北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题（附答案）

北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题（附答案）一、综合题1．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(−2，−1)，B(−1，−3)，(1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为．(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B(3)△OAB的内部一点M的坐标为(a，b)，直接写出点M在△OA2B2中的对应点2．（2022九上·济南期末）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．（1）利用图1、图2所示水的体积相等，求DE的长；（2）求水面高度CF．3．（2022九上·济南期末）如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF①求AB的长；②求△EBC的面积．4．（2022九上·济南期末）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=k2x交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的纵坐标为（1）求双曲线和直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的3倍，求点P的坐标．（3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，AD、BE是ΔABC的高，连接（1）求证：ΔACD∽ΔBCE；（2）若点D是BC的中点，CE=3，BE=4，求6．（2022九上·平阴期中）如图，在直角三角形ABC中，直角边AC=3cm，（1）当t为何值时，△PBQ是以∠B为顶角的等腰三角形？（2）△PBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．7．（2022九上·济南期中）（1）[问题背景]如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．（2）[尝试应用]如图②，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在①填空：AEBD=②求DFCF8．（2022九上·章丘期中）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，交AB于点QDE=DP=1，（1）求证：①△APD≌△CED；②求∠AEC的大小；（2）求正方形ABCD的面积；（3）求线段PQ的长．9．如图Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=8cm．点P从点C出发，以2cm/（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于16cm（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？（3）①是否存在t，使得△PCQ的面积等于20cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形APQB的面积为S，请10．（2022九上·济南期中）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B，D'C的长度和为（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A'B，11．（2022九上·长清期中）如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长（1）求路灯B的高度；（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）12．（2022九上·长清期中）如图，△ABC的三边长分别为a、b、c（a>b>c），△A1B1C1的三边长分别为a（1）若c=a1=2，a=5（2）若c=a1，求证：（3）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A（4）若b=a1，c=b1，是否存在13．（2021九上·槐荫期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；（2）求出△A'B'C'的面积．14．（2021九上·槐荫期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…（1）任务：请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．15．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．（1）当α=60°时（如图1）①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：AEBD（2）当α=90°时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出AEBD16．（2021九上·商河期末）如图，已知点C、D在线段AB上，且AC=4，BD=9，△PCD是边长为6的等边三角形．（1）求证：△PAC∽△BPD；（2）求∠APB的度数．17．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别是AC，BC的中点，点P是射线ED上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段（1）问题发现如图（1），当点P与点D重合时，线段CM与PE的数量关系是，∠ACM=．（2）探究证明当点P在射线ED上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．（3）问题解决若AC=2+6，连接PC，当△PCM18．（2022九上·章丘期中）如图1四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A（1）如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）时，BM和DN的数量关系是（2）如图3，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且ABAD=AMAN=（3）在（2）的条件下，若AB=2，AM=1，矩形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°），当19．（2022九上·济南期中）如图，在平面直角坐标系中，C(8，0)、B(0，6)是矩形ABOC的两个顶点，点D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，双曲线y=k（1）如图①，当点D为AB中点时，k的值为，点E的坐标为；（2）如图②，当点D在线段AB上的任意位置时(不与A、B重合)，连接BC、DE，求证：BC∥DE；（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足：△ODF为直角三角形，∠ODF=90°，且tan∠DOF=20．（2022九上·济南期中）如图①，已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，以BE为斜边构造等腰直角△BEF，将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转．（1）如图②，当∠EBC=30°时，若CG=2，则BG=；AG=（2）如图③，延长BE，与AC、DC分别相交于点G、N，延长BF，与AC、AD分别相交于点H、M，求证：△AMH∽△CGN；（3）如图④，连接CE、DE，请直接写出当2DE+4CE取得最小值时，∠ECB21．如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，D是AB的中点，动点P从点A出发，沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与ΔABC相似？（2）若ΔAPD为钝角三角形，请直接写出t的取值的范围．22．（2022九上·历城期中）如图：（1）【问题初探】如图1，ΔABC中∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作ΔADE，使∠DAE=90°，AD=AE，连接BE，BE与CD的数量关系，位置关系．（2）【类比再探】如图2，ΔABC中∠BAC=90°，AB=AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作ΔMDE，使∠DME=90°，MD=ME，连接BE，求∠EBD的度数．（3）【方法迁移】如图3，RtΔABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=6，点M是AB中点，点D是BC上一点且BD=1，连接MD，以MD为一边作ΔMDE，使∠DME=90°，MD=3ME，连接BE，求23．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在斜边AB上，且满足BD＝13（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时①如图2，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接CE，判断△CEF的形状，并证明．24．如图（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP⋅BP．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=25．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则BEDF＝；β＝（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出BEDF（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①BEDF＝②请直接写出α和β之间的关系式．26．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）（1）用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．27．如图（1）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到BCAC=（2）应用：实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时，求CD的长；（3）拓展：在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．28．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．（1）如图1，当α=0°时，BB1AA1=，BB（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中①请直接写出△ABA1面积的最大值；②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．

答案解析部分1．【答案】解：⑴如图，点P为所作；故答案为：(−5，−1)；⑵如图，△OA⑶(2a，2b)．2．【答案】（1）解：如图所示设DE=xcm，则AD=（8－x）cm根据题意得：12∴DE=4（cm）（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3∴CD=5∵∠BCE=∠DCF=90°∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB∴∠DCE=∠BCF∵∠DEC=∠BFC=90°∴△CDE∽△CBF∴CECF=∴CF=245答：CF的高是2453．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD∴AE∥CD∴∠E=∠FCD，∠EAF=∠D∴△AEF∽△DCF．（2）解：①∵△AEF∽△DCF∴AE∵AF∴CD=2∵四边形ABCD是平行四边形ABCD∴AB=CD=22②∵四边形ABCD是平行四边形ABCD∴AD∥BC∴△EAF∽△EBC∴S∵S∴△EBC的面积为6．4．【答案】（1）解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F∵tan∴OF=3∴AF=1∴A∵双曲线y=k∴1=k2∴双曲线的解析式为y=−将A(−3，1)1=−3k1∴直线AB的解析式为：y=−x−2（2）解：如图，连接OB、PO、PC当y=−x−2=0时∴C∴OC=2∵D∴OD=2∵点B的纵坐标为−3∴−3=−x−2∴x=1∴B∵△OCP的面积是△ODB的面积的3倍∴即12×2⋅即y=−∴x=−1∴P（3）解：由（2）得OC=OD∴∠OCD=∠ODC∴∠ECD=∠ODB∵D(0BD=∴ΔECD与△ODB相似有两种情况讨论如下：①△ODB∼△ECD∴ODCE∴CE=4∴E②△ODB∼△DCE∴ODCD∴CE=2∴E综上，点E的坐标为(−6，05．【答案】（1）证明：∵AD、BE是ΔABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴ΔACD∽ΔBCE；（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC∴AB=AC，在RtΔBEC中∵CE=3，BE=4∴BC=∴CD=1∵ΔACD∽ΔBCE∴ADCD∴AD=4×∴AC=∴AB=AC=256．【答案】（1）解：∵直角边AC=3cm，BC=4cm∴由勾股定理可得，AB=∴AP=t，BP=5−t，BQ=t∵△PBQ是以∠B为顶角的等腰三角形∴BP=BQ，即5-t=t，解得t=5∴当t=52秒，△PBQ是以（2）解：能．理由：当△PBQ∽△ABC时BQBC=BPAB，即当△PBQ∽△CBA时，BQAB=BPBC，即∴当t=209或2597．【答案】（1）证明：∵△ABC∽△ADE∴∠BAC=∠DAE，AB∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD即∠BAD=∠CAE∴△ABD∽△ACE；（2）解：①1②连接CE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴ABAD=ACAE，∴ABAC=ADAE，∵∠BAD=∠CAE=90°−∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC=∠ACE，∴∠ADE=∠ACE，∵∠AFD=∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴DFCF=ADCE，由①得AD=3AE，AD=38．【答案】（1）解：①∵DP⊥DE∴∠PDE=∠PDC+∠CDE=9∵在正方形ABCD中∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=90°∴∠CDE=∠ADP在△APD和△CED中AD=CD∴△APD≌△CED；②∵△APD≌△CED∴∠APD=∠CED又∵∠APD=∠PDE+∠DEP，∠CED=∠CEA+∠DEP∴∠AEC=9（2）解：过点C作CF⊥DE交DE延长线于点F∵DE=DP=1，∠PDE=9∴PE=∴∠DPE=∠DEP=4∵∠CEA=9∴∠CEF=4∵∠EFC=9∴∠FCE=4∴∠CEF=∠FCE在Rt△PCE中，CE=∴CF=EF=∴在Rt△CDF中，C∴正方形ABCD的面积为：CD（3）解：∵△APD≌△CED∴∠ADQ=∠CDF∵∠DAQ=∠DFC∴△DAQ∽△DFC∴∵DA=DC∴DQ=∴PQ=DQ−DP=259．【答案】（1）解：由题意知，PC=2tcm，BQ=tcm∵AC=10cm，BC=8cm∴CQ=(8−t)cm，0<t≤5∵△PCQ的面积等于16c∴1∴12×2t·(8−t)=16∴t即经过4秒后，△PCQ的面积等于16c（2）解：∵∠ACB=∠PCQ=9∴①当△PCQ∽△ACB时∴2t解得：t=40②当△PCQ∽△BCA时∴2t解得：t=16由①②可得：当经过4013秒或167秒△PCQ与（3）①不存在，理由：假设存在t，使得△PCQ的面积等于20c∴1∴1∴t而Δ=64−4×1×20=−16<0∴此方程无实数根∴不存在t，使得△PCQ的面积等于20c②S的最小值是24c10．【答案】（1）解：∵AD∥∴∠PAD=∠PA∴△PAD∽△PA∴AD∴30解得PM=180；∴灯泡离地面的高度PM为180cm；（2）解：设横向影子A'B，D同理可得△PAD∽△PA∴AD即60解得：x=12cm∴横向影子A'B，D'11．【答案】（1）解：∵AB⊥BO，CD⊥BO∴∠ABG=∠CDG∵∠CGD=∠AGB∴△ABG∽△CDG∴BG∵OB=20米，OD=17米，DG=1米∴BD=OB−OD=20−17=3米，BG=BD+DG=3+1=4米∴41=AB∴路灯高6.4米．（2）解：如图所示：12．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A1B1∴aa1解得：c1（2）证明：∵△ABC∽△A1∴aa∴a=k又∵c=∴a=kc．（3）解：取a=8，b=6此时a∴△ABC∽△A1（4）解：不存在这样的△ABC和△A假设存在，则a=2a又∵b=a1∴a=2∴b=2c∴b+c=2c+c<4c=a与三角形的三边关系b+c>a不符∴不存在△ABC和△A1B13．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'为所作；（2）解：△A'B'C'的面积＝4×4﹣12×2×4﹣12×2×2﹣14．【答案】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E∵CE∥AD∴BDCD∵∠1＝∠2∴∠ACE＝∠E∴AE＝AC∴ABAC（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°∴AC=∵AD平分∠BAC∴ACAB=∴BD=∴AD=∴△ABD的周长=315．【答案】（1）解：①判断：△ABC是等边三角形．理由如下：∵∠ABC=∠ACB=60°∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB∴△ABC是等边三角形．②△EBD也是等边三角形，理由如下：如图1，连接DC则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD∴△ABE≌△CBD∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°∴在Rt△EDC中，tan∠CED=（2）解：如图2：连接DC∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°∴△ABC∽△EBD∴ABEB=又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD∴△ABE∽△CBD∴∠AEB=∠CDB=150°∴∠EDC=150°-∠BDE=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=3在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=23∴AE=CD·BE16．【答案】（1）证明：∵等边△PCD的边长为6∴PC=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°又∵AC=4，BD=9∴PC∵等边△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°∴∠PCA=∠PDB=120°∴△ACP∽△PDB；（2）解：∵△ACP∽△PDB∴∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．17．【答案】（1）(1)CM=2（2）解：结论成立，证明如下：如图（2）中，连接AE．∵AB=AC∴AE平分∠BAC∴∠CAE=∵DE∥AB∴∠ADE=180°−∠BAC=90°∵AD=DC∴AE=∵AM=∴AC∵∠PAM=∠CAE=45°∴∠CAM=∠EAP∴△CAM∽△EAP∴CMPE=∴CM=2（3）解：2或218．【答案】（1）相等；垂直（2）解：数量关系：DN=3BM，位置关系：如图：∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形∴∠BAD=∠MAN=9∴∠BAD−∠MAD=∠MAN−∠MAD∴∠BAM=∠DAN∵AB∴△ADN∽△ABM∴BM∴DN=3延长BM交AD于点O，交DN于点H∵△ADN∽△ABM∴∠ABM=∠AND又∵∠AOB=∠DOH∴∠OHD=∠OAB=90°，即（3）解：∵AB=2，AM=1，AB∴AN=分类讨论：连结MN．①如图：当MN位于AB上方时在Rt△MAN中，由勾股定理得MN=∴AB=MN又∵MN∥AB∴四边形ABMN是平行四边形∴BM=AN=∵DN=∴DN=3．②如图：当MN位于AB下方时，连结BN同理可得，四边形ABNM是平行四边形∴BN=AM=1，BN∥AM∴∠ANB=∠MAN=9又∠ANP=9∴B、N、P在一条直线上∴∠BPM=9∴BP=BN+NP=2，MP=AN=∴在Rt△BPM中，BM=∵DN=∴DN=21综上所述，DN的长为3或21．19．【答案】（1）24；（8，3）（2）证明：设点D的横坐标为m∴点D的坐标为(m∴k=6m∴反比例函数的解析式为：y=点E的坐标为(8∴AD=8−m∴AB∴AB即AD∴BC∥DE；（3）存在，点D的横坐标为37+1或20．【答案】（1）2；6（2）证明：∵∠EBF=∠ACB=45°∴∠CGN=45°+∠CBN=∠MBC∵AD∥BC∴∠AMH=∠MBC∴∠AMH=∠CGN∵∠MAH=∠GCN=45°∴△AMH∽△CGN；（3）121．【答案】（1）解：在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6∴AC=∵D是AB的中点∴AD=∵动点P从点A出发，沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒∴AP=2t，0≤t≤4若以点A、D、P为顶点的三角形与ΔABC相似，而∠A=∠A分两种情况：①当∠APD=∠C=90°时，ΔAPD∽ΔACB，如图1∴APAC解得t=2；②当∠ADP=∠C=90°时，ΔADP∽ΔACB，如图2∴APAB解得t=25故当t为2或258秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与ΔABC（2）解：由（1）知：当t=2时，∠APD=90°，当t=258时，∠ADP=90°，而∴当0<t<2时，∠APD为钝角，ΔAPD为钝角三角形；当258<t≤4时，∠ADP为钝角，故若ΔAPD为钝角三角形，则t的取值的范围是0<t<2或25822．【答案】（1）BE=CD；BE⊥CD（2）解：过点M作MF∥AC交BC于点F，如图2所示∴∠BMF=∠A=90°，∠MFB=∠C=45°∴MB=MF∵∠DME=∠BMF=90°∴∠BME=∠FMD又∵ME=MD∴ΔMBE≌ΔMFD∴∠MBE=∠MFD=45°∴∠EBD=∠MBE+∠MBF=90°故∠EBD=90°（3）解：取BC中点G，连接MG，如图3所示∵点M是AB中点∴MG为ΔABC的中位线∴MG∥AC∴BMG=90°∴BM=12BG=1∴又MD=∴∴又∵∠EMD=∠BMG=90°∴∠EMB=∠DMG∴ΔMEB∽ΔMDG∴∴BE=故BE的长为2323．【答案】（1）解：BE＝2CF，理由如下：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°∴∠ABC＝30°∴AC＝12∵BD＝13∴BD＝DE＝13AB，BE＝2∴AE＝13∵∠AFE＝90°，∠EAF＝60°∴∠AEF＝30°∴AF＝12AE＝1∴CF＝AC﹣AF＝13∴BE＝2CF；（2）解：①结论仍然成立，理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝60°∴∠BAE＝∠CAF又∵AC∴△ABE∽△ACF∴CF∴BE＝2CF；②△CEF是等边三角形，理由如下：∵B，E，F三点共线∴∠AEB+∠AEF＝180°∴∠AEB＝150°∵△ABE∽△ACF∴∠AEB＝∠AFC＝150°∴∠EFC＝150°﹣90°＝60°如图3，过点D作DH⊥BE于H∵BD＝DE，DH⊥BE∴BH＝HE∵BE＝2CF∴BH＝HE＝CF∵DH⊥BE，AF⊥BE∴DH∥AF∴BH∴HF＝2