函数中恒成立问题解题策略

1、函数中恒成立冋题解题策略函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用恒成立问题，在高中数学中较为常见这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透 着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培 养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：赋值型；一次函数型；二次函数型；变量分离型；数形结合型 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题策略一、赋值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空

2、题、选择题能很快求得例 1.由等式 x4+aix3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4+bi(x+1) 3+ b2(x+1) 2+b3(x+1)+b4 定义映射 f: (ai,a2,a3,a4)宀 bi+b2+b3+b4,则 f: (4,3,2,1)宀()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0，贝U a 4=1+b1+b2+b3+b4,又 a 4=1,所以 b+b2+b3+b4 =0 ,故选D例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= -一 对称，那么a=().8A.1B.-1C 八 2D.- 2jJIJI略解：取x=0及x= ，则f(0)=f(),即

3、a=-1，故选B.44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想策略二、一次函数型一一利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a丰0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0 ,则根据函数的图象 (线 段)(如下图)可得上述结论等价于例3对于满足a2a+x恒成立的x的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ,2内关于a的一次函数 大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在a2时恒成立，设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2

4、,2上恒大于 0,故有:W0即f(2) 厂2x2xI-4x 30-1 0解得：丿3或 x:11或 x：-13 x3.即 x ( a ,-1) U (3,+ g)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.策略三、二次函数型一一利用判别式，韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a丰0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解， 即a0、acOf(x)0恒成立U 丿 ；f(x)0恒成立二 丿 .也0壮0,齐。时,当a2十0时,即当J=(a 有a2a21-10a 9 _0,二 1 ： a _9,综上所述，

5、f(x)的定义域为R时，1,9例5已知函数f (x) = x2 ax 3 - a，在R上f (x) _ 0恒成立，求a的取值范围.分析：y二f (x)的函数图像都在 X轴及其上方，如右图所示:略解：4 =a24 3a 二a2 4a12 空 0. 6a2变式1若x1-2,2 时,f (x) _ 0恒成立，求a的取值范分析：要使x -1-2,2 时,f(x) _0恒成立，只需f (x)的最5#小值g (a) _ 0即可.a a2 J 4-a 3，令f (x)在-2,2 1上的最小值为g(a).#当一？ ： 一2，即2-a不存在.又.一4 _a _4.一4 _a _2a当2，即 a ： -4 时，g

6、(a)二 f ( 2 ) 7a_0 a.- 7 _ a ： -4综上所述，-7乞a乞2.-7 又 a ： -4变式2：若1-2,2 时，f(x)_2恒成立，求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明f(x) _2在-2,2 1上恒成立，若把2移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间1-2,2 1时恒大于等于0的问题.a 4 时，g(a) = f(-2) =7 -3a _0 a -又 a 432即 -4 二a 三4 时，g(a)二 f (旦)=-旦 a24略解：f (x) =x2 ax 3a2 _ 0，即 f (x) = x2 ax Va _ 0在丨-2,2 上成立.,;.=a2 4 1

7、 a 乞 0 . - 2-2.2 0f( 20-,2或-1-2* f (一2)二0二 一5 兰 a 兰-242 - 2综上所述，-5乞a乞2、.2 - 2.解法二：(运用根的分布)a5当 一一：2，即 a 4 时，g(a)= f(- 2尸 7- 3 _ 2. a 一一 4,:23-a不存在.2当_2乞-a g(a)恒成立，则g(a)f(x) min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x) max.(其中f(x) max和f(X)min分别为f(X)的最大值和最小值)例 6已知三个不等式 x2 - 4x 3 ： 0 , x2 - 6x 8 ： 0 , 2x2 - 9x，m ： 0

8、.要 使同时满足的所有x的值满足，求 m的取值范围.略解：由得2x3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 -9x m -.0在(2,3)上恒成立，即m ： -2x2 - 9x在x (2,3)上恒成立，又-2x29x 在 x (2,3)上 大于 9，所以 m乞9例7.函数f (x)是奇函数，且在-1,1上单调递增，又f(-1) - -1，若2f(x)空t -2at 1对所有的a -1,1都成立，求t的取值范围 解：据奇函数关于原点对称，f (1) = 1,又；f (x)在-1,1上单调递增 f(X)max 二 M)f(x) Et2 -2at 1对所有的a -1,1都成立.因此，只需t2

9、 -2at 1大于或等于f(x)在-1,1上的最大值1，2 . 2.t -2at 1 _1二 t -2at _0又常对所有a -1,1都成立，即关于a的一次函数在-1，1上大于或等于0恒成立，t2 -2t _0 2t22t 一 0=t 一2或t =0或t3恒成立，求实数a的取值范围 分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数X，不等式x+1 -仪-2 a恒成立即转化为求函 数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.3XA-1解：令 y = X +1 x 2| = a 恒成立，只 a c -3.故实数a的取值范围是（-二，-3）.本题中若将 对任意实数X，不等式x 1 - x -2 - a恒成立，求实数a改为对任意实数x,不等式x +1 - x -2 c a恒成立，求实数a，同样由图象可得a3；对任意实数X，不等式x+1 +|x-2 a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符