中国石油大学概率论-期末试卷答案及评分标准

1、中国石油大学概率论201 1- 2012期末试卷答案及评分标准 作者: 日期：2011 2012学年第一学期概率论与数理统计试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012 年1月3号页码一二三四五六七总分满分20151020121310100得分阅卷人备注：1.本试卷正文共7页；2 .封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3 .答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4 .最后附页不得私自撕下，否则作废.第1页共7页15.可能用到的数值(1.645) 0.95,(1.96) 0.975一、填空题(每空1分，共10分)|本页共20

2、分1 .设p(a) 0.4, p(aub) 0.7,那么若a, b互不相容，则 得|p(b) 0.3 ;若a,b相互独立，则p(b) 0.5 .分2 .设事件 a,b 满足：p(b|a) p(b | a) %, p(a) %，则 p(b)=5/93 .某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放 回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ;第三次才取得正品的概率为0.1 .4 .设随机变量x与y相互独立，且都服从区间0,3上的均匀分布，则 pmax(x,y) 24/9.5 .一批产品的次品率为0.1,从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期 望为 0.5、均方差为疝

3、45_.6 .设总体x p( ),xi,x2,l ,xn为来自x的一个简单随机样本，x为样本均 值,则 ex = _dx =_一一n二、选择题(每题2分，共10分)1.设 p(a) a, p(b) b,p(ab) c,则 p(ab)等于(b ).(a) a b (b) c b(c) a(1 b)(d) b a2.设随机变量x的概率密度为f(x)，且 f( x)f(x), f(x)是x的分布函数,对任意实数2有(b ).a(a)f( a) 10 f (x)dxf (x)dx(c)f( a) f(a)(d)f( a) 2f(a)3.设 x n(2,9), y n(2,1),e(xy) 6,则 d(

4、x y)之值为(b ).(a) 14(b) 6(c) 12(d) 44 .设随机变量x的方差为25,则根据切比雪夫不等式，有p(|x ex| 10)( c ).(a)0.25(b) 0.75(c) 0.75(d) 0.25第1页共7页5 .维纳过程是（a ）.（a）连续型随机过程（b）连续型随机序列（c）离散型随机过程（d）离散型随机序列本页共15分福分三、计算题（共6个题目，共45分）1.（10分）设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从中抽取1只产品，求：（1）取到的产品是次品的概率；（2）若已知取到的产品是正 品，它来自甲箱

5、的概率是多少？解：设a；a2分为来自甲乙箱；b为正品（1）崎关2 20（5分） p（a b）112/77/20（10 分）2.（5分）已知某种电子元件的寿命x （以小时计）服从参数为1/1000的指数分第2页共7页9布.某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工 作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？（4分）,1解：px 10001000志e*dx e1于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为（5分）3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某 计数数器，n (t)表示在0, t内到达计数器的粒子个数，试求:(1) n(t)的均值、方差、自

6、相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：en(t) 4t;dn(t) 4t;en(s)n(t) 16st 4min s,t本页共10分h_1(各一分，共三(2)平均间隔为1/4分钟（5分）分)4.(5分)设总体xn( , 2)的方差为1,根据来自x的容量为100的样本，测得样本均值x为5,求 的置信度为0.95的置信区间(写出过程). 一. x-解：由题知_4n(0,1)(2分)/ n于是由u0.975 1.96知置信区间为(4.804,5.196 )(5分)5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是

7、等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用 xn,n 0表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为p x(0) i 13，i 1,2,3.本页共20分h1求：(1) 一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵;(2) p x(0) 1,x(1) 2,x(2) 3 ;解：(1) 一步转移阵0101/3 1/3 1/31/3 1/3 1/ 3 步转移阵1/ 9 7/9 1/1(4分) p x(2) 2 .1/3 1/3 1/ 3(2)原式二1 1 4原式二16%1327(7分)(10 分)6.(10分)设随机变量x的概率密度为f(x) 2x，,j b,且ex2 1.0,其他求：(1) a,b 的。;(2) p|

8、x| 1.解：由 1 2xdx b2 a2; 1 ex22x3dx 丸b4 a4)aa解得a b第(6分)(2)原式二2xdx 1/2(10 分)四、(12分)f(x, y)设随机向量(x, y)的概率密度为ae(x 2y),x 0,y 00,其他求：(1)常数a ;(2)关于x、(3) z xy的边缘概率密度，并判断 2y的概率密度.解：(1) 1ae (x 2y)a/2;fx(x)(2)20e (x 2y)dyfy(y)e (x 2y)dxxe02e 2y0显然，独立(8分)fz(z)(x 2y)e dxdy(3)fz(z)x 2y zze0本页共12分h_1x与y是否相互独立;(2分)(

9、7分)ze00(12 分)五、(13分)已知分子运动的速度x具有概率密度4x2(-)2f(x)l，0x1,x2,x3,l ,xn为x的简单随机样本，求:(1)未知参数 的矩估计和极大似然估计；x 0,x 0.(2)验证所求得的矩估计是否为的无偏估计.解：(1)ex(与2dx(5分)? txl()f (为,(412)nn4xi23n i 1ein l 3nlnxi2 i 1ln(aaa 不含)d in l / d3nxi201mle、3nixi2 1(10 分) e? ex 2 2无偏 （13分）本页共10分分六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通 岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率 都是2/5.设x为途中遇到红灯的次数.求x的分布律、分布函 数、数学期望和方差.解：由题