高考数学北师大(理一轮复习课件82空间几何体的表面积与体积

1、随堂巩固8.2空间几何体的表面积与体积知识梳理1 多面体的表（侧）面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.柱、锥、台的侧面展开图及侧面积公式知识梳理3柱、锥、台和球的表面积和体积表面积体积柱体（棱柱和 圆柱）S表面积二S侧+2S底v= ish锥体（棱锥和 圆锥）S表面积二S侧+S底V=4tiR2台体（棱台和 圆台）S表面积二S侧+S上+S下V今（S上+s下+ Js上s下加球S 二Shu二阮疋知识梳理常用结论1与体积有关的几个结论(1) 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2) 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积

2、相等.2长方体的外接球(1) 球心:体对角线的交点.(2) 半径:r=-a2+ (u,Z?,c为长方体的长、宽、高).3正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1) 外接球:球心是正四面体的中心;半径为正四面体的棱长).(2) 内切球:球心是正四面体的中心;半径r=-a(a为正四面体的棱长).丄J随堂巩固考点自诊1 判断下列结论是否正确，正确的画“*错误的画“XI(1) 如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这 个圆柱的侧面积是2tiS. ( X )(2) 设长方体的长、宽、高分别为2,“,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为3皿3( X )(3) 若

3、一个球的体积为4靖兀,则它的表面积为12兀(J )(4) 在4 ABC 中二 3,ZABC二 120，使厶 ABC 绕直线 BC 旋转 一周所形成的几何体的体积为9兀(马锥的侧面，则圆锥的表(5)将圆心角为罟，面积为3兀的扇形作为 面积等于4兀(V )2. （2018山东春季联考,19）已知矩形ABCDAB二2BC，把这个矩形分 别以AB、BC所在直线为轴旋转一周,所成几何体的侧面积分别记 为SgS/iJSi与S2的比值等于（B ）A.? B.l C.2D.4解析:设 BC=ayAB=2a,所以 S i=27i（2a）-a,S2=2Ti（a）-2a,.:S2=1 /I,故选B3. （2018全

4、国1,文5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为0,。2,过 直线002的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆 柱的表面积为（B ）A. 1 2a/2 7iC.8V2tiD. IO71解析:过直线01。2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面, 设底面半径为人母线长为人因为轴截面是面积为8的正方形，所 以2r=Z=2V2zV2，所以圆柱的表面积为2兀刃+2兀厂2二8兀+4兀二12兀.4.（2018河北式邑中学四模，7）如图,网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为A.4kB.4V3KD争解析:由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABC

5、D是边长 为2的正方形，且PA丄底面ABCD,PA=2.几何体放在边长为2的 正方体中fA,B,C,D恰好是正方体的五个顶点，所以正方体的外接 球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为 討22 + 22 + 22 = VI所以几何体外接球的体积为.(V3)3=4V3k. 故答案为B.5.（2018辽宁大连调研,14）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图则剩余部分与挖去部分的体积之比为1T 俯视解析:由三视图可知半球的半径为2,圆锥底面圆的半径为2,高 为2,所以V =-X7ix23=-7i,V半球=空x -7ix23=K,所以V剩余=1/半球-V圆 锥=兀,故剩余部分与挖

6、去部分的体积之比为1 .T.考点1考点2考点3空间几何体的表面积例1（1）（2018河南模拟,9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为（A ）1 / I I；LLA.34+4V2B.34+2V2C.32+4V2D.36+2V2（2）（2018河南一模,6）九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马二若某“阳马啲三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长 为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（C ）主视图左视图俯视图A.1+V2B.1+2V2C.2+V2D.2+2V2解析：(1)由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一

7、个直四 棱柱挖去一个直三棱柱，该几何体的形状如图所示，1于是 S 左右=(2x2)x2=8，S t=(4x2-x2x 1)x2= 14,乙S 前=4x2二&S 后=(1 x2)x2+(Vr2x2)x2=4+4V2,所以表面积 5=8+14+8+(4+472)-34+472,故选 A.| II II II考点1(2)由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示;主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,故四棱锥的底面是正方形，且边长为1,其中一条侧棱PD丄底ABCD,且侧棱 AD=l,四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA二四棱锥的表面积为S二S abcd+2Spad+2Spa

8、b=1 +2xx 1 x 1 +2xx 1 xV2=2+V2,故选 C. 乙La思考求几何体的表面积的关键是什么？解题心得1以三视图为载体考查几何体的体积，解题的一般思路是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体 中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.2 求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征，确定 得到计算体积所需要的几何量.3计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高.4注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等，它们 是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.对点训练1（1）（2018东北师范大学附属中学五模,7）

9、个几何体的 三视图如图所示，其中主视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（C ）主视图俯视图A.2+(5 +1)兀C.2+(齐)（2）（2018广东深圳二模,6）个几何体的三视图如图所示,其中俯 视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（A ）主视图 左视图俯视图A.1671 B.14 兀（212兀D.8兀解析：（1）由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底 面半径为厂=1,圆锥的高心2,其母线长Z=V12 + 22 = V5,该几何体 的表面积为：5=|x7ixl2+ix7ix 1 xV5 + 斗x2x2二2+（f +兀故选 C.乙乙乙乙乙（2）由三视图知:几何体是球

10、体切去扌后余下的部分，球的半径为12,几何体的表面积S二（q）x47ix22+7ix22=16兀故选A.考点2空间几何体的体积（多考向）考向1公式法求体积例2（2018四川成都诊断，8）某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:。11?）是（C ）主视图左视图俯视A.2B.4C.6D.8解析:由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，其中棱1柱的高为2,底面积为z X（1+2）X2二3,可得几何体的体积为 V二 3X2 二 6,故选 C.思考由三视图求解几何体体积的解题策略是什么？解题心得1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥 体或台体，则可直接利用公式进行

11、求解.2.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换 法、分割法、补形法等方法进行求解.3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体 的直观图，然后根据条件求解.对点训练2（2018黑龙江仿真模拟（十）,8）在四棱锥P-ABCD中， 丄底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB,该四棱锥被一平面截 去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分 解析:由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P-ABCD被平面 QBD截去三棱锥QBCD（Q为PC中点）后的部分，连接AC交于体积的比值为（B ）左视图1 -21 -4 1-31-5 1O,连接 O0侧 OQ/PA

12、 OQ=-PA,、 1 11 11设 PA-AB-a.贝H Vp-abcd-36/3q-bcd=- x -a2x-a=a3,剩余部分的体积为:3-3=3,则所求的体积比值为:脅=+ 故选B.4U考向2割补法求体积例3(2018广东广州调研，已知E,F分别是棱长为的正方体 ABCD.AXBXCXD的棱人A/G的中点，则四棱锥CB、EDF的体积 丄3为訐 解析：（方法一）如图所示涟接交于点, 连接BQ,EF,过点0作丄BQ于点E因为 EFIIAG，且 A1C&平面 BEDFJEF 平面 B、EDF,所以ACII平面BXEDF.所以G到平面BXEDF的距离就是AC到平面BXEDF的距离.易知平面BX

13、DXD丄平面BEDF,又平面BXDD平面BEDF=BQ,所以0丄平面B、EDF、 所以OH等于四棱锥CBEDF的高.CiBDxBD6所以 VCr-BrEDF =四边形 BEDF=-x- y/2a-/3a-a=a3.32661 IOH=2x专EFBDOH因为 BQiH-ABiDD 所以OiHSDDl =空么（一题多解）连接EFbD.设b到平面CiEF的距离为加Q到平面CiEF的距离为也 则 hi+h2=BDi=y/2a由越思倚 V四棱锥cBEDF = 冬棱锥B1-C1EF + 冬棱锥DCEF=3SgeF（加+力2）二孑？思考割补法求体积适用于何种题型？割补法的割补原则是什么？ 解题心得1.当一个

14、几何体形状不规则时，无法直接运用体积公式 求解,一般通过分割和补形将原几何体分割或补形为较易的能利 用公式计算体积的几何体,从而求得原几何体的体积.2 割补法的原则是将不易求体积的几何体转化为易求体积的几个几何体，但要根据题意仔细分割，一般分割为已知底面面积或高易求的几个简单几何体，以免分割的几何体求不出体积.对点训练3（2018山东沂水一中三模，9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（D ）A.V24D3(2)(2018黑龙江哈尔滨六中押题(一)，8)如图为一个多面体的三视解析：（1）由三视图知，几何体是直三棱柱截去两个相同的四棱 锥后余下的部分，如图：直三棱柱的侧棱长为2匹，底面

15、三角形的底边长为匹，底边上的 高为1，截去的四棱锥的高为1，:几何体的体积 V=l x V2x 1 x2V2-2x| xx V2x 1故选D.(2)如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，11 1 1:该多面体的体积为 V=23- x 7X 12x2- x1 x2x2=7.故选B考向3等体积转化法求体积例4（2018河北阜城月考,5）在直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为/点。是CG上任意一点，连接A15B041DAD则三棱 A-A.BD的体积为（B）解析:由条件可得点B到侧面ACCiAi的距离为乙即三棱锥B AAD的高为冷a乙-VA-AXBD = VB-AAXD = | * SLAAD

16、 线号（昇）%线|只选 B-思考等体积转化法适用于什么题型？解题心得1等体积转化法适用于三棱锥体积的求解，若题目条件 所给的棱锥的底面和高不易求,则考虑转化为底面和高易求的方向 求解.2此法利用原理:Va-BCD= B-ACD= C-ABD D-ABC对点训练4（2018北京丰台区期中,5）如图所示，在边长为2的正方形纸片 ABCD中4C与相交于O,剪去 A05将剩余部分沿O CQD折叠,使OAQB重合，则四面体D-AOC的体积为（A ）A空J3解析:折叠后的四面体如图所示，其中OA.OC.OD两两垂直， 则 OA=OC=OD=/2AD=ACCD=2.、 1:该四面体的体积 Vdaoc= Vo

17、adc=-Scod-OA=-x(- X y/Z X y/2)x/2 .故选 A.A0考向4组合体的体积求解例5（2016山东，文5改编）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如下图所示，则该几何体的体积为（C ）1 XT23V2- 6+ +1-31-3 A C1 -3 1 B DV2-3血+解析:由三视图可知，四棱锥为底面边长为1的正方形，高为1.其体积 Vi=|xl2xl=|.设球的半径为因为四棱锥的底面是半球底面的内接正方形, 故 2R=y/2,即 R=琴.乙3所以半球的体积为令X争3今X寻x（爭）=字. 故该几何体的体积为V=Vi + V2= + .故选C.3 6思考组合体的体积如何

18、求解？解题心得组合体的体积，一般是利用分割法将其分割为几个常见 的简单几何体的体积求解.对点训练5（2018湖北荆州统考，9）如图，网格纸上的小正方形的边 长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,其中俯 视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是oB.2ti+|D.871+8A 2tt 、 a-t+C.271+8解析:由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由两部分组成，左边 是四分之一圆柱，圆柱底面半径为2,高为2,则体积为ix7rx22x2=27i, 右边是四棱锥，四棱锥的底面是棱长为2的正方形，高为2,则体积为 |x22x2=|,故这个几何体的体积为2兀+扌,故选

19、B考点3球及其与球有关的切、接问题例6（2018黑龙江统考（二），9）已知三棱锥在底面中,ZA=60, ZB=90,BC=V3,PA丄平面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的体积为（A ）D.871A.讐B .4V3tiC.字解析:设BC外接圆半径为人设三棱锥P-ABC的外接球半径 为R,设AABC外心为O, :三棱锥P-ABC底面 ABC中，ZA二60。， BC=y/3, :由正弦定理得2厂=2/= 1，即OA = 1丄面ABC,PA=2,球心 到AABC的外接圆圆心的距离=1,故球的半径尺=匹,故三棱锥 P-ABC外接球的体积V冷兀（返）3二攀r,故选A.思考如何求解球的表面积、体积及与

20、球有关的切、接问题中的 表面积、体积问题？解题心得1求解球的表面积、体积问题的关键是求出球的半径， 一般方法是依据条件建立关于半径的等式.2. 多面体的外接球和内切球问题，其解题关键在于确定球心在多 面体中的位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系, 结合原有多面体的特性求出球的半径,然后利用球的表面积和体积 公式进行正确计算.常见的方法是将多面体还原到正方体或长方体 中再去求解.3. 球的截面问题,首先需理解两个基本性质:球的任何一个截面都 是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面然后利用性质解 三角形求出球的半径.对点训练6 （2018黑龙江统考七模,6）如图ABCD-AXBX

21、CXDX是边长为1的正方iS-ABCD是高为1的正四棱锥，若点SdiQCQ在同一 个球面上，则该球的表面积为（A 9A 花兀 r 49D)C-1671解析:如图所示涟接4160*1，交点为M,连接SM,易知球心0在直线SM上，设球的半径R=OS=x、在RtZkOMQ中,S由勾股定理有QM+BiM2二B1O6即：（2讥）2+（学）2=/解得则该球Zo要点归纳小结J1 求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决.2 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面.3 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真 分析图形，明确切点和接点的

22、位置,确定有关元素间的数量关系，并 作出合适的截面图.易错易混1求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错.2 由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误.3易混侧面积与表面积的概念.()数学文化与立体几何典例1算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困 盖的术:置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给 岀了由圆锥的底面周长厶与高方,计算其体积V的近似公式W訥. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取为3那么，近似公)355*113答案:B解析:由题意,L

23、=2jir,即厂=命，圆锥体积刼內二刼.(/) h=-h-Lh,故忌知噜故选典例2九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺问:积及为米几 何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分 之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放 的米各为多少? ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估 算出堆放的米约有（）已、A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛答案:B解析:设底面圆半径为R,则米堆底面弧度为i-27i/?=8,-R=- =16 学米堆的体积为V=lxix3x（y）2x5=立方尺

24、, 堆放的米约为厝需22（斛）.典例3我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺 数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当 于给岀了已知球的体积匕求其直径的一个近似公式和人们 还用过一些类似的近似公式根据71=3.141 59判断，下列近似公式 中最精确的一个是()答案:D解析:由v= (#)3得d=蔣.设选项中的常数为常则可知字兀 选项A代入得穿=3.375,选项B代入得专二3,选项C代入可知lo2鸯訐=3.14,选项D代入可知竽二3.142 857,故D的值接近真实的 值，故选D.典例4我国南北朝时期伟大的数学家祖眶提出了著名的祖眶原 理:“幕势既同，则积不容

25、异” “幕”是截面积，“势”是几何体的高，意思 是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体 积相等已知某不规则几何体与如图所示的三视图所对应的几何体满足“幕势同冷则该不规则几何体的体积为（）A . TTA.4-C&71答案:C4ttB.8-yD.8-2ti主视图TI1III左视图2 !III俯视图解析:由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，U正方体 =2?二&U半圆柱二尹以1?)2=兀所以三视图对应几何体的体积V=8-n.根据祖日恒原理，不规则几何体的体积Vf=V=S-n.典例5（2018湖南长沙三模，6）我国古代数学名著数书九章 中有“天池盆测雨题，题中描绘的器

26、具的三视图如图所示（单位:寸）. 若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这天 该地的降雨量约为（注:平竺門量等于器具中积水除以器具口面积 参考公式:V二扌（S I+S下+Js上S下）人其中S I ,s下分别表示上、下底面 的面积力为高）（）主视图左视图A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸答案:A解析:如图，由三视图可知，天池盆上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸，:积水深6寸，1:水面半径为*12+6）=9（寸），B则盆中水的体积为x6（62+92+6x9）=342ti（立方寸）， :该地降雨量等于卫竺=2（寸），故选A.TTX12反思提升几个例题很好地诠释了考纲中对数

27、学文化内容的 要求，加强对中国优秀传统文化的考查，引导考生提高人文素养、 传承民族精神，树立民族自信心和自豪感，试题的价值远远超出试 题本身以中国古代数学典籍、九章算术、祖眶原理为背景， 考查几何体的体积、三视图及体积计算不仅检测了考生的基础知 识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化.（二）简单几何体的内切球与外接球问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类 问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的 确定是关键.1. 外接球的问题(1) 必备知识：简单多面体外接球的球心的结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2:正棱柱的外

28、接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线 的中点.结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找 到.构造正方体或长方体确定球心.用球心O与截面圆圆心0的连线垂直于截面圆及球心0与 弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.(2) 方法技巧:几何体补成正方体或长方体.2. 内切球问题(1) 必备知识：内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体 各顶点的距离均相等. 正多面体的内切球和外接球的球心重合. 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.(2) 方法技巧:体积分割是求内切球半径的通用做法.3 典例剖析典例

29、1已知A,B是球0的球面上两点，乙403= 90 ,C为该球面上的 动点若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）A.3671 B.64 兀 C. 14471 D.256兀答案:C解析:由ZkAOB面积确定，若三棱锥0-ABC的底面OAB上的高最大，则其体积才最大因为高最大为半径尺所以VgBC二X7?二36,角牟得二6,故S球二4兀/?2二144兀.扌X *疋典例2（2018山西太原三模，7）下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的外接球的表面积为（A.51TTC.41 兀D.3171)答案:C解析:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD方体的棱长为44Q为棱的中点，其中BO=4y/2,CO=4. 根据几何体可以判断:球心应该在过AQ的平行于底面的中截面上， 设球心到截面