《误差理论与测量平差》ppt课件

1、绪 论一、本课程在一、本课程在中的作用与位置中的作用与位置二、丈量误差与丈量平差二、丈量误差与丈量平差 误差与丈量误差误差与丈量误差 丈量误差的来源丈量误差的来源 丈量误差的分类丈量误差的分类 丈量误差与多余观测带来的问题丈量误差与多余观测带来的问题 丈量平差的诞生丈量平差的诞生三、本课程的体系构造三、本课程的体系构造 误差实际误差实际 平差方法平差方法四、丈量平差的目的和意义四、丈量平差的目的和意义第四讲 平差数学模型与最小二乘原理一、概述 误差实际：研讨观测值与观测误差的随机特性、分布情况、数字特征、误差的传播规律。用一个公式表示即 1 2 丈量平差：就是按一定的平差原那么处置一个几何物理

2、关系模型中由于观测误差引起的不闭合问题，估计关系模型中观测值和未知量的值，评价它们的精度0KKLX平差原那么和义务平差原那么和义务平差的原那么：平差的原那么： 估计的无偏性、有效性、一致性；估计的无偏性、有效性、一致性； 最大约率原那么；最大约率原那么； 最小二乘法那么。最小二乘法那么。平差的义务：对丈量得出的观测值的统计特性进展检验，平差的义务：对丈量得出的观测值的统计特性进展检验，按一定的准那么按一定的准那么最小二乘原理，求出数学模型中最小二乘原理，求出数学模型中待定参数的最正确估计值，并研讨这些估值的统计特待定参数的最正确估计值，并研讨这些估值的统计特性。性。第四讲 平差数学模型与最小二

3、乘原理第四章 平差数学模型与最小二乘原理 处置方法： 建立平差问题的几何物理关系模型函数模型 建立观测值的随机模型 先验方差 运用最小二乘原理 0321180LLL0321180LLL1200PQDLLLLminPVVT第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 根据函数模型给出的方式不同，平差方法分为四个根本类型 条件平差 r个条件r个多余观测r=n-t 间接平差 引入t个未知数独立 附有参数的条件平差 引入u个未知数产 生r+u个条件 附有限制条件的间接平差 选定ut个未知数，u个未知数产生u-t个条件0）（LF）（XFLn10),(1XLFC0)()(111XXFLsun第四讲 平差数学模型与最

4、小二乘原理二、参数点估计与平差原那么 观丈量的统计性质 数理统计学：运用概率的根本观念，对研讨对象的客 观规律性作出合理的估计和推断。 母体：在丈量任务中，某项观测一切能够获得的观测值的全体。 子样：某观测组的几个观测值。第四讲 平差数学模型与最小二乘原理参数估计：对平差模型中未知数及其方差、协方差的估计 函数模型 rn个未知量 如何确定 ，只需对平差数学模型附加某种约束，才可获得独一解，于是提出一个准那么-最小二乘原理0321180LLL321LLL，)(),(),(XDDLD第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 参数估计分类： 平差的本质是对随机变量观丈量的估值问题。 区间估计其它方法最大似

5、然估计矩法点估计（定值估计）参数估计第四讲 平差数学模型与最小二乘原理参数估计的最优性质 例对一个两进展同性质独立的几次观测，我们用 作为这个量的真值的估值 例三角形闭合差问题 把 作为 的真值估计 用观测值来估计参数的真值的国策思念感叫参数估计，参数估计有多种方法，如何获得最正确估值是丈量平差追求的目的。niixnx11wLL31111L第四讲 平差数学模型与最小二乘原理参数估计的优劣进展评价是按以下三个方面来进展的(1)无偏性：设 为参数 的估计量，假设 ，那么 为 的无偏估计。 )(E)(.)()(1)(21nxExExEnxE的无偏估计为xxxnnnxENXxxxxxxxi1).(1)

6、(),( 第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 (2)一致性：一致性： 为恣意小正数。为恣意小正数。 严厉严厉致性：致性： 1)|(|PLimn0lim)(2EEn2222211)(1)(1)1()(nnnXDnXDnXnDXDiii0)(limXDn的严格一致性估计为XX第四讲 平差数学模型与最小二乘原理有效性：假设有效性：假设 的无偏估计量不独一，假设的无偏估计量不独一，假设 那那么么 比比 有效，假设有效，假设 那么那么 为为 的最有效的最有效估计量估计量称为最优无偏估计量称为最优无偏估计量 在丈量平差中，参数的最正确估值要求是最优无在丈量平差中，参数的最正确估值要求是最优无偏估计量偏估计

7、量 最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计，最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计，由于他们的估计原那么是使由于他们的估计原那么是使 的估计量的估计量V V)()(21DD12min)(DminPVVT第四讲 平差数学模型与最小二乘原理二、参数估计方法二、参数估计方法1矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样函数的估计。函数的估计。子样均值子样均值 是母体数学期望的最优无偏估计，它是子是母体数学期望的最优无偏估计，它是子样的一阶原点矩。样的一阶原点矩。矩法的特点是方法直观，不用知道母体的分布类型。矩法的特点是方法直观，不用知道母体的分布类型。

8、niixnx11第四讲 平差数学模型与最小二乘原理2最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参数估计方法。数估计方法。 设母体的分布函数为设母体的分布函数为fx;，为未知参数，为未知参数， 对对抽得到的子样为抽得到的子样为x1，x2，xn，那么，那么落在落在i1in邻域邻域dx上的概率为上的概率为fxi;dx，因子样观测，因子样观测值相互独立，所以子样观测值同时出现的概率为值相互独立，所以子样观测值同时出现的概率为 nniinndxxfdxxfxfxfP)( );()(;().;();(121第四讲 平差数学模型与最小二乘原理(dx)n对于不同的为

9、常量，要使P最大，那么需可以得到的最大似然估值 。最大似然法的特点是，估计时必需知道母体的分布类型，确定f。max );(1niixfG0G第四讲 平差数学模型与最小二乘原理3最小二乘原理：最小二乘原理： 可以从两个方面来阐明这样的估计值是最优估计值可以从两个方面来阐明这样的估计值是最优估计值 最小二乘法：观测值对于最小二乘法：观测值对于 估计值估计值 偏离量的平偏离量的平方和最小，用方和最小，用 作为作为 的估计的估计 极大似然值：观测值应使极大似然值：观测值应使L的结合密度函数取极大的结合密度函数取极大值值)()(21|)2ln(ln12/12/XALDXALDGLLTLLnL第四讲 平差

10、数学模型与最小二乘原理最小二乘法：最小二乘法： 有物理模型位置时间模型有物理模型位置时间模型Y表示匀速运动质点在表示匀速运动质点在 时辰的位置，时辰的位置， 为其速度为其速度 y=+ 即即 在在 时辰有一组观测值时辰有一组观测值 i=1,2,n) 如今要对如今要对 进展估计进展估计 是是 最正确拟最正确拟合观测点。按照最小二乘原理的要求，就是应使观测合观测点。按照最小二乘原理的要求，就是应使观测点到拟合直线的平方和到达最小点到拟合直线的平方和到达最小Yiy3 , 2 , 1( i, Y第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 所谓最小二乘原理，即是要在满足 条件下求解估值 上式也可写成 iyiiii

11、iyyyv最小VVTmin)(1212niiiniiLv,第四讲 平差数学模型与最小二乘原理 最小二乘法的特点：只需是线性关系或可线性化的参数估计问题；那么不论观测列的分布如何，均可按最小二乘法进展参数的估计，它是一种可以不思索任何统计特性的估计方法。这是与最大似然法所不同的。 第四讲 平差数学模型与最小二乘原理极大似然法 作为 的估值，它是L的一切能够取值中选出的使样本观测值L出现概率为最大的值当然L在 的概率是最大的 即LLL)()(21exp|)2(11212LTLnLDLDGmin)()(1LLDLLTminPVVT第四讲 平差方法条件平差一、根本概念一、根本概念1、必要观测、必要观测

12、 为了确定观测对象的位置或外形、大小所必需的最为了确定观测对象的位置或外形、大小所必需的最少观测数，称为必要观测。少观测数，称为必要观测。2、多余观测、多余观测 实践观测数与必要观测数之差，称为多余观测。实践观测数与必要观测数之差，称为多余观测。3、闭合差、闭合差 举例阐明举例阐明4、条件平差及其目的、条件平差及其目的第四讲 平差方法条件平差二、条件平差原理二、条件平差原理 条件平差：以条件方程的方式来建立函数模条件平差：以条件方程的方式来建立函数模型，根据最小二乘原了解一组条件方程的极值型，根据最小二乘原了解一组条件方程的极值问题拉格朗日乘数法从而获取观丈量的最问题拉格朗日乘数法从而获取观丈

13、量的最正确估值的平差方法正确估值的平差方法 在平差问题中，有在平差问题中，有n个观测值个观测值L，其协方差，其协方差阵为阵为 ，由于存在，由于存在 r=n-t个多余观测，就使个多余观测，就使 存在存在r个个限制也就是限制也就是 必需满足平差问题的必需满足平差问题的r个几何关个几何关系我们要求系我们要求 的估值的估值 应有应有r个条件，由此组个条件，由此组成条件方程组。成条件方程组。 r个条件方程个条件方程 如今要求如今要求 的估值的估值LLDLL1nL1nL00 ALALL第四讲 平差方法条件平差原理：1、条件方程：在一个平差问题中，由于存在r个多余观测，使得n个 之间存在的r个几何物理关系模

14、型 多一个L就需多一个 ，就多一个限制条件几何关系 令 即在L的根底上加矫正数获得平差值LLLn1来估计由00 ALALVL)( , 00AALWWAV第四讲 平差方法条件平差 r个条件不能直接求取n个平差值 2、利用最小二乘原理可以确定 的最优估值 ，这就是求条件极值问题 的极值引入系数K 求偏导 得极值点 利用 1nLLL)(2WAVKPVVTT022AKPVdVdTTKAPVT1TPP 第四讲 平差方法条件平差 3、将V代入条件方程AV+W=0 得 4、 5、01WKAAPT0WKNaWNaK1KQAKAPVTT1VLL第四讲 平差方法条件平差 于是 的最优估值 即得 此时 既符合最小二

15、乘原理，又满足几何关系条件方程 观丈量的平差值，观丈量的估值，最或是值，最优估值 解题步骤： 列出r个条件方程AV+W=0 组成法方程 解法方程，求系数K 求矫正数01WKAAPTKAPVT1LLL第四讲 平差方法条件平差续举例 水准网如右图：观测值及其权阵如下：TL216. 1099. 0078. 0142. 1114. 1023. 05 . 25 . 25 . 2111diagP 第四讲 平差方法条件平差续误差方程 法方程法方程的解0432101100110010011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk第

16、四讲 平差方法条件平差续按5求矫正数V：求观测值的平差值：检核：2 . 09 . 01 . 17 . 23 . 2011611501100111011000100015 . 20000005 . 20000005 . 200000010000001000000111KAPVTTVLL2162. 10999. 00769. 01393. 11163. 10230. 000769. 01393. 12162. 102162. 10999. 01163. 100999. 00769. 00230. 0436652641LLLLLLLLL第四讲 平差方法条件平差续四、条件平差的求解步骤四、条件平差的求

17、解步骤 1根据详细问题列条件方程根据详细问题列条件方程1式；式； 2组成法方程组成法方程4式；式； 3解法方程；解法方程； 4按按5式求矫正数式求矫正数V； 5求观测值的平差值求观测值的平差值 ； 6检核。检核。VLL第四讲 平差方法条件平差续五、条件方程的列立五、条件方程的列立 在平差问题中，在平差问题中，n个观测值中存在个观测值中存在r个多余观个多余观测，使平差值测，使平差值 应满足应满足r条件方程，这条件方程，这r个条件个条件方程应是线性无关的，即每个条件均是独立的方程应是线性无关的，即每个条件均是独立的条件。条件。 假设列出的条件方程可由这假设列出的条件方程可由这r个线性无关的个线性无

18、关的条件方程作线性组合，也就是说其中有一个条条件方程作线性组合，也就是说其中有一个条件方程可由其他的条件方程运算得到，那么这件方程可由其他的条件方程运算得到，那么这个条件方程实践上是无效条件，平差过程将无个条件方程实践上是无效条件，平差过程将无法进展方程数不够。法进展方程数不够。第四讲 平差方法条件平差续 以上条件方程实践只需2个有效的条件方程，2个线性无关的条件方程，因此，条件方程的建立，一定要找出r个线性无关的条件。为此，应从图形的n个单元分别建立，并思索条件方程的方式而使易于立列。065432106540321360180180LLLLLLLLLLLL第四讲 平差方法条件平差续列条件方程

19、的原那么:1、足数；2、独立；3、最简水准网的条件方程1、水准网的分类及水准网的基准 有知点和无知点两类。要确定各点的高程，需求1个高程基准。2、水准网中必要观测数t确实定保证足数 有知点：t等于待定点的个数 无知点： t等于总点数减一3、水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类 知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 知点个数小于等于1：只需闭合条件第四讲 平差方法条件平差续4、水准网中条件方程的列立方法保证独立、水准网中条件方程的列立方法保证独立1、先列附合条件，再列闭合条件、先列附合条件，再列闭合条件2、附合条件按测段少的道路列立，附合条件的个数、附合条件按测段少的道路列立，附合条

20、件的个数等于知点的个数减一等于知点的个数减一 (3)、闭合条件按小环列立保证最简，一个水准网中、闭合条件按小环列立保证最简，一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件有多少个小环，就列多少个闭合条件 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原那么。能满足所列条件方程足数、独立、最简的原那么。第四讲 平差方法条件平差续条件方程分别沿不同的道路列，涉及最少的平差值 两点之间沿不同道路有一样的高差 两知点间的高差应等于其间道路上高差的累计 闭合环的高差为0第四讲 平差方法条件平差续5、水准网条件方程列立举例、水

21、准网条件方程列立举例第四讲 平差方法条件平差续第四讲 平差方法条件平差续第四讲 平差方法条件平差续GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程1、GPS基线向量网的观测值： 一条基线三个观测值，他们是 ,n=3s，s是基线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准 。必要观测数为 ，m 为总点数。所以条件方程的个数为：r=3s-m+33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原那么。ijijijzyx,zyx,) 1( 3mt第四讲 平差方法条件平差续4、 G

22、PS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 图图1 图图2图图1中中r =33-3+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：，即三个条件方程。这三个条件方程如下：图图2中，中，r=36-4+3=9，即，即9个条件方程。个条件方程。 )()()(CABCABzzzCABCAByyyCABCABxxxzzzvvvyyyvvvxxxvvvCABCABCABCABCABCAB第四讲 平差方法条件平差续4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n = 3*22=66，t = 3*9-1=24，r =322-9

23、+3= 42第四讲 平差方法条件平差续三角网(测角网)的条件方程1、三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。2、三角网的作用 确定待定点的平面坐标。3、三角网的类型 单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三角网的基准数据 在三角丈量中，要确定各三角点的平面坐标，必需先建立平面坐标系。在平面坐标系中，只需知恣意一个点的坐标、恣意一条边的方位角和恣意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就独一地确定了。因此，三角丈量中的基准数据为：位置基准 2个恣意一点的坐标 、方位基准 1个恣意一条边的方位角 以及长度基准 1个恣意一条边的边长 。这四个基准数据

24、等价于知两个点的坐标。00, yx00S第四讲 平差方法条件平差续5、三角网中必要观测数、三角网中必要观测数 t 的规律的规律 有两个或两个以上知坐标点时，确定一个未有两个或两个以上知坐标点时，确定一个未知点的坐标需求知点的坐标需求2个必要观测值，确定个必要观测值，确定m个未个未知点的坐标时需求知点的坐标时需求2m个必要观测。即个必要观测。即 有足够有足够的基准数据：的基准数据：t =2m，m为待定点点数；为待定点点数； 有一个或无知点，确定有一个或无知点，确定m个未知点组成的三个未知点组成的三角网的外形，三角网总点数角网的外形，三角网总点数m：t=m-2*2。假设还要确定三角网的大小，那么需

25、求一个边假设还要确定三角网的大小，那么需求一个边长观测，长观测，t=m-2*2-1。再要确定三角网大。再要确定三角网大小和位置，那么需有两个知点，见详细分析。小和位置，那么需有两个知点，见详细分析。第四讲 平差方法条件平差续6、三角网中条件方程的列法、三角网中条件方程的列法图形条件内角和条件：三角形三内角和等图形条件内角和条件：三角形三内角和等于于180度；度；圆周条件程度条件：圆周角等于圆周条件程度条件：圆周角等于360度；度；极条件边长条件正弦定律：由不同推算道极条件边长条件正弦定律：由不同推算道路得到的同一边的边长相等。路得到的同一边的边长相等。第四讲 平差方法条件平差续 对极条件线性化

26、在观测值处线性化33112211sinsinsinsinsinsinsinsinabcbBAbacaBA1sinsinsinsinsinsin332211abbaba1BDCDCDADADBD即第四讲 平差方法条件平差续ciiibiiiaiiivccvbbvaa,1)sin()sin()sin()sin()sin()sin(332211332211bbbaaavbvbvbvavava0cotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsinc

27、otsinsinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinsin333213212232132111321321333213212232132111321321321321 bbbaaavbbbbaaavbbbbaaavbbbbaaavabbbaaavabbbaaavabbbaaabbbaaa0)sinsinsinsinsinsin1 (cotcotcotcotcotcot321321332211332211 aaabbbvbvbvbvavavabbbaaa化简：第四讲 平差方法条件平差续7、三角网中条件方程的列立举例、三角网中条件方程的列立举例图图1中，中，n=3，t=2，r=

28、1，即一个图形条件。，即一个图形条件。图图2中，中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。，即三个图形条件，一个极条件。第四讲 平差方法条件平差续 图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。 由以上三例知，三角形只需图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只需中点多边形才有全部的三类条件。第四讲 平差方法条件平差续用普通符号列出图4的条件方程：n=33第四讲 平差方法条件平差续三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测值 三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。2、三边网的作用 也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型 单三

29、边形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边丈量中，观测值中带有长度基准。所以，三边丈量中不需求长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个恣意一点的坐标 、方位基准 1个恣意一条边的方位角 ，即三个基准。00, yx0第四讲 平差方法条件平差续5、三边网中必要观测数、三边网中必要观测数 t 确实定确实定 有足够的基准数据：有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数；为待定点点数； 无足够的基准数据：无足够的基准数据：t =2z - 3, z为三角网中的总点数。为三角网中的总点数。 单三角形：单三角形： t =2 3 3=3，而，而

30、n=3，故，故r=n-t=3-3=0 大地四边形：大地四边形：t =2 4 3=5，而，而n=6，故，故r=n-t=6-5=1 中点中点N边形：边形： t =2N+1 3=2N-1，而，而n=2N，故，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式阐明：在测边网中，单三角形不存在条件，以上各式阐明：在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。之和。第四讲 平差方法条件平差续6、三边网中条件方程的列立、三边网中条件方程的列

31、立 可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。立。 利用观测边长求出网中的内角，列出角度满足的条件，利用观测边长求出网中的内角，列出角度满足的条件，然后以边长矫正数代换角度矫正数，得到以边长矫正然后以边长矫正数代换角度矫正数，得到以边长矫正数表示的图形条件。数表示的图形条件。 边角关系、余弦定理建立边长矫正数与角度矫正数的边角关系、余弦定理建立边长矫正数与角度矫正数的关系关系 ASSSSScbcbacos2222)coscos(1cbaaBdSCdSdShdA)coscos(scsbsaaABVCVVhV 第四讲 平差方法条件平差续以坐标为

32、观测值的条件方程 用数字化仪、扫描仪对地面两点坐标数字化得出的值是机械坐标系统的坐标，经变换可得到地面坐标系统中的坐标值，由于数字化过程有误差，使观测坐标不闭合，应与平差 1、直角与直线的条件方程 设观测三点 j 、k、h的坐标为 知 与 间夹角为 由此可经过角度建立坐标间的条件方程hhkkjjYXYXYX、，、，、jhjk0第四讲 平差方法条件平差续 即 线性化得 2、间隔计算的条件方程0jhjk0)()()()(arctan)()()()(arctan0 xjjxhhyjjyhhxjjxkkyjjykkVXVXVYVYVXVXVYVY021220000000000)()(002)(2)(S

33、XXYYSSVSYVSXVSYVSXSXjXkYjYkjkjkjkssyjkjkxjkjkyjkjkxjkjkkkjj第四讲 平差方法条件平差续单一附合导线的条件方程1、导线的观测值 导线的观测值由角度和边长两类观测值组成。2、单一附合导线的外形3、单一附合导线的必要观测数 t =2m，m为待定点点数。已知控制点待定控制点第四讲 平差方法条件平差续4、单一附合导线的条件方程个数、单一附合导线的条件方程个数观测值的个数：角度观测值的个数：角度m+2个；边长个；边长m+1个；观测值总数个；观测值总数 n=2m+3个。个。条件方程个数：条件方程个数： r = n-t = 2m+3- 2m=3即不论待

34、定点点数即不论待定点点数m为多少，单一附合导线的条件方程个数固定为为多少，单一附合导线的条件方程个数固定为3。5、单一附合导线的条件方程、单一附合导线的条件方程一个方位角条件一个方位角条件两个坐标条件两个坐标条件 21221180)2(0miBBiAAmmwwvvv001111miBiAmiBiAyyyxxx第四讲 平差方法条件平差续GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件方程1、观测值 观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。2、必要观测个数 t=N+13、多余观测个数 r=n-t=2N-N-1=N-14、条件方程的类型 N-1个直角条件。 hjkhjk90jhjk第四讲 平

35、差方法条件平差续六、非线性条件方程的线性化六、非线性条件方程的线性化 1、问题的提出、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。由于条件平而极条件、坐标条件等都是非线性条件。由于条件平差中要求条件方程必需为线性方式，所以，平差前必差中要求条件方程必需为线性方式，所以，平差前必需将非线性条件转化为线性条件。这一转化任务称为需将非线性条件转化为线性条件。这一转化任务称为非线性条件方程的线性化。非线性条件方程的线性化。 2、线性化的方法、线性化的方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性方式。各项，即得条件方程的线性方式。第四讲 平差方法条件平差续 设非线性条件方程为： 为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加矫正数的方式，即： 于是，有令0),(21nLLLiiivLL0),()