信息计算科学毕业设计

1、 shanghai university毕业设计（论文）undergraduate project (thesis)题 目: 从chebyshev到bernstein:多项式初探学 院 理学院专 业 信息与计算数学指导教师 张建军起讫日期7月8日起12月15日止目 录摘要:-2 abstract-31. 绪论-42. 第一章-63. 第二章-134. 结论-24chebyshev到bernstein:多项式初探摘要多项式问题的研究是一个古老但非常有意义的问题，它在现代数学中占有重要地位。多项式方程的求根，函数的多项式逼近等等问题是应用数学，计算数学中的一个重要研究问题，它不仅在理论上，而且在实

2、际问题中都有重要应用。 本课题研究多项式的大小对多项式根的位置的影响，考察多项式对于解的位置变动的敏感性。我们从chebyshev多项式入手，研究多项式的大小对多项式根的位置的影响。本课题的主要内容是对chebyshev多项式和bernstein多项式做进一步深入分析，了解他们的有用的重要性质。给出一些有意义新的问题的结论。本论文的创新点之一就是对多项式的数域的扩充到复数的情况。巧妙地从两个典型的多项式，车比雪夫多项式和伯恩斯坦多项式出发，抛砖引玉地深入问题。尤其在借鉴数值逼近中最小多项式的概念引出最大多项式的概念后对多项式限制一定条件后逐步深入问题。关键词：最大（最小）无穷范数、（最大）最小

3、多项式 、根的扰动、根的位置关系、chebyshev、bernsteinabstractpolynomial problem of research is an ancient but very meaningful questions, it is in the modern mathematics plays an important role. polynomial equation extract roots, function of polynomial approximation etc problem is applied mathematics, computational m

4、athematics one of the important research problems, it not only theoretically, but in actual problem in all have important applications. this topic research polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution of sensitivi

5、ty. we chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. this topic is main content on chebyshev polynomials and bernstein polynomial do further analysis, understand their useful important properties. give some meaningful new problem co

6、nclusion. this thesis is one of the innovation points of polynomial number domain expansion to plurals situation. ably from two typical polynomials, car than snow cardiff polynomials and bernstein polynomial embarks, derive deeper into question. especially in drawing a numerical approach in the conc

7、ept of minimum polynomials drawn to the concept of maximum polynomial after polynomial limit after certain condition deepens problem.keywords: the biggest (minimum) infinite norm, (max) minimum polynomials and roots disturbance, root position, chebyshev, bernstein绪论说明是否真的存在两个首一的七次的实多项式它们的根全部都在单位区间上？

8、事实上确实存在这样的多项式：一个是另一个，那么这两个多项式在图上的巨大的区别是什么造成的呢？专修数学的学生都知道任何一个首一的多项式，都存在两种标准的表达形式：不管什么表达形式，都需要选定n个系数才能确定多项式p。对于第一个标准形式，我们不妨称他为扩展形式，第二种标准形式就称他为析因形式。比如对扩展形式的标准型：我们必须确定其系数。同样的原因对析因形式的标准型只有确定其多项式的根后才能确定多项式本身。起初，我们研究的问题的兴趣主要在只有实根的实系数多项式，所以最初我们约定多项式所有的根全是实数根。在本文中，我们主要聚焦多项式的尺度（无穷范数）的大小与其根的位置关系。我们很有必要引进这样一个映射

9、p：这里的，其目的是为了探究多项式p对自己根的位置变化的敏感性。最近关于这方面的论文【1，2，3，5，12】已经明确表明多项式的临界点是依赖和于所有的根与其根的位置。现在我们要回顾多项式根的扰动的思想，利用这个去处理多项式的范数大小问题。并且最终对一类多项式，我们能够在某种意义上相对地说什么样的多项式是他们同级别类型中的最大和最小多项式。当然我们也需要先对重要的多项式了解其相关的重要性质。利用他的性质引出问题。我们主要对chebyshev多项式和bernstein多项式及其性质有一个大概的了解。然后从这些基本但又什么重要典型的多项式入手研究一般多项的范数的相对大小和怎么通过扰动根的位置关系使范

10、数增加等一些列深刻的研究内容。 第一章：chebyshev多项式 在探究真理的过程中我们或多或少的要涉及到两类非常著名的多项式。比如一开头就提到的是七次首一的chebyshev多项式，是一个能被变形为bernstein多项式。这两类多项式在多项式家族中拥有非常重要的广泛的应用和的令人惊奇的性质。我们首先回顾一下这两个重要多项式的重要内容。chebyshev多项式我们记，即，那么显然有下面我们通过上面的递推关系式得出一些重要的性质。他是我们后面论述所必须要应用的。性质1：递推关系我们来简单的说明一下。由，即，当然也可以把看成未定元。得到形式化的线性方程组：ax=b线性方程组的系数矩阵的行列式不等

11、于零，故系数矩阵为非退化的。即为满秩的方阵，故有唯一的解。我们进过计算得到下列的表示形式显然就是先前的两个例子之一。性质2：chebyshev多项式是n次多项式由归纳法证明：假设对所有小于等于n的chebyshev多项式结论都是成立的=- =由于，deg（）=故显然是n次多项式，故对所有n性质3：契比晓夫多项式的最高幂项的系数为证明：我们知道欧拉公式，故有，= 由，即，则=。性质2告诉我们的最高项的次数为n。所以为了计算此多项式最高项系数，我们显然知道对于多项式我们可以用这样的极限的方法来求他最高项系数的。对于形如的多项式我们利用数学分析中分析函数性态的办法直接可以得到：多项式的最高项系数=我

12、们取极限=性质4： 由，是显然的。性质5：在中恰有n个不同的实根。k=1,2=0=k-，。=，性质6：在区间中有n+1个点轮流取到最大值1和最大值-1。显然我们把代入中，=性质7：当n为奇数时为奇数函数，当n为偶数时为偶函数。事实上这是显然的：= =，n为奇数时，为奇函数 n为偶函数时，为偶函数。性质8：契比晓夫多项式是上带权的正交多项式。，=当m=n= 0时， 当m=n0时， 当mn 时， 0即为上带权的正交多项式。重要定理：在上，首项系数为1的一切次多项式中，对0的偏差最小。即证明：假设存在一个n次的首项系数为1的多项式比对0的偏差更小。，在性质6中我们知道，在中在n+1个交错点组处轮流取

13、到的他的最大值1与最小值-1。所以在处，轮流取得最大值与最小值- 。我们得到不等式：所以对于在共有n+1个点轮流取正负号，所以我们不难通过罗尔定理得出在中至少有n个互异的实根。但由于，都是首项系数为1的n次多项式，故deg（）n-1，现在我们知道有n个不相同的实根，故，即，那显然与先前只假设矛盾！故我们可以得到一个什么之精彩的结论：所有在区间首项系数为1的n次多项式，满足其最大绝对值 第二章：最大多项式多项式的无穷范数：这是我们全文出现的第一个高潮，我们先回到前面的chebyshev多项式我们已经知道是在所有区间在首项系数为1的n次多项式中内取到最小的最大值，在这里我们可以亲切地称多项式为在单

14、位区间上n次首一多项式中最小的多项式。论文绪论部分中提到的就是“单位化”而得到的。其最大值就是=非常小。在图上几乎看不出来。顾名思义喂最小之多项式。知道了什么的多项式叫最小的多项式那么自然我们对于多项式就要首先明白什么叫做多项式的大？在绪论中另一个多项式显然看起来比“大”得多。我们自然先要引出一个无比重要的概念。对于任何一个多项式p（x）。我们用： 来定义多项式p（x）的无穷范数。也就是对多项式的大小有了一个定量的估计。起初我们为了研究的需要对多项式做了一些合理的规定，接下来所要考虑的多项式是实系数的多项式且其所有的根都是在上的。并且他们互不相等，且，满足a-b=0。多项式其根的互异性是一个很

15、自然的假设起点，chebyshev多项式（事实上整个正交多项式函数族）满足这种合理的需要。最近有关这些函数这方面有趣且有用的结果都可在【1,2,3,5,12】找到。 另外一个非常重要的事实，我们对多项式的根，做这样的限制是为了使多项式在被某种意义下被“固定”住。因为如果没有任何的限制，显然我们总能使多项式的无穷范数尽可能的大，要多大有多大只要我们想那样做的话。稍后我们会突破多项式其根全部是实根的限制，讨论在单位复圆盘上的多项式的相关课题。多项式其根的拖动（扰动） 一个非常漂亮的定理关于一个实系数都是相异的实根多项式临界点的是我们的开始的地方。在【1】中有非常非常详细的讨论，安德鲁先生证明了多项

16、式根拖动的一些定理： 如果我们对实系数都是相异的实根的多项式的一些内部的根在一个方向上进行移动，每个被移动的根的距离都不超过，那么多项式所有的临界点都会向右方移动，并且移动的最大距离都少于。 在仅仅拖动一个具体的根的时候对被拖动前的多项式和被拖动后的新多项式进行比较后发现在原先的多项式和拖动后形成的新多项式的关系中发现了一些比较有趣的现象和性质。下图2中很生动形象的表示了拖动前后新老多项式的性态变化。当然，我们最重要的是比较它们各自极值的变化。 图2就是两个五次的多项式，他们其他四个根没有什么变换，其中有一个根x=0是被拖到了x=1.75。 我们最终发现，他是在一个根被拖动的情况下，被拖动前的

17、原多项式的极大极小值反而比拖动后的小。即拖动后的新多项式是获得了更大的尺度。 性质1.：设这里的为其多项式的相异的实根，在他们其中选一个内部的根，称他为，我们把他向右拖动个单位，其中满足。那么拖动后得到的新的多项式那么与有下列一些关系。a 如果x，那么这里（当且仅当在他们的公共根上取等号 ）b 如果x，那么这里（当且仅当在他们的公共根上取等号）c 最后要指出的是多项式与 在区间上如果有那么对任意的x都成立。反之与 在区间上如果有那么对任意的x都成立。我们不用太大的篇幅来证明这个问题，但是最最关键的几点还是要逐一给出的。首先多项式和仅仅在x=的地方相交，并且都为0。此外，由于-的次数已近不超过n

18、-1，故至多有n-1个实根，而他们就是x=这些点。所以，在区间中不存在使和相交的点。有一个重要的事实，任何两个多项式在公共根所构成的区间中一定不相交。那个拥有在左端点处导数更大的多项式，比相对的那个多项式在这些公共的区间中更大。当然，稍后我们将利用这两个多项式的展开的方法来严格证明这些看似非常简单的事实。详细的细节我们现在就开始了。引理 1假设和都是在区间上的多项式，这里有，此外在我们假定在区间内部中和都是不相交的。那么如果有则对所有的x都成立。相类似的当，则对所有的x都成立。证明： 由于在区间内与不相交，不是所以对任x恒成立就是对恒成立。（不然假在一些点上，在其它一些情况上，则根据连续函数中

19、rolle定理他们在区间一定会有等值的交点，显然与我们先前的假定直接矛盾。）我们不是一般性，不妨设根据函数极限的保号型，则存在一个领域使得成立。由于，即直接可得。尽管是对一部分领域成立，但又由于先前的讨论知道不是所以对任意的x恒能成立就是对恒能成立。故显然对所有的x都成立。我们把这两个多项式在a处展开就可以得到：在他们两边同时除以x-a，并且考虑到我们能得到：在不等式两边取极限。显然，有但这是绝对矛盾的，因为我们假设就是。因此我们最终得到这样的结论：对所有的，。我们回过身来，仔细地分析与我问就可以的出性质1，我们发现 对任意的，我们有如果则就有对所有的成立。对于也是相类似的。当然对于向左拖动一

20、个根也是有相应的结论的。只不过需要不等式的方向做一些恰当的改变。即使当这些根是向左端点或是向右端点拖动结论还是成立的。更加令人振奋的是性质1他还适用于有多个重根的实多项式的情况。具体的证明与先前的几乎没有什么实质性的不同，我们这次就做一省略。我们现在把思路理一理，回到当初的设想，怎样使多项式的范数增加。现在就可以利用性质1的结论去具体操作把一个具体的多项式增加他的范数。就是一句话使多项式变得更加大。增大范数：在前面的过程中，我们需要去设置一些合理的限制关于多项式的零点。否则可能会使多项式的范数要多大就有多大。只要我们向无穷远处拖动便可。许多标准的正交多项式都定义在单位区间内。而任意一个多项式总

21、能通过一个变换使得问题转化为在单位区间上去考虑问题。因此我们把所有考虑的多项式都限制在单位区间上是有充分理由的。对于任给的一个多项式，是否存在一个多项式和他的类型完全一致的多项式（首一的定义在单位区间上的n次含有n个互异实根的实多项式），使得多项式满足： 呢？要回答这个问题只要利用我们前面的性质1就直接可以得出操作的方法。先找出多项式的临界点（使范数达到最大处的x）然后就可以使向靠近的两个端点处逐渐拖动根的位置。这将使范数增大。为了说明我们的过程，下面几张图就完整的说明了多项式范数上升的过程。 正是因为这样的过程使得我们最终在拖动的时候不是把这些实根拖向-1就是把实根拖到+1那里。最终得到多项

22、式是一个新的多项式他就是我们所说的在范数意义下所谓的更大多项式。并且我们如果仅从多项式根的拖动理论的角度来说已经达到这个多项式范数的极致了。bernstein多项式接着上面所说的对于首一的定义在单位区间上的n次实多项式通过拖动根都能增大其范数，在有限部后一定能得到的新的多项式最终都是归于这样的一个集合：这些都是形如bernstein多项式。这样的多项式有许多有趣的性质。他们的极值也有许多形式【8】。当然我们只想关心他们最大值在什么处取到，并且是多少。 =0=0，因此=我们关心的是哪一个能够使范数达到最大。由于是常数，所以问题就归结到的极值的问题了。为了表述的方便，我们用变量代换,先求函数的最值

23、。由于和具有相同的增减性，他们有相同的临界点。问题转化为求的最大值，以及临界点。由=0（这是唯一的临界点），时，。故的最大值是一定在区间的两端点之一处取得， =，所以对任何的首一实多项式其根在区间且以-1,1为其根的多项式p，其类似的我们就可以得到，我们容易观察到如果，则当时，。从这里我们知道了随着多项式的次数n很大时，几乎为零。其图像在坐标轴上显示为几乎贴着实数轴。我们在绪论中的显然就可以算这个例子。含虚根的情况： 我们自然会想，如果放宽条件，即多项式有虚数根的情况（多项式本身还是实系数多项式），是否有与先前相类似的结论？当然，我们假定多项式的系数全部是实系数多项式。所以，根据多项式的理论，

24、这样的多项式的虚根一定是成对出现的。我们还假定所有的根的模都不超过1。我们这样做的原因完全是为了对应的先前多项式其根全是实根的情况。不过值得注意的是这里有一个关键的不同点：多项式根的拖动的相应结论都是针对实系数多项式其根全是实根的情况。对于有虚根的情况，不管是一个（对）根，还是许多个（对）虚根的情况显然就不能包括在内了。 假设p是一个实系数多项式且-1，1都是其根。其他所有的根都在单位圆盘内。这里的单位圆盘是（显然是不包括其边界的）假定p至少有一个虚根且他虚部是非零的（即不是纯虚数）。我们不妨设他为因此，也是多项式p的一个根。其他我们分别称为这样，存在使得在处达到最大值。固定这个，当然除了和其

25、他的根也不能移动。现在我们知道=。这里被作为复数的模，但其实确是一个无可辩驳的实数。用几何的观点来说，完全是被到和的距离所决定的。我们移动（自然同时也被移动，和总是对称的），使与的距离增大，（同时与的距离也在增大）则也随之增大。上图就是沿着与连线方向移动的过程（向圆盘的边界移动） 这个时候我们可以得到： 这就是说对于这样的多项式一定存在另一个和他同类型的实多项式，他有更大的范数，此外当我们把在圆盘内的复根向圆盘的边界移动时范数会尽可能得大。最终导致所有的复根都在单位圆周上，所有的实根都在-1或1上面。这就和我们当初对全部是实根的情况很类似，那么在这些形式的多项式中哪个多项式的范数最大？我们还是观察根的位置。从几何特征来看，固定所有的根除了一对共轭的虚根，我们可以再一次看见如何增大范数的。我们不妨就考虑所对应的一对共轭复根的拖动。很明显我们从时。这对复根就变成-1和1了。而这一过程中范数一直在增大。这个过程可以对其他的共轭的复根进行, 使得多项式最终变成如下形式：，现在已经到极致了，不可能再拖动了。范数已经最大了。并且问题回到了前面所出现的情况。现在我们可以在更加广泛的范围内说出我们的结论了：