机械振动基础专业知识讲座

1、本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 1 图示机构图示机构(13-16.swf)，物块质量为m，用不计 质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度 系数为k，质量不计。滑轮的半径为R，转动惯量为J。 不计轴承摩擦。 试建立: 系统的运动微分方程。 例例12-11 12-4 功率功率方程机械效率 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 d dt ? ? ? 解： 设弹簧由自然位置(原长)伸长任一长度 s。 滑轮 ， ?物块 ， s sR? 则有： d , d

2、s Pmg t ? 重力 v ? 22 11 22 TmvJ? 12-4 功率、功率方程、机械效率 d d s Pks t ? 性力 - 弹 s ? s mg v d d s v t ? 其中， 1 d d s Rt ? 2 2 1d 2d Js Tm tR ? ? ? ? F 0 l 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 d d T PP t ? 重力弹性力 代入功率方程， 2 22 dd dd dd dd Jss m tRt ss mgks tt ? ? ? ? ? 即 2 22 d d Js mksmg Rt ? ? ?

3、? 整理，得 相对于坐标 s 的运动微分方程为： 12-4 功率、功率方程、机械效率 系统自由振动微分方程 v ? s ? s mg v F 0 l 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 F v ? s ? s 平衡位置 以平衡位置为参考点， 物体下降 x 时弹簧的 伸长量为： 0 sx? 令系统平衡时弹簧的伸长量为 ， 0 ? 则 。 0 mgk? 2 22 d 0 d Jx mkx Rt ? ? ? ? 即 系统自由振动微分方程 mg 0 ? x 0 ? 0 l x 2 22 d d Js mksmg Rt ? ? ? ?

4、对坐标 s 的运动微分方程： 代入上述方程中，得 2 22 0 d d Jx m Rt mgkkx? ? ? ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 5 2 22 d d Js mksmg Rt ? ? ? ? （1）相对于弹簧原长伸长s，系统的运动微分方程为： 13-4 功率、功率方程、机械效率 （2）相对于系统平衡 状态伸长x，系统的运 动微分方程为： 2 22 d 0 d Jx mkx Rt ? ? ? ? F v ? s ? s mg 平衡位置 0 ? x 0 ? 0 l x 本文档所提供的信息仅供参考之用，不

5、能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 6 05101520 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 时间 振 幅 小阻尼振动曲线 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 7 主要内容主要内容 1、机械振动概述； 2、单自由度系统的 无阻尼自由振动； 3、单自由度系统的 有阻尼自由振动。 机械振动基础 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 8 第一节 机械振动概述 机械振动基础机械振动基础 本文档所提供的信息仅供参考之用，

6、不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 9 1.1 机械振动概述 振动是是自然界中常见的现象！ 1.1 机械振动概述 ? 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 ? 汽车、火车、飞机及机械设备的振动 ? 家用电器、钟表的振动 ? 地震以及声、电、磁、光的波动等 ? 股市的升跌和振荡等 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 10 ?振动的严格定义 ：围绕某一固定位置来回往复运 动，并随时间变化的运动。 ?机械振动：力学量随时间的变化来回往复地运动。 振动 ？ 机械振动？ 1.1 机械振动概述 本文档所提供的

7、信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 11 ? 运载工具的振动； ? 噪声； ? 机械设备以及结构的破坏； ? 地震； ? 降低机器及仪表的精度。 振动的灾害振动的灾害 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 12 ? 琴弦振动； 振动的利用振动的利用 ? 振动沉桩、振动拔桩 以及振动捣固等 ; ? 振动压路机; ? 振动成型机、给料机等。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 1.2 振动系统 振动系统: 可以产

8、生机械振动的力学系统。 任何具有弹性和惯性的力学系统均可以产生机械振动。 振动系统的三要素: 激励、系统和响应 1.2 振动系统 系统系统 激励激励 输入 响应响应 输出 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 14 振动系统 激励（输入） 响应（输出） 已知：外界激励和系统参数， 1响应分析 ? 1.3 振动系统的三类问题 求：系统的响应。 位移、速度、加速度等 1.2 振动系统 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 15 2系统设计和系统辨识 系统已经存在，需要

9、根 据测量获得的激励和响 应识别系统参数，以便 更好地研究系统的特性. 系统尚不存在，需要设 计合理的系统参数，使 系统在已知激励下达到 给定的响应水平. 1.2 振动系统 振动系统 激励（输入） 响应（输出） 求: 系统参数。 ？ 已知: 系统的激励和响应 ; 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 16 振动系统 激励（输入） 响应（输出） 3环境预测 已知: 系统参数和系统响应， 确定: 系统的激励. ? 1.2 振动系统 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。

10、 17 ? 振动的物理模型： （1）单自由度系统； （2）多自由度系统； （3）连续体系统。 ? 振动的分类（按振动产生的原因）： （1）自由振动： （2）受迫振动： 1.3 振动模型与分类 自由度 :确定系统在振动 过程中任何瞬时的几何位 置所需的独立坐标的数目 . 1.3 振动模型 系统在持续外激励作用下的振动。 系统仅受初始激励产生的振动； 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 18 第二节 单自由度系统的无阻尼自由振动 机械振动基础 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本

11、人或网站删除。 19 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 ?自由振动：系统仅受到初始条件（初始力、初 始的位移）的激励而产生的振动。 ?系统的无阻尼自由振动 是对实际问题的理论抽 象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。 如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世 界将处于无休止的振动中。 2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 20 Fig.1 单自由度系统无阻尼自由振动模型 l0 st k m m O x 2.1 振动模型 m m mg F xm m x k m m m m

12、g F N x m x O F 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 21 2.2 振动微分方程 以静平衡位置为坐标原点， 由牛顿第二定律，有 ? st ,Fkx?其中， st .mgk? m xm gF? （*） mxkx? ?（*）式简化为： 0 k xx m ? 即： 令： 2 n k m ? 则： 2 n 0 xx? 单自由度无阻尼 自由振动的微分方程 ，固有圆频率 n ? l0 st k m m O x m m mg F xm m x Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型 2

13、单自由度系统的无阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 22 2.1 振动微分方程 2 n k m ? 固有圆频率 2 n 0 xx? 单自由度无阻尼 自由振动的微分方程 方程的解： ? ? 1n2n cossinx tCtCt? 其中， 为积分常数，由运动初始条件确定。 12 ,C CA? 简谐振动 或 ? n sinx tAt? 位移可以表示为时间的简 谐函数（正弦或余弦） l0 st k m m O x m m x 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文

14、档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 23 三角公式推导 ?根据三角函数公式 1n2n 22 12 12nn 2222 1212 cossin (cossin) xCtCt CC CCtt CCCC ? ? ? ? ? 12 2222 1212 sincos CC CCCC ? ? , 令： 22 12nn 22 12n (sincoscossin) sin() xCCtt CCt ? ? ? ? 则： 22 12 CCA?, 令： n sin()xAt? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 24 2 单自由度系统的无阻尼

15、自由振动 2.2 振动的特点 ? 周期函数： ? ?,xtxtT? ? 周期，单位为秒（s ）。 :T ? 频率，单位为赫兹（Hz）。 1/:fT? 单位时间内振动的次数。 ? ：表示 秒内振动的次数。 2? n 2f? n , k m ? ，系统的固有圆频率。 n ? 圆频率 ? n sinx tAt? 2.1 振动微分方程： n 2 T ? ? ? 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 25 ? 振幅： A相对于振动中心O点的最大位移。 ? 相位（相位角）： ? n t? ? 初相位： ?

16、说明： 为待定积分常数，由初始条件确定。 ,A? 2.2 振动的特点 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 ? n sinx tAt? 2.1 振动微分方程： 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 初始 条件 0 x 0 v ? 0 sin t xtA? ? ? ? n 0 cos t x tA? ? ? 2 20 02 n v Ax ? ? n0 0 tan x v ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? 质点的速度与加速度： ? ? ? nn cosv tx tAt? ? ? ? ? 2 nn sina tv tx tAt

17、? ? 2.2 振动的特点 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 ? n sinx tAt? 2.1 振动微分方程： 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 26 v t a 2 4 6 8 10 12 14 -1 -0.5 0.5 1 Fig. 2 v x a 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 27 练习1 图示的弹簧质量系统，已 知：弹簧的刚度系数为k，质 量块的质量为m，将质量块缓 慢向下移动a0后，在t=0的时 刻突然放开。 试求质量块的运动规律。 m Fig. 3 k m m O x a0 2 单自由度系统的无阻尼自由振动

18、本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 28 ?无阻尼自由振动 : 惯性体由于任何外力原因离 开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复 力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有 频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。 ?有阻尼自由振动 : 对于实际的振动系统，由于 不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能 不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以 致最后振动完全停止。 2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿

19、。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 29 第三节 单自由度系统的有阻尼自由振动 机械振动基础 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 30 3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型 Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型 l0 st k m m O x m m x Fig.4 单自由度系统有阻尼自由振动模型 m O x m x c k c k m 阻 尼 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 31 Fig.4 单自由

20、度系统 有阻尼自由振动模型 m O x m x c k 1. 阻尼 ：振动过程中的阻力。 介质间摩擦力引起的介质阻尼； 材料变形产生的材料内阻尼； 接触面摩擦产生的摩擦阻尼； 电磁作用产生的电磁阻尼。 我们将要讨论的我们将要讨论的阻尼类型： 粘性阻尼： Fv? c , c （粘性）阻尼系数。 3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 32 Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型 m O x m x c k 3.2 振动微分方程 cFx 2 .? m m

21、 mg F 1 ,x x F 2 以静平衡位置为坐标原点， x 轴向下为正，有 12 mxmgFF?（*） mxkxcx? ?（*）式简化为： 0 ck xxx mm ? 整理上式： 令： 2 n ,2 kc n mm ? 则： 2 n 20 xnxx? st ,mgk? ? 1st ,Fkx?其中， 单自由度有阻尼 自由振动的微分方程 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 33 Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型 m O x m x c k ? 振动微分方程的解 2 n 20 xnx

22、x? 微分方程的解设为： ， st xe? 该特征方程的两个根为： 22 1n 22 2n snn snn ? ? ? ? ? ? 故微分方程的通解为： 12 12 stst xC eC e? 特征方程可以有三种情况：（1）两个不等的负实根； （2）两个相等的负实根； （3）一对共轭复根。 22 n 20sns? 系统的特征方程为：系统的特征方程为： 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 34 临界阻尼系数临界阻尼系数 ?使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值， 称为临界阻尼系数（ critic

23、al damping coefficient ）记为 ， c c 2 c cmn? 特征方程的两个根为： 2222 1n2n ,snnsnn? ? ? 2 n , 2 kc n mm ? 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 2 mk? n 2m? c c 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 35 阻尼比 阻尼比, 又称相对阻尼系数。 无量纲, 是一个重要的振动参数。 c c c ? ，表征一个振动系统阻尼的大小 ： ? 2 n k m ? n n ? ? 2 c cmk? n 2 c m? ? 2 c

24、 n m ? 2 c mk ? 1? 1? 1? ，表示大阻尼/超临界阻尼/强阻尼； ， 表示临界阻尼， ，表示小阻尼。 ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 36 n 22 c ccc cmkm ? ? ? 2 n , 2, kc n mm ? n 2 n 02xxx? 原来的微分方程 可以改写成： 2 n 20 xnxx? ? 2 1,2n 1s?特征根： 3.3 微分方程和解的另一种表达方式 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如

25、有不 当之处，请联系本人或网站删除。 37 （1） ，超临界阻尼/ 强阻尼的情形. 方程的两个特征根均为实数， 1? 与初始条件 有关， 12 ,CC 00 ,xx 0n0 1,20 2 n 1 2 1 xx Cx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1,2n 1s?特征根： 3.4 讨论 ? 22 nnn 11 12 ttt xeC eC e ? ? ? ? 方程的通解为： 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 38 大阻尼系统的运动特点： 大阻尼的运动不

26、是振动，而是一 种非周期性的指 数衰减。 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 C1 1 1 s t C e 2 2 s t C e 12 12 sts t C eCe? C2 x ( t ) t Fig.5 12 12 stst xC eC e? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 39 （2） ，临界阻尼的情形 . 1 ? 代入初始条件得， 1 020n0 ,CxCxx? ? 2 1,2n 1s?特征根： 3.4 讨论 ? n 12 t xeCC t ? ? 方程的通解为： 1,2n s? ? 临界

27、阻尼系统的运动特点： ?临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同 的条件下，临界阻尼系统的自由运动最先停止， 因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 40 ?特征方程的根为： 2 1,2nn 1sj? ? （3） ，小阻尼的情形. 1? 2 dn 1? 令： 有阻尼系统的固有频率 ? n 1d2d cossin t xeCtCt ? ? ? ? ?微分方程的解可写为： ? 2 1,2n 1s? 特征根： n d sin() t

28、 Aet ? ? ? ? 2 2 00 0 , n d xx Ax ? ? ? ? ? ? 1 00 0 tan n d xx x ? ? ? ? ? ? 代入初始条件，有 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 41 ?如图所示的为衰减振动。 在 时， 物体的运动曲线和曲线 相切，在 切点的x值的绝对值 称为振幅。 d sin()1t? ? nt xAe ? ? ? nt Ae ? ? 小阻尼的运动曲线小阻尼的运动曲线 n d sin() t xAet ? ? ? ?

29、 05101520 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 时间 振 幅 小阻尼振动曲线 1 2 3 4 5 6 Fig.6 小阻尼振动曲线 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 nt xAe ? ? nt xAe ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 42 n d sin() t xAet ? ? ? ? 小阻尼的周期与频率 2 2 nd d 1 1 22 ff ? ? ? ? ? 频率： d 22 d n 22 11 T T ? ? ? ? ? 周期： T ? 振幅衰减律 ? n1 n d n1d 1 2 t T tT AAe e A Ae ? ? ? ? ? ? 0.05 73% 4.3% A A ? ? ? ? ? ? ? d d 1T 10T : 3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 43 ?前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自然对数， 称为对数衰减率，记为 ： ? 对数衰减率 ? 1 nd 2 ln A T A ? ? ? ? ? ? 当 的时，有 . 1? 2? n d1 2 T A e A ? ? d 2