1）都带有正号，当是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可写成,这里表示对所有n级排列求和。

15、1.2行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变。即 性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外。即 性质3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同.即 性质4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.即，其中第行与第行相同，即,。 性质5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零。即这里的第一步是根据性质，第二步是根据性质。 性质6 某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。即这里第一步是根据性质，第二步是根据性质。 性质7 对换两行（列）的位置，行列

16、式的值变号。即=这里，第一步是把第行加到第行，第二步是把第 行的倍加到第行，第三步是把第行加到第行，最后再把第行的公因式提出.2.行列式按行（列）展开及代数余子式的应用2.1行列式按行（列）展开定理定义1 在阶行列式中，将元素所在的第行第列的元素划去后剩下的元素按照原位置次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，即 定义2 (1)称为元素的代数余子式证明：我们先由行列式的定义证明阶行列式与阶行列式的下面这个关系，= (2)事实上，（2）左端行列式的展开式中，只有 的项才可能不为零，而 ，因之左端为，显然是 的排列，且=。这就证明了式。为了证明(1)式，令，即得 定理 设,表示元素的代数余子式

17、，则下列公式成立：2.2代数余子式的应用在求一个行列式某一行元素代数余子式之和时，逐个计算再求和，运算量很大，此时借助行列式中改变某一元素的值不影响该元素代数余子式的值这一特点，将该行元素都化为，如此得到的行列式即如上要求的值。例1 设，且是中第i行，j列元素的代数余子式。（1） 求解 例1 已知阶行列式求（1）（2）解 因为 （）所以取得 联立解之得 例2 设中元素均为实数，而且至少有一个不是，如果的每个元素都等于它的代数余子式，则。证明 记， 表示的转置行列式.因为的每个元素都等于它的代数余子式，所以有,因此。又由题设，可不妨设，因为，.所以所以。3.行列式的计算3.1关于n阶行列式的计算

18、 行列式计算方法很多，在学习过程中要学会观察、探索，并有针对性的进行总结.这里归纳介绍几种具有典型特征的行列式解法.特征1 所有行（列）元素之和均相等的行列式.这种行列式一般先将列（行），提取公因子后再化简.例1 计算解 特征2 第一行、列及主对角线外元素均为（或可化为这种形式）的行列式（称型行列式），可以化为上三角行列式进行计算.例2 计算行列式，其中解 （ 型） （上三角） =特征3 除主对角线以外，上三角各元素都相等，下三角各元素也相等，这类行列式一般用拆项法.例3 计算，。解 (1)由于,所以 (2)式（1）、式(2)联立，消去得特征4 利用递推关系递推，或用数学归纳法证明. 对有些行

19、列式，可先计算同样特征的二级、三级行列式，根据此低级的计算结果猜想出任意阶行列式的结果，再用数学归纳法给予证明；而有些行列式则可用递推公式直接推出结果.值得说明的是，对形如例4这样的三对角行列式，直接展开可得如下形式二级线性齐次递推关系式,此类行列式求解时，可先写出如上递推公式对应的一个特征方程，求出特征方程的两个根 ，当 时，令 ,当时，令 然后通过取确定进而可求得 例4 计算n级行列式。解 按第一行展开得,对应特征方程：，解之得二根 令，则时， (1) 时， (2)由式（1），（2）得， 所以。特征5 能够借助行列式性质分析因子的情况.例5 计算.互不相同。解 因分别取均有 ，所以有因子，

20、又两两互素，所以，由定义知，是一个关于首1的次多项式，所以为首1的一次多项式。又各行素之和相同，将 列加到第一列，提取公因子得，即而所以。特征6 借助辅助行列式. 例6 计算，其中 为次数小于的数域上的多项式，为数域中的任意个数。解 若， ,则。 若,令 , (1) 按第一列展开知是的线性组合.如果，由于. 故，又由式（1）可知，所以，从而。特征7 借助对应矩阵的特征值计算.例7 证明 其中， 为全部次单位根。证明 设阶矩阵，则, 因为 所以的特征值为又，所以的特征根为 所以 特征8 化为范德蒙行列式计算。例8 计算行列式.解 原式 3.2抽象行列式的计算 抽象行列式一般不给出具体元素，它往往

21、涉及到与行列式相关联的方阵、伴随阵、逆矩阵、分块矩阵，以及维向量等的运算。因此解决该类问题是应该灵活运用矩阵的有关性质具体讨论时应注意以下几点：1） 熟悉公式 ，,等，这里为矩阵的阶数。2） 计算一般较难，但有公式（这里均为阶方阵），所以两个方阵和的行列式常转化为积的问题。3） 遇到伴随矩阵时，常考虑如下公式然后两边取行列式。4） 对形如的分块行列式，一般施广义初等变换进行“打洞”（即打出一块矩阵），然后两边取行列式.如当可逆时，由得5)各行（列）以向量及其运算形式给出的行列式，可以按行（列）拆成几个行列式之和。6）当已知矩阵的特征值时，可以用所有特征值之积计算。例1 证明。 证明 若，因为，

22、所以， 故 若，只要证，事实上，如，则 ，因此，与矛盾。例2 设，矩阵满足。其中为的伴随矩阵， 是级单位矩阵，求。解 由可得，又由，再由， 知，。例3 设阶矩阵，其中均为维行向量，且，求。解 =例4 设均为阶方阵，, ,求。解 例5 设为维列向量，阶方阵, 如果，求。解 因为 而，所以例6 设 是3阶方阵，其特征值是，且，求。解 由题设，又,而的特征值是，所以。例7 设均为阶方阵，且,则=。证明 （1）当时，因为 由式得。 （2)当时，令,由于,使时，且由知，,所以，两边均为的多项式，对时它们相等，因而它们恒等，特别取时有=。4行列式理论的应用4.1范德蒙行列式我们称下列的行列式为范德蒙行列式

23、将中不加区别看做，那么就是一个次方程，利用行列式的性质可观察出时范德蒙行列式值为零。不妨称方程的根，或者说中含有的因子，利用排列原理知至少有个根也至少有个个因子。事实上行列式中是对等的，我们根据行列式的定义略去和之间区别，含有的最高次数为个，即之多有个根或至多有个因子；再利用主对角线上元素之积的系数为1可知4.2范德蒙行列式在计算行列式中的应用4.2.1利用行列式的性质转变为范德蒙行列式例1.计算阶行列式分析：该行列式的排列规律与范德蒙行列式排列规律正好相反，为使中的各列元素的方幂次数自上而下递升排列，可以将第行依次与上行交换自至第1行，第行依次与上行交换自至第2行，第2行依次与上行交换自至第

24、行，于是共经过次行的交换得到阶范德蒙行列式。解: 4.2.2利用乘法规则转化为范德蒙行列式例2.计算行列式解：此行列式中没一个元素都可以利用二项式定理展开，可以变成乘积的和，根据行列式的乘法法则，其中对进行例1中的行交换就可得到范德蒙行列式，于是4.3一类阶实方阵行列式的应用研究了形如 的一类阶实方阵方行列式的几何意义，并在结论部分包含了如下结论的一类阶实方阵方行列式的几何意义，并在结论部分包含了如下结论：这里的式实质蕴含了在证明几何相关问题、向量线性问题等问题的应用价值，下面给出的一些相关应用。一. 巧用证明平面上的三点共线问题定理1.其几何意义是二维平面以三点为顶点三角面积的6倍，亦即以矢

25、量为邻边的平行四边形的面积。根据的几何意义，有定理1直接可得：推论1：平面上三点共线例1. 试推导直线的两点式方程证明：设是过已知点的直线，对于三点共线展开并整理，且当时就有 这就是直线的两点式方程。二巧用证明空间四点共面问题定理2.四点为顶点的四面体的体积的6倍，亦即等于以矢量为相邻的平行六面体的体积。根据的几何意义，有定理2直接可得：推论2.空间四点共面例2. 试推导平面的三点式方程证明：设是过已知点的平面，据推论2，对于必有 对展开并整理得 即为所求三巧用计算其他行列式的值定理3.范德蒙行列式为并取 则证明：先将转置，则；然后得第一行通过第次交换到第行，第2行通过次交换到第行，将第行交换

26、1次到第1行，这样总共经过次的交换而得到，于是便有（2）式成立。例3. 计算阶行列式 解：设的转置为，则与（4）式有相同形式。于是，根据定理3得： 4.4行列式在多项式理论中的应用例1.证明一个次多项式至少有个互异的根证明：个互异的零点，则有 即 这个关于的齐次线性方程组的系数行列式 因此，这个矛盾表明有个互异根。4.5在线性变换理论中的应用例1 在数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值，则1)与可交换的线性变换都是的线性组合，这里为恒等变换；2)线性无关的充要条件为，这里证明：1）设与是可交换的线性变换，且，则是的不变子空间，则由以下方程组。令，则有以下方程组 （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且，所以方程组（1）有唯一解，故是的线性组合。2）充分性因为，所以并且，所以是可逆矩阵，又因为是的一组基，所以线性无关。3）必要性设是分别属于的特征向量，则构成的一个基，因而有，若，则是属于的特征向量，故结论成立。若存在，使，不妨设全不为零，而，因而有，则，利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以秩，从而线性无关，矛盾。从而，这里。参考文献1王正文.高等代数分析与研究M.济南：山东大学出版社，1994.2王品超.高等代数新方法M.济南：山东大学出版社，198