b分析插值法上PPT学习教案

1、会计学1b分析插值法上分析插值法上badxxfI)(第1页/共62页第2页/共62页1)-(5 )(1nnonxaxaax2)-5 ( ),2, 1 ,0( )()(niyxfxiiin第3页/共62页)(xyny0yny2x0 x1x2xny1)(xfy 第4页/共62页246810 xy第5页/共62页第6页/共62页第7页/共62页nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa221011212110002020102)-5 ( ),2, 1 ,0( )()(niyxfxiiin第8页/共62页nnnnnnxxxxxxxxxA212110200111)det(。的插

2、值多项式唯一存在条件满足插值个节点互不相同只要这表明存在且唯一方程组的解行列式值不为互不相同时当行列式为范德蒙)25(,1,0, )()det(,de)(Vandermon10110nxxxxxAnniijji第9页/共62页第10页/共62页)()()(xxfxRnn 3)-(5 )()()()()()(11txxRttftnnnn0)()()()()()(11xxxRxxfxnnnn:)()(01显然其中njjnxtt第11页/共62页)()()()()()()1(11)1()1()1(txxRttftnnnnnnnn0)() 1(n)!1()( ,0)()1(1)1(nttnnnn t第

3、12页/共62页0)!1()()()()(1) 1() 1(nxxRfnnnn)()()!1()( )()!1()()(10)1(1)1(nnnnnxxxxxxnfxnfxR第13页/共62页4)-(5 )( )()!1()()()()(1) 1(a,bxnfxxfxRnnnn第14页/共62页)()(00)(,)(),( , )()!1()()()()(),45(),()(, 0,)1(1)1(xfxfnxfbaxnfxxfxRxfxnnnnnnn误差为则次多项式若为误差因为由误差估计式即此时误差为实际上第15页/共62页101011010010111011001001 )()(xxyyax

4、xxyxyayxaaxyxaax求解可得5)-(5 )(10101010011xxxyyxxxyxyx第16页/共62页x)(xfy )()(11xLxy6)-(5 )()(0010101xxxxyyyxN7)-(5 )(: 101001011yxxxxyxxxxxL还可由对称式得第17页/共62页1011001)()()()(iiiyxlyxlyxlxL) 1 , 0( , 0 , 1)( ijijixlji条件它们在插值节点处满足2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin01011010)( )(xxxxxlxxxxxl第18页/共62页7)-(5 )(1010

5、01011yxxxxyxxxxxL8)-(5 )()()()()( 202211002iiiyxlyxlyxlyxlxL可设1)(,0)(,0)(0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(221202211101201000 xlxlxlxlxlxlxlxlxlxx0 x1x2y(x)y0y1y2第19页/共62页)()(210 xxxxCxl)(11)(201000 xxxxCxl再利用)()()( 2010210 xxxxxxxxxl即)()()()()()(12021022101201xxxxxxxxxlxxxxxxxxxl )()()()()( :202211002iiiyxlyx

6、lyxlyxlxL于是第20页/共62页)2 , 1 , 0( 0 1)(ijijixlji节点处满足由于二次插值基函数在xx1x2)(xfy)(2xLyx0y2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin第21页/共62页jijixlji 1 0)(), 1 , 0( )()()()()()()(011101110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiiniii9)-(5 )()()()()(01100niiinnnyxlyxlyxlyxlxL第22页/共62页niiininnyxxxxxL011)()()()(可改写为于

7、是式求导可得记)105(, )()(:),()(0101nijjjiinnjjnxxxxxx10)-(5 )()(000 niniinijjjijiinyxxxxyxlxL第23页/共62页jijixlji 1 0)(), 2 , 1 , 0( )()(0nkyyxlxLnikikikn应有：4)-(5 )( )()!1()()(1)1(a,bxnfxRnnn第24页/共62页11)( )12()(01011010 xxxxxxlxxxxxxl312221111003306. 15 . 05 . 00082645. 021)5 .11(0082645. 01111)(ln,12111)(ln)

8、12)(11(! 2)(ln)(454414. 25 . 04849. 25 . 03979. 2)5 .11(5 .11ln5 .11)11(4849. 2)12(3979. 2)(75 RxxxxxxxRLxxxxL于是：故：之间与在，因为）得：按式（代入，即得：将）得：由式（第25页/共62页)12)(11(28245. 1)13)(11(4849. 2)13)(12(19895. 1 )1213)(1113()12)(11(5649. 2)1312)(1112()13)(11(4849. 2)1311)(1211()13)(12(3979. 2)(2xxxxxxxxxxxxxL2.44

9、2275 )5 . 0(5 . 028245. 1 )5 . 1(5 . 04849. 2)5 . 1()5 . 0(19895. 1 )5 .11(5 .11ln2 L所以：5222313113103938. 9 5 . 15 . 05 . 0101503. 061 )135 .11)(125 .11)(115 .11(! 3)(ln)5 .11(101503. 0112)(lnmax,2)(ln xRxxxx的误差为：因此用抛物线插值计算于是：因为清楚地可以知道。这从几何直观也要准确一些插值小，即抛物插值比线性比可看出从例查表可得：.)()(, 1442347. 25 .11ln12xRx

10、R第26页/共62页niiinxlLagrangenixlnxxx0101)(,), 1 , 0)(,1,试证明：插值基函数组节点上的为这个互异节点为设niiinyxlxL0)()(0)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnniinxfxlxL01)()()(第27页/共62页)()()(,),()()(1,11020102200101001011010 xxxxaxxaaxNxxxxxyyyxxaaxNnyyybxxxannn有如下形式：得二次插值多项式，并可如果增加一个节点时的函数值个节点设给定)()()( , , )(,)(,)/p>

11、01100222112002xxxxaxNxNxxxxyyxxyyaxxyyayayxNyxNyxN利用插值条件第28页/共62页 )()()()( 11)-(5 )()()()()( )()()()(1101020101020121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxaxxxxaxNxxxxxxaxNxN01011110000)()( ), 1 , 0()(xxyyayxNyayxNniyxNnniin由第29页/共62页0201011212120202010102222)(/()()(xxxxyyxxyyxxxxxxxxyyyyayxNn商的概念及其性质。先

12、介绍差这些系数能表示出来为了将，再由由,)(,)(3333nnnnnnaaayxNayxN第30页/共62页ijijjijijiijijiinxxxfxfxxfxxfxxxfxxxfxfxfyxxxxf)()(,),(,)()()(,)(,),(10即：记为也称均差的一阶差商关于点为称为零阶差商称为一系列互不相等的点设有函数ikjikjxxxxfxxf,0121012110,xxxxxxfxxxxfxxxfkkkkkk第31页/共62页020220121221010110)()(,)()(,)()(, ,xxxfxfxxfxxxfxfxxfxxxfxfxxf：我们可计算按上述定义0101121

13、202102102210)()()()(1,1,xxxfxfxxxfxfxxxxfxxfxxxxxf第32页/共62页,101010kkkxxxbxxxaxxxfkkjjjkikniikikxxxxxfxxxf010110)()()()(,其中明。一般情形可用归纳法证时：是显然的。当证明：当)()()()()()( )()()()()()()( )()()()()()()()( )()()()(,1,21120222101120100210102210111202220100010210221112022201000201011212102102210 xxxxxfxxxxxfxxxxxfxx

14、xxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxfxxxfxfxxfxxfxxxxxfkk第33页/共62页,kijjkikjiijjixxxfxxxfxxxfxxfxxf)()()()()(,11xPxxxPxxxxxfxfxxfniniiii第34页/共62页第35页/共62页,)(,.,)(,)(),(,)()()(001010210221010101100000nnnxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf等的部分，即得：然后相加并消去两边相将以上各式分别乘以：)()(

15、 ,),)(),( , 1110100nxxxxxxxxxxxx,)()( ,)()( ,)(,)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf12)-(5 ,)()( ,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN13)-(5 ,)( ,)()()(10121010nnnnnxxxxfxxxxxxfxxxxxxxR )()()(xRxNxfnn则：第36页/共62页), 1 , 0( 0,)( )(101nixxxxfxxRniinin ,)()(

16、)()(110101nnnnxxxfxxxxxxxNxN), 2 , 1(,10nkxxxfakk第37页/共62页 0,)( )(101 niininxxxxfxxR )()(, )(,)(,)()(21032101021001003xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN)()()(, )(3210432103xxxxxxxxxxxxxfxRi第38页/共62页),( )()!1()(,)( )(1n) 1(101baxnfxxxxfxxRnnnn14)-(5 !)(,)(10nfxxxfnnmin,min),(00iniinixx其中第39页/共62页10)(jjxx20

17、)(jjxx10)(njjxx第40页/共62页)12)(11(0035. 0)11(0870. 03979. 2)(2xxxxN2.442275 5 .05 .00035.05 .00870.03979.2 )5 .11(5 .11ln2 N所以：第41页/共62页1210)(kkx1310)(kkx4423522.2 )5 .1()5 .0(5 .05 .1000005.0)5 .0(5 .0 5 .100022.05 .05 .100415.05 .10953.03026.2 )5 .11(5 .11ln4 N所以：第42页/共62页可用,321xxxxf0000825. 05 . 15

18、 . 05 . 000022. 0)5 .11)(5 .11)(5 .11(,)(32143212xxxxxxxfxR近似00022. 0,4321xxxxf的近似值，,321xxxxf的近似值。)(2xR第43页/共62页),1 ,0( 1nkfffkkk第44页/共62页, , 2 , ,:, , , 122213021203121212120102232121010fffffffffffffffffffffffffffkkkkkk三阶差分一般可定义二阶差分利用一阶差分如)3 , 2( , ,11112110101mfffffffffkmkmkmkkkkkk1122011,kkkfffff

19、ffff第45页/共62页,:,22:),2(),(01111110101222101011221010021000201ffffffkffffffffffffffffffhxffhxffkkkkkk阶二阶则有若定义211211111kmkmkmkmkmkmffffff21211021122/3012/12/12/312/12/1002/102/302/1)2()2( , , , ,:)2(),23(),2(:kkkkkffhxfhxfffffffffffffffffhxffhxffhxff一阶记中心差分第46页/共62页第47页/共62页第48页/共62页第49页/共62页60. 0lnln

20、80. 0lnln40. 0lnln005103. 0)2(434344545441414xfxfxf65. 0ln27 . 06 . 0ln00750. 0 3321335323fff又如第50页/共62页kmkmkmbaf.)!(!)1()1(2332002114212321231212为二项式展开式的系数其中一般地：例如：jmjmCjmfjmffjmffffffffffffffffffffjmjkmjjkmjmkmjjkmkkkkkkkkkkkkkkkkkk第51页/共62页2422223434422:ffffffff例如22221221211121111122)(122)(1,)()(

21、,hfhffhhfhffhxxxxfxxfxxxfhfhfxxxfxfxxfkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk例如：2mkmkmmkmkmffff第52页/共62页15)-(5 ), 2 , 1( !1 !1,1mfhmfhmxxxfmkmmkmmmkkk16)-(5 )( ,!)(1mkkmmmkkkmkmxxfhxxxfhmf第53页/共62页)()(!)(! 2)(1 )()(,)(,)()(110010202000110100100nnnnnnxxxxxxhnfxxxxhfxxfhfxxxxxxxxxfxxxxfxfxN第54页/共62页17)-(5 !) 1() 1(!

22、2) 1()(002000fnntttfttftfthxNnn18)-(5 ),( )()!1()() 1( )()()!1()()(0) 1(110) 1(nnnnnnxxfhnntttxxxxxxnfxR第55页/共62页19)-(5 !) 1() 1(! 2) 1()(2nnnnnnnfnntttfttftfthxN20)-(5 ),( )()!1()() 1()(0) 1(1nnnnxxfhnntttxR第56页/共62页2) 1( tt2) 1( tt20)(! 31jjt20)(! 31jjt10)(!1njjtn10)(!1njjtn2) 1( tt20)(! 31jjt10)(!1njjtn第57页/共62页)1(2tt)1(2tt)2)(1(! 3ttt)2)(1(!