材料力学 梁的内力

1、42 内力方程内力方程 内力图内力图 4-3 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图41 杆件的内力杆件的内力 截面法截面法 FFF F拉伸拉伸压缩压缩 I I 杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。 一、拉压杆的内力一、拉压杆的内力轴力轴力FFFmmFNPNPFFNx, 0; 0 拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为。II 扭转的概念扭转的概念 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。ABOmm

2、OBA扭转扭转： （两端面相对转过的角度）（两端面相对转过的角度） ，剪切角也称，剪切角也称。扭转的内力扭转的内力扭矩扭矩mmmTx一、扭矩一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的矩称为截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正负号按扭矩的正负号按来确定，即右手握住杆的轴线，来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。反之为负。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTm

3、xmT III 弯曲的概念弯曲的概念 1. 弯曲弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。3. 工程实例工程实例纵向对称面纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲二、平面弯曲 杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为曲后轴线弯成一条平面曲线，称为。在后几章中，。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。将主要研究平

4、面弯曲的内力，应力及变形等。三、简单静定梁三、简单静定梁悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁FABalFABFAxFAyFB ; 0 xF0AxF ; 0Am, 0 FalFBlFaFB ; 0yF, 0FFFBAylalFFAy)( 荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。PABal 将梁从将梁从位置截开，取左侧。位置截开，取左侧。xAFAyFsMx 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的偶。该力与截面平行，称为截面的，用，用Fs 表示之；该力表示之；该

5、力偶的力偶矩称为截面的偶的力偶矩称为截面的，用，用M 表示之。表示之。 剪力正负的规定：剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；正，反之为负； 弯矩正负的规定：弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。弯矩为正，反之为负。 FsFsFsFs MMMM剪力正负的规定剪力正负的规定弯矩正负的规定弯矩正负的规定 内力通过平衡方程计算。内力通过平衡方程计算。AFAyFsMx, 0; 0sAyyFFFAysFF , 0; 01xFMmAyxFMAy 计算梁内力的步骤：计算梁内力的步骤： 取整体，求支座

6、反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 将梁在要求内力的部位截开，选简单一将梁在要求内力的部位截开，选简单一側側作研究对象；作研究对象； 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画； 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0，求剪力，求剪力FS ； m= 0，求，求弯矩。弯矩。 扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤： 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩

7、；用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。侧，并在图上表出数值和正负号。 二、轴力图二、轴力图 一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆各截面的的轴力的图象称为杆各截面的的轴力的图象称为。 轴力图的画法步骤如下：轴力图的画法步骤如下： 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，

8、凡集中力作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。图时，截面轴力一定按正的规定来画。 按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。并在图上表出数值和正负号。例例1 画图示杆的轴力图。画图示杆的轴力图。kN60kN80kN50kN30 kN60kN30kN20轴力图轴力图kN60FN1kN60kN80FN2kN30FN3第一段第一段: 0 xF0601NFkNFN601

9、第二段第二段: 0 xF080602NFkNFN202第三段第三段: 0 xF0303NFkNFN303 例例2 长为长为l ，重为，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉力力P 作用，画该杆的轴力图。作用，画该杆的轴力图。lPxPxFN 轴力图轴力图0; 0 xPFFNxxlWPxPFNPFFxNNmin; 0WPFFlxNNmax;PP+W 例例3 画图示杆的轴力图。画图示杆的轴力图。ABCDkN3kN2kN2kN10kN4kN8 轴力图轴力图轴力图轴力图kN3kN8kN4kN6kN1kN1FABalFABFAxFAyFB ; 0 xF0AxF ; 0

10、Am, 0 FalFBlFaFB ; 0yF, 0FFFBAylalFFAy)( 荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。PABal 将梁从将梁从位置截开，取左侧。位置截开，取左侧。xAFAyFsMx 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的偶。该力与截面平行，称为截面的，用，用Fs 表示之；该力表示之；该力偶的力偶矩称为截面的偶的力偶矩称为截面的，用，用M 表示之。表示之。 剪力正负的规定：剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为使微段有顺时针转动趋

11、势的剪力为正，反之为负；正，反之为负；口诀：正剪力口诀：正剪力-左上右下左上右下 弯矩正负的规定：弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。弯矩为正，反之为负。口诀：正弯矩口诀：正弯矩-左顺右逆左顺右逆 FsFsFsFs MMMM剪力正负的规定剪力正负的规定弯矩正负的规定弯矩正负的规定 内力通过平衡方程计算。内力通过平衡方程计算。AFAyFsMx, 0; 0sAyyFFFAysFF , 0; 01xFMmAyxFMAy 计算梁内力的步骤：计算梁内力的步骤： 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 将梁在

12、要求内力的部位截开，选简单一将梁在要求内力的部位截开，选简单一側側作研究对象；作研究对象； 内力计算公式：左侧分析：内力计算公式：左侧分析： FS =（ ）- （ ）；）； M =（）（）- （ ） 右侧分析：右侧分析： FS =（ ）- （ ）；）； M =（）（）- （ ） 或按照截面法或按照截面法 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0，求剪力，求剪力FS ； m= 0，求求弯矩。弯矩。例例1 求图示梁求图示梁1、2、3、4截面的内力。截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解解：取整体，取整体，FAFB ; 0Bm01224qFFAkNFA511截面截面FA

13、11Fs1M1A ; 0yF ; 01m01sAFFkNFs5101M 由由1 1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩紧挨杆端截面的弯矩M=0。CP=12kN22截面截面FA22Fs2M2A ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs52022AFMmkNM.102FA33Fs3M3A33截面截面 ; 0yF ; 03m03PFFsAkNFs73023AFMmkNM.103ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBD2233PFs3M3Fs2M2 由由2、3 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得

14、如下结论： 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；右左MM 集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力发生突变，集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力发生突变，其值等于集中力（集中力以向上为正）。其值等于集中力（集中力以向上为正）。PFFss左右ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBC44M4Fs444 截面截面 ; 0yF ; 04m04sF04M 由由44 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论： 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ； 自由端无集中力

15、偶作用，端截面弯矩等于零：自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB例例2 求图示梁求图示梁1、2、3 截面的内力。截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解解：取整体，取整体， ; 0m0421mmFAkNFFBA311截面截面 ; 0yF ; 01m01sAFFkNFs31011mMFA11Fs1AM1m1mkNM.21FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm122截面截面 ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs320212ARmMmkNM.8233截面截面 ; 0yF ;

16、 03m03BsFFkNFs33023BFMmkNM.63FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m 由由2、3 截面的内力计算可得如下结论：截面的内力计算可得如下结论： 集中力偶作用截面的的剪力相等；集中力偶作用截面的的剪力相等；右左ssFF 集中力偶作用截面的的弯矩发生突变，其值等于集中集中力偶作用截面的的弯矩发生突变，其值等于集中力偶矩（集中力偶矩以顺时针转为正）。力偶矩（集中力偶矩以顺时针转为正）。mMM左右C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m例例3 求图示梁求图示梁1、2、3 截面的内力。

17、截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23m解：取整体解：取整体 ; 0Bm02461qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB1811截面截面 ; 0yF ; 01m, 01sAFFkNFs61, 021AFMmkNM.121FA11Fs1M1ABFA22Fs2M2Am22截面截面 ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs62022mFMAmkNM.24233Fs3M3FBq33截面截面 ; 0Y ; 03m033qFFsB03sF023333qFMBmkNM.273BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m3311 2FAFB23mq

18、xql-xlFs(x)M(x)图示梁任一截面的内力。图示梁任一截面的内力。 ; 0yF ; 0 xm0)()(xlqxFs)()(xlqxFs0)(2)(2xlqxM2)(2)(xlqxM 截面剪力是截面坐标的函数，称截面剪力是截面坐标的函数，称为为。 截面弯矩也是截面坐标的函数，称为截面弯矩也是截面坐标的函数，称为。qxl 剪力方程剪力方程 的函的函数图象称为数图象称为。正的剪力画在。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。基线上侧，负的画在下侧。 )()(xlqxFs剪力图剪力图,)0(qlFs0)(lFsqlxFs 弯矩方程弯矩方程 的函数图象称为的函数图象称为。2)(2)(xlqxMxM,

19、2)0(2lqM, 0)(lM, 0)()(xlqdxxdMlx ql2/2弯矩图弯矩图补充补充 剪力、弯矩与荷载集度间的关系剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxo 取微段取微段dx ，受力如图，受力如图。0)(d)(d)()(; 0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxq)(d)(dsxqxxFABdxx0;)(ioFm)(d)(dxFxxMs0)(d)()()(d(21)d(2xMxMxMxxqxxFs略去高阶微量得略去高阶微量得：)()(d)( sd22xqdxxMdxxFq(x)M(x)+d M

20、(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)dxo 当当q = 0 ，Fs =常数，常数， Fs 图为平直线；图为平直线； M 为一次函数，为一次函数，M 图为斜直线；图为斜直线； 当当q =常数常数 ， Fs为一次函数，为一次函数， Fs 图为斜直线；图为斜直线； M 为二次函数，为二次函数，M 图为抛物线；图为抛物线； 当当M 图为抛物线时，画图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点的位置图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。和顶点的弯矩值。由：由：0)()(xFdxxdMs 可知可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。 根据根据M、Fs与与q之间的

21、关系，可不必列剪力方程和弯矩之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。方程，即可画出剪力图和弯矩图。 根据根据M、 Fs与与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；两端，支座处都应取作分段点； 用公式法或截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩用公式法或截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由由M =ql2/8确定弯矩抛物线中点所对应截面

22、的弯矩值；确定弯矩抛物线中点所对应截面的弯矩值； 用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩弯矩 连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值。弯矩值。例例4 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FAFB34m11解：取整体解：取整体 ; 0Bm02461qmFAkNFA6 ; 0yF04 qFFBAkNFB18Fs图图M图图FsM1234=00BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18

23、kN34m11Fs图图M图图FsM12345=00FA22Fs2M2A ; 0yF ; 02m02sAFFkNFs62022AFMmkNM.12266612BFs图图M图图FsM1234=00 ; 03m023mFMAmkNM.24366-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB ; 0yF04BsFFkNFs1846FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kN34m11BAC2mm=12kN.mq=6kN/m4422 3FA=6kNFB=18kN34m11Fs图图M图图FsM12345=0066-181224B66kN18kN 3m5555Fs5

24、M5FBq ; 05m023335qFMBmkNM.27502712kN.m24kN.m27kN.mB例例5 画图示梁的剪力图和弯矩图。画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m6622 3FAFB32m11解：取整体解：取整体 ; 0Am05226qFFBkNFB7 ; 0Y04qFFFBAkNFA5Fs图图M图图FsM12345=002mB44 55D6=AC2mP=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs图图M图图Fs M12345=002mB44 55D6=5-75 ; 03m023AFMmkNM.103FA33Fs3M3AP ; 0yF0

25、QPRAkNFs1-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m6622 3FA=5kNFB=7kN32m11Fs 图图M图图FsM12345=002mB44 55D6=5-75 ; 04m0244PRMAmkNM.84RA44Fs 4M4AP-1-1-11010 5kN1kN7kN 10kN.m8kN.m88例例6 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：解：取整体，取整体，FB ; 0Bm0242qPmAmkNmA.8mA ; 0yF04 qPFBkNFB12Fs图图M图图Fs M1234=008

26、44ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs图图M图图Fs M1234=00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2 ; 0yF ; 02m02PFFBskNFs82022 PMmkNM.82-8-8-8 4kN8kN 8kN.m8kN.mCB例例7 画图示梁的内力图。画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：解：取整体，取整体，FAFC ; 0Am03696qFmFCkNFC5 . 6 ; 0yF06 qFFFCAkNFA5 . 24455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)ABCD3m4m2mP=

27、3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs 图图M图图(kN)(kN.m),5 . 21kNFs,5 . 132kNFFss,5 . 34kNFs,365kNFFss2.533.5 ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 , 061 MM,.954mkNMM ; 03m02443mqFMAmkNM.43FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC =6.5kN4455m=6kN.mFs图图M图图(kN)(kN.m)2.533.5 ; 02m02442qFMAmkNM.22FA22Fs2M7Aq9422.5m ; 07m025. 15 . 25 . 27qFMAmkNM.125. 37FA77Fs7Aq773.125M2 83 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/l FA=ql/2FB=ql/2Fs图图M图图m/lmql/2ql/2ql2/8m/l+ ql/2m/l- ql/2mql2/8=+=MmaxPmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/l RA=P/2FB=P/2Fs