第7章 时间序列预测法

1、第7章 时间序列预测法 7.1移动平均值预测法 7.2 指数平滑预测法 7.3 季节指数预测法 7.4 时间序列分解法 练习与提高（七）练习与提高（七） 7.5 平稳时间序列ARMA模型预测法 7.6案例分析 7.1移动平均值预测法7.1.1 一次移动平均法（1）一次移动平均法模型一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。其模型：(1)11()/tttt NMXXXN(1)1ttXM其中， 为t期的实际值；N为所选数据个数， 为下一期（t1）的预测值。tX1tX【例7-1】 我国从1996年至2007年的实际投资额如表7-1, 试用一次移动平均法预测

2、2008年的投资额（取N=3）。MATLAB程序 年份1995199619971998199920002001投资额20019.322913.524941.128406.229854.732917.737213.5年份200220032004200520062007投资额43499.9155566.6170477.488604.28109869.8137239X=20019.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 . 43499.91 55566.61 70477.4 88604.28 109869.83 137239.01;N1=3

3、;for t=3:length(X) M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)/N1; %一次移动平均值 X1(t+1)=M1(t); %下一期预测值endM1,X1 t1=1:length(X);t2=4:length(X)+1plot(t1,X,-+,t2,X1(4:end),-O)xlabel(时间)ylabel(投资额)legend(原始数据,预测值)预测图024681012142468101214x 104时 间投资额 原 始 数 据预 测 值时间时间 序号序号实际观测值实际观测值三个月移动平均值三个月移动平均值 五个月移动平均值五个月移动平均值 1980.11980.21

4、980.31980.41980.51980.61980.71980.81980.91980.101980.111980.12123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5-215.9222.6224.8214.6209.0211.6214.3220.6227.0244.7-218.4217.4216.1215.8212.4213.6223.5233.8预测图024681012142468101214x 104时 间投资额 原 始 数 据预 测 值7.1.2 二次移动平均法二次移动平均法 （1

5、）二次移动平均法的线性模型 其中， 为t期的实际值， 为tT期的预测值，t为当前的时期数， T为由t至预测期的时期数。t TttXabT(1)11()/tttt NMXXXN(2)(1)(1)(1)11()/tttt NMMMMN(1)(2)2tttaMM(1)(2)2()/(1)tttbMMNtXtXt TX（【例7-2】 （续例7-1） 利用二次移动平均法预测2008年投资额（取N=3）。（1）先计算一次、二次移动平均值clearX=20019.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 43499.91 55566.61 70477

6、.4 88604.28 109869.83 137239.01;N=3;for t=3:length(X) M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)/N; %一次移动平均值 endM1for t=5:length(M1) M2(t)=(M1(t)+M1(t-1)+M1(t-2)/N; %二次移动平均值endM2 （2）以2007年作为当期数,预测2008年和2009年a=2*M1(end)-M2(end)b=2*(M1(end)-M2(end)/(N-1)T=1:2;y=a+b*T （3）下面的程序给出了2000年至2008年的预测值a=2*M1(5:end)-M2(5:end)b=

7、2*(M1(5:end)-M2(5:end)/(N-1)T=1y=a+b*Tt1=1:length(X);t2=6:length(X)+1plot(t1,X,-+,t2,y,-O)预测图预测图 02468101214246810121416x 104时 间投资额 原 始 数 据预 测 值7.2 指数平滑预测法7.2.1 一次指数平滑法（1）一次指数平滑法的基本模型）一次指数平滑法的基本模型 其中， 为时间序列观测值， 为观测值的指数平滑值， 为平滑系数，。 (1)(1)1(1)tttSXS(1)1(1)110(1)(1)(1)tttttSXXXS(1)1ttXS01,nXXX(1)(1)(1)

8、01,nSSS01【例7-3】 （续例7-1） 利用一次指数平滑法预测2008年的预测值（ =0.7、0.8、0.9）。X=20019.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 . 43499.91 55566.61 70477.4 88604.28 109869.83 137239.01;X0=X(1); X1=X(2:end); alpha=0.9;S0=X0; %初始值S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S0; %指数平滑值第一项for t=1:length(X1)-1S1(t+1)=alpha*X1(t+1)

9、+(1-alpha)*S1(t); %指数平滑值全部项endS1 S=S0 S1;MSE=sum(X1-S(1:length(X1).2)./12 %误差平方均值t1=1:length(X);t2=2:length(X)+1plot(t1,X,-+,t2,S,-O)024681012142468101214x 104时 间投资额 原 始 数 据预 测 值时间时间 序号序号实际观测值实际观测值指数平滑法指数平滑法=0.3=0.5=0.71980.011980.021980.031980.041980.051980.061980.071980.081980.091980.101980.111980

10、.121981.01123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5 203.8206.9213.8216.8218.0212.1210.8216.1213.2217.3226.5 236.4203.8209.0230.0226.9223.8211.1209.5219.0212.8219.8233.8 246.6203.8211.0224.2223.9221.7205.4207.1222.1211.2222.1240.1 253.7(1)1(1)ttXS(1)tS 7.2.2 二次指数平滑法（

11、1）二次指数平滑法的线性模型为 t TttXabT(1)(2)2tttaSS(1)(2)()1tttbSS(1)(1)1(1)tttSXS(2)(1)(2)1(1)tttSSS 【例7-4】 （续例7-1） 用二次指数平滑法预测2008年投资额（0.9）。1）先计算一次、二次指数平滑值clearX=20019.3 22913.5 24941.1 28406.2 29854.7 32917.7 37213.5 . 43499.91 55566.61 70477.4 88604.28 109869.83 137239.01;X0=X(1);X1=X(2:end);alpha=0.9;S10=X0;

12、 %S1 的初始值S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S10; for t=1:length(X1)-1 S1(t+1)=alpha*X1(t+1)+(1-alpha)*S1(t); endS1S20=X0; %S2的初始值S2(1)=alpha*S1(1)+(1-alpha)*S20; 第一项for t=1:length(S1)-1 S2(t+1)=alpha*S1(t+1)+(1-alpha)*S2(t); %endS2 2）2007作为当期数预测2008年的值a=2*S1(end)-S2(end) %2007基期b=alpha/(1-alpha)*(S1(end)-S

13、2(end) %2007基期T=1;y=a+b*T %2008年的预测值3）预测2008年及以前的全部预测值a=2*S1(1:end)-S2(1:end)b=alpha/(1-alpha)*(S1(1:end)-S2(1:end)T=1;y=a+b*TY=X0,yt1=1:length(X);t2=2:length(X)+1;plot(t1,X,-+,t2,Y,-O)024681012140.20.40.60.811.21.41.61.8x 105时 间投资额 原 始 数 据预 测 值7.3 季节指数预测法7.3.1 季节性水平模型 如果时间序列没有明显的趋势变动，而主要受季节变化和不规则变动

14、影响时，可用季节性水平模型进行预测。 预测模型的方法： （1）计算历年同季的平均数115(43)226(42)337(41)448(4 )1()1()1()1()nnnnrXXXnrXXXnrXXXnrXXXn（2）计算全季总平均数（3）计算各季的季节指数历年同季的平均数与全时期的季平均数之比，即：4114niiyXn,1,2,3,4iiriy若各季的季节指数之和不为4，季节指数需要调整为 4(1,2,3,4)iiiFi（4）利用季节指数法进行预测ttiiXX【例7-5】 我国2001年至2007年居民消费指数（衣着类）28个季度数据,并利用2007年第4季度数据作为已知数据，预测2008年第

15、1、第2季度居民消费物价指数。年（季）2001（1）2001（2）2001（3）2001（4）2002（1）2002（2）2002（3）指数99.399.999.8100.499.299.999.6年（季）2002（4）2003（1）2003（2）2003（3）2003（4）2004（1）2004（2）指数100.399.3100.099.7100.499.599.9年（季）2004（3）2004（4）2005（1）2005（2）2005（3）2005（4）2001（1）指数99.6100.499.2100.199.9100.599.4年（季）2006（2）2006（3）2006（4）2007

16、（1）2007（2）2007（3）2007（4）指数100.199.8100.899.3100.199.6100.5 （1）根据所给数据，画出走势图，观察季节性X=99.3 99.9 99.8 100.4 99.2 99.9 99.6 100.3 99.3 100.0 99.7 100.4 99.5 99.9 99.6 100.4 99.2 100.1 99.9 100.5 99.4 100.1 99.8 100.8 99.3 100.1 99.6 100.5;t=1:28;Y=Xplot(t,Y(:),-o)xlabel(时间)ylabel(消费指数)05101520253099.299.4

17、99.699.8100100.2100.4100.6100.8时 间消费指数（2）计算季节指数并预测r=mean(X) %同季平均数y=mean(X(:) %全部季度平均数b=r./y %各季季节指数F=4/sum(b)*b %调整各季季节指数%下面以2007年第4季度作为基期X1=X(end)*(F(1)/F(4) %2008年第1季度预测值X2=X(end)*(F(2)/F(4) %2008年第2季度预测值7.3.2 季节性趋势模型季节性趋势模型 当时间序列既有季节性变动又有趋势性变动时，先建立趋势预测模型，在此基础上求得季节指数，再建立预测模型。其过程如下： （1）计算历年同季平均数r；

18、（2）建立趋势预测模型，求趋势值 （3）计算出趋势值后，再计算出历年同季的平均数R；（4）计算趋势季节指数（k）；用同季平均数与趋势值同季平均数之比来计算。（5）对趋势季节指数进行修正；（6）求预测值。将预测期的趋势值乘以该期的趋势季节指数，即预测模型：tkX【例7-6】 设某品牌电冰箱从1997年至2008年期间在某地区销售数量，试用季节性趋势模型预测2009年的销售数量。年（季）序号销售量年（季）序号销售量年（季）序号销售量1997（1）15622001（1）176802005（1）337811997（2）25752001（2）186722005（2）347561997（3）3398200

19、1（3）194922005（3）356081997（4）43602001（4）205482005（4）366421998（1）56162002（1）217292006（1）378001998（2）66042002（2）226832006（2）388061998（3）73862002（3）234922006（3）396491998（4）84512002（4）246732006（4）407521999（1）96752003（1）257602007（1）418601999（2）106932003（2）267242007（2）428933）汇总整理将表进行汇总，计算各个累积概率的平均数如表所示 被调查

20、人编号主观概率0.010.1250.250.3750.500.6250.750.8750.99餐饮业零售额1100011501250130013501400145015001600295010501150120012501300135014001500310201130125013201380142014801520165041000120013201350138014001440150015805980108012201250127013201400145015606960108012001230132013801420147015507105012501280133013901420148

21、015201610810001100121012501340141014601500160099801060120012601310138014501500165010105011501250132013601420146015501620平均数99911251233128113351385143914911592（1）根据所给数据，画出走势图，观察季节性和趋势性X=562 575 398 360 616 604 386 451 675 693 420 535 . 596 602 467 574 680 672 492 548 729 683 492 673 . 760 724 501 647

22、 739 708 570 695 781 756 608 642 . 800 806 649 752 860 893 695 723 902 875 684 643;t=1:length(X);plot(t,X,-o)xlabel(时间)ylabel(销售量)走势图051015202530354045503004005006007008009001000时 间销售量（2）计算各年同季平均数r1=mean(X(1:4:length(X);r2=mean(X(2:4:length(X);r3=mean(X(3:4:length(X);r4=mean(X(4:4:length(X);r=r1 r2

23、r3 r4 %各年同季平均（3）计算趋势预测值p=polyfit(t,X,1) %拟合得长期趋势参数T=polyval(p,t) %计算长期趋势预测值（4）计算趋势值各年同季平均R1=mean(T(1:4:length(T);R2=mean(T(2:4:length(T);R3=mean(T(3:4:length(T);R4=mean(T(4:4:length(T);R=R1 R2 R3 R4 %趋势值各年同季平均（5）计算并调整趋势季节指数k=r./R %趋势季节指数K=4/sum(k)*k %调整趋势季节指数（6）预测2009年四个季度销售量t=49:52 %2009年1至4季度时间Y=K

24、.*polyval(p,t) %计算2009年预测值7.3.3 季节性环比法模型环比法是指积累历年（至少三年）各月或各季的历史资料，逐期计算环比，加以平均，求出季节指数季节预测的方法。 （1）求逐期环比：将本期实际值和前期实际值相比，即：第一期的环比不能计算 1tttXhX1,2,4tn（2）计算同季环比平均数1211intihhn11initihhn2,3,4i （3）计算各季连锁指数以第一季度为固定基准期，其连锁指数为 ，后面各季平均环比逐期连乘，得各季连锁指数：（4）根据趋势变动修正连锁指数如果没有趋势变动，基准期的连锁指数 应为1，若求出来的基准期（第一季度）的连锁指数不为1，则存在趋

25、势变动的影响，应加以修正，其修正值为 11c 1iiicc h2,3,4i 1c11cdN此时 是第四季度的连锁指数乘以第一季度的平均环比，即 1c141cch各季扣除d后的修正连锁指数 应为：。第一季度 第二季度 第三季度 第四季度： 1c11c 22ccd 332ccd 443ccd （5）计算季节指数将各季修正连锁指数，除以全部四个季度修正连锁指数的平均数，得各季季节指数：iiicFc4114iiicc（6）配合趋势直线模型，计算趋势值结合季节指数进行预测，预测模型为： ()iiyabt F【例7-7】 某城市各大商场销售某种商品各季销售量如表7-4所示,，试预测2010年各个季度的销售

26、量。 季度年份1234合计20066250807026220077060958531020087555120833332009786510590338（1）先画出走势图 x=62 50 80 70 70 60 95 85 75 55 120 83 78 65 105 90;t=1:16;plot(t,x,-o)02468101214165060708090100110120时 间销售量（2）计算季节指数h=x(2:end)./x(1:end-1) %各期环比h1=mean(h(4:4:end) %第1季度同季环比平均数h2=mean(h(1:4:end) %第2季度同季环比平均数h3=mean

27、(h(2:4:end) %第3季度同季环比平均数h4=mean(h(3:4:end) %第4季度同季环比平均数H1=h1 h2 h3 h4 %四个季度同季环比平均数H2=1 h2 h3 h4 %第1 季度基准期为1 四个季度 %同季环比平均数c=cumprod(H2) %四个季度连锁指数c1=c(4)*H1(1) %第1季度连锁指数d=(c1-1)/4 %修正值C1=1 %第1季度修正连锁指数C2=c(2)-d %第2季度修正连锁指数C3=c(3)-2*d %第3季度修正连锁指数C4=c(4)-3*d %第4季度修正连锁指数C=C1 C2 C3 C4 %汇总修正连锁指数F=C./mean(C)

28、 %季节指数（3）求趋势值p=polyfit(t,x,1)T=polyval(p,t)（4）求2010年1-4季度预测值t1=17:20;T1=polyval(p,t1)X1=T1.*FT1=T(1:4:end)T2=T(2:4:end)T3=T(3:4:end)T4=T(4:4:end)t1=T1*F(1)t2=T2*F(2)t3=T3*F(3)t4=T4*F(4)Y=t1;t2;t3;t4plot(t,x,-o,t,Y(:),+k) 季度年份12342006环比0.80651.60000.87502007环比1.00000.85711.58330.89472008环比0.88240.733

29、32.18180.69172009环比0.93980.83331.61540.8571同季环比平均数H10.94070.80761.74510.8296连锁指数c1.00001.09990.80761.40931.1692修正值d0.0250修正连锁指数C10.78261.35941.0943季节指数F0.94420.73891.28361.03337.4 时间序列分解法时间序列分解法 （1）时间序列数据的影响因素主要有长期趋势、季节变动、周期变动、不规则变动。（2）乘法分解模型tttttXTSCI为时间序列的全变动， 为长期趋势， 为季节变动， 为循环变动， 为不规则变动；tXtTtStCt

30、I（3）确定上述各个因素的步骤1）用 分析长期趋势与循环变动；2）用分析季节性与随机性；3）用分析季节性；4）用趋势外推法分析长期趋势T；5）用分析循环变动；6）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即 在实际运算时可以不考虑随机因素，而直接用前三种因素来处理：即/IX TSCttttXTSC【例7-8】 （续例7-6） 试用序列分解模型预测2009年的销售数量。（1）计算一次移动平均值MA，即得长期趋势与循环变动数据X同例7-5程序（略）for t=1:length(X)-3 MA(t)=(X(t)+X(t+1)+X(t+2)+X(t+3)/4;endMA （2）季节与随机

31、性SI，即X与MA的比率SI=100*X(3:end-1)./MA（3）用各年同季平均，去掉SI中的随机性，得季节指数r，并修正季节指数Rr1=mean(SI(3:4:end);r2=mean(SI(4:4:end);r3=mean(SI(1:4:end);r4=mean(SI(2:4:end);r=r1 r2 r3 r4; R=r./mean(r) （4）拟合得长期趋势Tm=1:length(X);p=polyfit(m,X,1)T=polyval(p,m); （5）计算循环变动CC=MA./T(3:end-1) （6）预测2009年1-4季度n=49:52;T1=polyval(p,n)

32、C1=mean(C)X1=T1.*C1.*R 其它结果及格式如表7-7所示。7.5 平稳时间序列ARMA模型预测法7.5.1 ARMA模型的基本形式（1）自回归模型AR(p)11.nnpnpnXXX其中，是独立同分布的随机变量序列 n称时间序列服从p阶自回归模型AR(p) （2）移动平均模型MA(q) 11.nnnqn qX 服从q阶移动平均模型MA(q )（3）自回归移动平均模型ARMA(p,q)服从（p,q）阶自回归移动平均模型ARMA(p,q) 1111nnpnpnnqn qXXX 2模型建立的条件及判定法时间序列的平稳性 自相关分析法 它可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的

33、季节性。7.5.2 ARMA模型相关性分析及识别根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。1AR(p)模型（1）AR(p)的自相关函数满足 表明 随k的增加按指数形式衰减，呈“拖尾”状。11kkpkp 21|g kkg ekAR(1)模型 AR(2)模型 （2）AR(p)的偏相关函数可知偏相关函数具有“截尾”状 。1kk12112210112kkkkkk 111,111,112,3,10kkkjkjjkkkkjjjkkpkp1,1,kjkjkkkkj 2MA(q)模型（1）MA(q) 自相关函数（2）MA(q) 偏相关函数由于任何一个可逆的MA过程

34、都可以转化为一个无限阶的系数按几何递减的AR过程，所以MA过程的偏自相关函数同AR模型一样呈缓慢衰减特征。3ARMA(p,q)模型根据AR、MA模型可知ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数也是无限延长的，其过程也是呈缓慢衰减，是拖尾的。11222221210110kkkq kqkqkkqkq 三个基本模型的相关性特征 根据相关性特征，可利用自相关函数与偏自相关函数的截尾性来识别模型类型。并利用偏相关函数PartialACF，确定AR模型的滞后阶数；利用自相关函数ACF，确定MA模型的滞后阶数。模型自相关函数偏自相关函数AR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾4自

35、相关函数与偏相关函数的命令（2）计算并描绘时间序列的自相关函数 格式：格式： autocorr(series,nLags,M,nSTDs) %绘出自相关函数图 ACF,Lags,Bounds=autocorr(series,nLags,M,nSTDs)说明：说明：series：时间序列 nLags：延迟数，默认为20个ACF。 M：延迟阶数，缺省时假设为高斯白噪声。 nSTDs：表示计算出的相关函数ACF估计误差的标准差；ACF：相关函数；Lags：对应于ACF的延迟；Bounds：置信区间的近似上下限，假设序列是MA（M）模型（1）计算时间序列的相关系数格式：格式：r=corrcoef(x1

36、,x2)说明：说明：计算两时间序列x1,x2的相关系数r，其值在0，1之间。【例7-9】x=randn(1000,1); %生成1000点的Gaussian白噪声y=filter(1 -1 1,1,x); %生成MA（2）过程autocorr(y,2) %如图7-8所示ACF,Lags,Bounds= autocorr(y,2) %计算95置信度下的相关系数02468101214161820-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81LagSample AutocorrelationSample Autocorrelation Function (ACF)（3）计算并描绘时间序

37、列的偏相关函数 格式：格式：parcorrr(series) PACF,Lags,Bounds=parcorr(series,nLags,R, nSTDs ) 说明：说明：series：时间序列； nLags：延迟数，缺省时计算在延迟点 0，1，T （T=min(20,length(series)-1)的PACF； R：表示Lags延迟阶数，缺省时假设为AR(R)过程； nSTDs：表示计算出的相关函数PACF估计误差的标准差PACF：相关函数；Lags：对应于ACF的延迟； Bounds：置信区间的近似上下限，假设序列是AR(R)过程。【例7-10】x=randn(1000,1); Gaus

38、sian白噪声 y=filter(1,1 -0.6 0.08,x); %生成AR(2）过程 parcorr(y,2) %绘出偏相关函数图， PACF,Lags,Bounds=parcorr(y,2) %偏相关系数02468101214161820-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81LagSample AutocorrelationSample Autocorrelation Function (ACF)5评价时间序列模型的准则评价时间序列模型的准则FPE准则：是指最终预报误差（准则：是指最终预报误差（Final Prediction Error）的）的定阶准则。主要用于

39、定阶准则。主要用于AR模型、模型、ARMA模型的阶，其方法是以模型的阶，其方法是以选用模型的一步误差达到最小的相应的阶作为模型的阶，用其选用模型的一步误差达到最小的相应的阶作为模型的阶，用其预报效果的优劣来确定该模型的阶数。预报效果的优劣来确定该模型的阶数。 7.5.3 ARMA模型参数估计1、AR(p)模型参数矩估计Yule-Walker方程 11211211221122pppppppp 利用实际时间序列数据，首先求得自相关函数 的估计值 ，代入Yule-Walker方程组，求得模型参数的估计值， kk1,p2、MA(q)模型参数估计 利用实际时间序列数据，求得自协方差函数 的估计值 求得模

40、型参数的估计值 kr22221221122(1)0()10qkkkq kqkkqkq krkr1,p。 3、ARMA(p,q)模型的参数估计先求得自相关函数 的估计值 ，代入Yule-Walker方程组，求得模型参数的估计值， kk1,p1,p再改写ARMA模型求解估计值 1111nnpn pnnqn qXXX 11nnnyXXpnpX 11nnnqn qy 4、模型参数的MATLAB命令（1）AR模型参数估计模型参数估计格式：格式： m=ar(y,n) m,refl=ar(y,n,approach, window) 说明：说明： y是数据结构，由是数据结构，由iddata函数得到：函数得到：

41、y= iddata(y)， 后面后面y是给定的时间序列；是给定的时间序列； n是是AR阶次；阶次； approach ：估计时采用的方法：估计时采用的方法：Approachfb：前向后；前向后； ls：最小二乘法；：最小二乘法； yw：Yule-Walker方方法；法； Burg：基于：基于Burg谱估计方法；谱估计方法； Window： 处理处理Y中缺失值的方法，中缺失值的方法，Window now：表示观察值中没有缺失值；：表示观察值中没有缺失值；Window yw：表：表示示Yule-Walker方法处理缺失值；方法处理缺失值； m： AR模型的文字形式；模型的文字形式； refl： A

42、R 模型的系数。模型的系数。（2）ARMAX模型参数估计自回归移动平均各态历经ARMAX（AutoRegressive Moving Average eXogenous）模型，是考虑外部解释变量X 的模型。( ) ( )( ) ()( ) ( )A q y tB q u tnkC qt1212( )1nanaA qa qa qa q 121123( )nbnbB qbb qb qb q1212( )1ncncC qc qc qc q na,nb,nc是滞后多项式的阶数， nk为延迟格式：格式：Z =iddata (y) m = armax(Z,na nb nc nk) m = armax(Z,

43、na,na,nb,nb,nc,nc,nk,nk)说明：说明：y原始序列，Z是y的数据结构； na,nb,nc是滞后多项式的阶数，nk为延迟（3）MA模型参数估计。模型参数估计。用用ARMAX模型可对模型可对MA模型进行估计，只需在模型模型进行估计，只需在模型 ( ) ( )( ) ()( ) ( )A q y tB q u tnkC qtA(q) 1， B(q) 0 格式：格式：z=iddata(y) m=armax(z,nc,5)（4）ARMA模型参数估计用用ARMAX模型可对模型可对ARMA模型进行估计，只需在模型：模型进行估计，只需在模型：( ) ( )( ) ()( ) ( )A q

44、y tB q u tnkC qtB(q) 0 格式：格式： z=iddata(y); m=armax(z, na nc);（5）ARX模型参数估计模型参数估计 A(q) y(t) = B(q) u(t-nk) + e(t)格式：格式：m = arx(data, na nb nk) m = arx(data,na,na,nb,nb,nk,nk)7.5.4 ARMA模型的预测模型的预测1AR（p）模型的预测公式）模型的预测公式预测方差 1211(1)kkkpkpXXXX (2)kX122(1)kkpkpXXX ( )kXp1(1)kXp2(2)kXppkX( )kXl1(1)kXl2(2)kXl(

45、)pkXlplp 22211( )(1)klVar e lGG0110211201GGGGGGGREEN函数 2MA(q)模型预测公式模型预测公式预测方差 ( )0qik l ii lklpXllp 222112221(1)( )(1)lkqlqVar e llq若已知若已知 和新获得的数据和新获得的数据 ，则得的递推公式：，则得的递推公式： , ,， T ( )kXl1kx1kX121100010001000qq kX 121kqxkX (1)kX(2)kX( )kXl，1,2,lq初始值可取某个时刻 00kX3ARMA(p,q)模型预测公式模型预测公式预测方差 ( )1( )0kkk lX

46、llXlXl22211( )(1)klVar e lGG01G *1lljljljGG1,2,lq*0jjjpjp*01,jjjpjq的递推公式：的递推公式： , ,， T kX (1)kX(2)kX( )kXl，当时 ，上式最后一项为0 1kX121121*100010001qqqqqGGGG kX 1211kqqGGxGG*11000pjkqjj qx 1,2,lqpq4模型预测及误差的MATLAB命令格式：格式：yp=predict(m,y,k)说明：说明：m表预测模型，表预测模型，y为实际输出，为实际输出，k为预测区间；为预测区间； yp为预测输出。为预测输出。当当kinf,yp(t)

47、为模型为模型m与与y（1,2，t-k）的预测值；）的预测值；当当k=inf,yp(t)为模型为模型m的纯仿真值，默认的纯仿真值，默认k=1；在计算在计算AR模型预测时，模型预测时，k应取应取1。格式：格式：yh,fit,x0=compare(m,y,k)说明：说明：Compare的预测原理与的预测原理与predict相同相同，但对预测进行，但对预测进行比较，并可绘出比较图比较，并可绘出比较图 格式格式：e=pe(m,data) %pe误差计算，误差计算，说明：采用说明：采用yh=predict(m,data,1)进行预测，然后计算进行预测，然后计算误差误差 e=data-yh 在无输出情况下在

48、无输出情况下，绘出误差图，误差曲线应足够小，绘出误差图，误差曲线应足够小，黄色区域为黄色区域为99%的置信区间，误差曲线在该区域内表明通的置信区间，误差曲线在该区域内表明通过检验。过检验。格式格式：e,r=resid(m,data,mode,lags) resid(r)计算并检验误差。计算并检验误差。7.6案例分析7.6.1 利用移动平均法预测股票走势【例【例7-11】 兴业银行兴业银行2008年年11月月3日至日至12月月31日股票日股票收盘价如表收盘价如表7-9所示，利用所示，利用5日、日、20日移动平均法进行预日移动平均法进行预测。测。序号日期收盘价5日移动平均20日移动平均序号日期收盘

49、价5日移动平均20日移动平均111-312.552312-314.6914.042014.6910211-412.682412-415.114.174014.7995311-513.492512-515.3814.554014.8775411-612.932612-816.3315.068014.9375511-713.8213.09402712-915.7815.456014.9960611-1015.1313.61002812-1017.3615.990015.1085711-1114.6113.99602912-1116.8816.346015.1620811-1215.1114.320

50、03012-1215.8416.438015.1555911-1315.8114.89603112-1516.1516.402015.15851011-1415.9715.32603212-1615.9816.442015.23201111-1716.0915.51803312-1715.9916.168015.24101211-1814.5115.49803412-1816.8316.158015.30751311-1915.8115.63803512-1916.516.290015.36851411-2015.515.57603612-2216.3916.338015.47151511-2

51、115.2815.43803712-2315.5616.254015.53401611-2414.3315.08603812-2415.2316.102015.57551711-2514.3115.04603912-251515.736015.60351811-2614.414.76404012-2614.9115.418015.67501911-2714.4414.55204112-2914.7515.090015.72452011-2813.4814.192014.51254212-3014.7114.920015.76802112-113.7614.078014.57304312-311

52、4.614.794015.7635（1）先计算5日、20日移动均线值，并绘出图X=12.55 12.68 13.49 12.93 13.82 15.13 14.61 15.11 15.81 15.97 .16.09 14.51 15.81 15.5 15.28 14.33 14.31 14.4 14.44 13.48 13.76.13.84 14.69 15.1 15.38 16.33 15.78 17.36 16.88 15.84 16.15 15.98.15.99 16.83 16.5 16.39 15.56 15.23 15 14.91 14.75 14.71 14.6;N1=5;for

53、 t=5:length(X) M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)+X(t-3)+X(t-4)/N1; %5日 一次移动平均值endM1N2=20;for t=20:length(X) M2(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)+X(t-3)+X(t-4)+X(t-5)+X(t-6)+X(t-7) +X(t-8)+X(t-9)+X(t-10)+X(t-11)+X(t-12)+X(t-13)+X(t-14).+X(t-15)+X(t-16)+X(t-17)+X(t-18)+X(t-19)/N2; %20日一次移动平均值endM2t1=1:length(X);t2=5:len

54、gth(X);t3=20:length(X)plot(t1,X,-+,t2,M1(5:end),-O,t3,M2(20:end),-k)05101520253035404512.51313.51414.51515.51616.51717.5时 间收盘价 原 始 数 据5日 二 次 移 动 法20日 二 次 移 动 法（3）利用二次移动平均法预测N=5;for t=5:length(X) M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2)+X(t-3)+X(t-4)/N; %一次 endM1for t=9:length(X) M2(t)=(M1(t)+M1(t-1)+M1(t-2)+M1(t-3

55、)+M1(t-4)/N; % 二次移动平均法endM2 a=2*M1(9:end)-M2(9:end)b=2*(M1(9:end)-M2(9:end)/(N-1)T=1y=a+b*Tt1=1:length(X);t2=10:length(X)+1plot(t1,X,-+,t2,y,-O)05101520253035404512131415161718时 间收盘价 原 始 数 据5日 二 次 移 动 法7.6.2 利用ARMA模型预测股票价格【例【例7-12】 青岛啤酒2007年2月1日-4月26日的交易日收盘价，试用ARMA模型预测未来一周的股票价格。日期收盘价日期收盘价日期收盘价日期收盘价日

56、期收盘价2-116.882-2619.393-1417.253-3017.054-17192-215.912-2717.453-1517.044-217.414-1818.862-515.922-2817.483-1616.44-317.484-1918.672-616.443-116.283-1916.434-418.034-2019.232-716.443-216.493-2016.214-518.954-23202-816.873-515.653-2116.164-618.84-2420.242-9173-615.83-2216.394-918.764-2519.652-1217.353-716.353-2316.244-1018.294-2619.632-1317.53-816.913-2617.04