微积分解题方法选讲

1、微积分解题方法选讲微积分解题方法选讲引引 言言1. 开课目的开课目的 中国数学会自2009年起于每年的10月底举行全国大学生数学竞赛。 在已经举行的三届全国大学生数学竞赛中，安徽理工大学取得了较好成绩。 2011年，安徽理工大学成为安徽赛区的三个考点之一。 前3年的竞赛选拔、培训均从9月份开始，时间比较匆忙，致使选拔环节存在不少问题，培训也不太充分。 适逢学校实行学分制，各院系可以自主开设各类公共选修课。教务处破例允许数学系对一年级学生开设 “ 微积分解题方法选讲 ” 公选课，目的是及早进行数学竞赛的选拔、培训，使选拔和培训工作更合理、充分，力争安徽理工大学在全国大学生数学竞赛中取得更好成绩。

2、2. 授课方式授课方式 由于上课的学生较多，不可能像正式培训那样为每个学生提供纸质资料，批改作业。 本课程拟采用如下授课方式： (1) 学生按教师要求对下次授课所涉及到的概念、方法进行复习； (2) 教师在课堂上对重点问题、重要题目进行详细讲解，学生做相应课堂练习； (3) 课后学生要仔细研读课堂所讲内容,独立动手演算例题，认真完成作业； 作业每周交一次，次周会对作业进行讲评； (4) 本课程将有两次单元测验和一次最终的选拔考试。 本课程的PPT及相关电子资料见信箱: MM: matlabmaple3. 授课内容及特点授课内容及特点 考虑到与学生现在所学高数内容的衔接，本课程只讲授高数下内容，

3、包括：空间解析几何，多元函数微积分及其应用，级数和常微分方程。 由于本课程属竞赛培训性质，根据竞赛要求，本课程的授课内容有如下特点： (1) 宽本课程要介绍一些课本上没有涉及到的内容，如重积分的换元法，正项级数的广义比较审敛法等； (2) 难本课程所讲例题及作业大部分难度较大； (3) 繁部分题目中的计算相当繁琐,如多元微分学中的变量代换, 多元积分学中的应用问题等。4. 课程考核及最终选拔课程考核及最终选拔 由于本课程实际上是为数学竞赛选拔而专门开设的公选课，所以本课程的考核方式是最终的选拔赛。 正式参赛的50名学生将依据选拔赛成绩、单元测验成绩、期末成绩及完成作业情况而选拔产生。正式名单放

4、假前公布。 欢迎名单外的学生参与听课、选拔、参赛。一、空间解析几何一、空间解析几何 空间解析几何不是全国大学生数学竞赛的重点内容，所占比例很小。有时仅将此内容与多元函数微分学几何应用、多元函数积分学结合考察，并不单独命题。 空间解析几何重点要掌握的内容是：旋转曲面方程；点到直线的距离；异面直线间的距离；异面直线的公垂线方程。1. 旋转曲面方程旋转曲面方程 本部分要求理解、掌握建立旋转曲面方程的思路和方法，特别要注意空间曲线绕非坐标轴旋转而成的旋转曲面。 例例1 设曲线L是抛物柱面 x=2y2与平面 x+z=1的交线。 (1) 求曲线L在各坐标面上的投影曲线; (2) 求曲线L分别绕各坐标轴旋转

5、一周而成的旋转曲面方程。 如图，设旋转曲面S上某一点M(x,y,z)由空间曲线C上点 M1(x0,y0,z0)绕z轴旋转所生成。根据旋转曲面的概念，z= z0，且这两点到z轴的距离相等。 将C写为z的参数方程再令 ，即得旋转曲面方程 00000,xxzyyzzz222200 xyxy 222200 xyxzyz 例例2 求直线 绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程。 练习练习1 求直线 在平面 上的投影绕y旋转而成的旋转曲面方程。 练习练习2 求直线 绕直线 l0: x=y=z 旋转一周所得旋转曲面方程。 1:011xyzl1:122xyzl11:111xyzL:210 xyz 2. 点到直线的距离

6、点到直线的距离 点到直线的距离是诸如转动惯量等问题的基础。 设M0为直线L外一点，M是L上一点，且L的方向向量为s，试证：M0到L的距离证证 ， 0dMMss00sinMMss MM 0MMsdss d第一周作业第一周作业 1. 研读本PPT，独立完成所有例题。 2. 完成第一部分的6 个练习和第二部分的练习1。 3. 预研第二部分的例4和例5。 4. 预习多元隐函数求导内容。 例例3 求点 到直线的距离。 练习练习3 用三种方法求 到直线的距离。3,:327xylxyz 1, 0,1P01,1, 0M2330,:0yzLxy3. 直线到直线的距离直线到直线的距离 直线到直线的距离问题是空间解

7、析几何中比较重要的问题。在计算前最好用混合积判断一下两直线是平行还是异面。 例例4 求两直线间的距离。12112:,01311:122xyzLxyzL 练习练习4 用三种方法求两直线间的距离。120,213:,:0421xyxyzllz4. 求异面直线的公垂线方程求异面直线的公垂线方程 求异面直线的公垂线方程也是空间解析几何中比较重要、有一定难度的问题。 例例5 求两直线的公垂线方程。1231:,2012:10 xzLyxyLz 练习练习5 用两种方法求两直线的公垂线方程。 练习练习6 平面通过两直线的公垂线L，且平行于向量c=1,0,-1，求此平面。129272:,:431292xyzxyz

8、LL1212531:,:121132xyzxyzLL二、多元函数微分学及应用二、多元函数微分学及应用 多元函数微分学及其应用是竞赛中比较重要的内容，比例约占15% 。 多元函数微分学及其应用重点要掌握的内容是：复合函数和隐函数求导法；几何应用；多元函数极值。要特别注意几何应用、多元函数极值与其它内容相结合的综合问题 。1. 偏导数与可微的概念偏导数与可微的概念 本部分要求理解多元函数连续、偏导数、微分等概念及其相互关系；掌握用定义判断偏导存在、可微的方法。有极限连续偏导存在可微偏导连续 例例1 证明 在(0,0)处连续、偏导数存在，但不可微。 练习练习1 证明在(0,0)处可微，但偏导并不连续

9、。222222221sin,0,0,0 xyxyxyf x yxy22222222sin,0,0,0 xyxyxyf x yxyxy2. 多元复合函数偏导数的计算多元复合函数偏导数的计算 本部分要求熟练掌握多元复合函数偏导数的计算，特别要注意二阶偏导数的计算以及自变量的变换问题。 例例2 设 ，其中f 可微，求 此题要特别注意计算中可能的错误。22yzf xy11zzx xy y 例例3 设 求 。 (1) 在计算多层复合函数的偏导时，最好先根据函数树图搞清函数的复合结构。 (2) 当复合层次较多时，利用全微分形式不变性求偏导数较方便且不易错。 , ,uf x y zyx ttx z,uuxy

10、 例例4 设变换 可把方程简化为 ，其中 二阶偏导连续，求常数a。 注注 此类题的关键是将新引入的变量u, v作为中间变量，然后利用复合函数求导法计算；难点是二阶偏导数的计算。 2222260zzzx yxy 2 ,uxyvxay20zu v ,zz x y 例例5 设 一阶偏导连续，做变换 ，证明： 例例6 设 ，将下列方程变换为w=w(u,v)的方程其中z(x,y)二阶偏导连续。,uu x yvv x y,1,1.uxvyurrvuyvxvrru cos ,sinxryr,uxy vxy wxyz2222220zzzx yxy 练习练习2 设变换 将方程 化为 ，求a并解此方程，其中z(x

11、,y)二阶偏导连续。 练习练习3 设 ，u(x,y)二阶偏导连续。 (1) 将 分别变换为极坐标 下的表达式；2222102zzzyyxy,2uxayvxy20zu v cos ,sinxryr221222,uuuuxyyxxy, r (2) 设 ，解方程 。 练习练习4 试用变量代换将 的方程化为 的方程。0u22220uuxy,xuvx wxzyy,zz x y22212zzzxyxx yyxyy ,ww u v3. 隐函数求导法隐函数求导法 隐函数求导法是竞赛中常考内容。本部分要求熟练掌握各种形式隐函数一阶和二阶偏导数的计算。 例例7 设 由方程 确定，求 。 ,zz x y,0zzF

12、xyyx,zzxy第二周作业第二周作业 1. 研读本PPT中的新内容，独立完成所有例题。 2. 完成第二部分的练习210。 本题为隐函数求导中的典型问题，通常有三种做法：(1) 公式法；(2) 两边求导法；(3) 微分法。考虑到学生的计算能力，建议采用公式法。 例例8 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)= 0所确定的x,y的函数，其中f, F均一阶偏导连续，证明： fFfFdyxttxfFFdxtyt 练习练习5 设z=z(x,y)是由确定的具有连续二阶偏导的隐函数，且F1 =F20。求证：(1) ；(2) 。 本题为第3届预赛试题。 11,0F zzxy220zzxyxy222

13、33220zzzxxy xyyx yxy 练习练习6 设z=f(u,v) 二阶偏导连续，且又x=x(y,z)是由z=f(x,y)确定的函数，求 222222,0,0 xzzzfx yx yxy 222222xxxy zyz 4. 多元函数微分法的几何应用多元函数微分法的几何应用 多元函数微分法的几何应用在竞赛中往往与多元函数的极值、线面积分等内容综合考察。 例例9 求曲线 在点P (1,1,1)处的切线与法平面方程。 例例10 证明: 曲面F(ax+bz,by+cz)=0的切平面均平行于某定直线，F一阶偏导连续。22230,23540 xyzxxyz 练习练习7 过点(2,0,0)引曲面 的切

14、线，求全部切线组成的曲面。 练习练习8 证明: 曲面 的切平面均过一定点，f一阶偏导连续。,0 xa ybfzc zc222149yzx 5. 多元函数的极值多元函数的极值 多元函数的极值几乎是竞赛中的必考内容，通常与几何应用、多元函数积分学的应用等内容综合考察。 例例11 抛物面 被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 例例12 求椭球面 在第一卦限的点，使该点切平面被三坐标面截出的22zxy22231xyz三角形的面积最小。 练习练习9 在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 的方向导数最大。 练习练习10 设锥面 ，平面 ，求以点P为中心与相切的球面方程及切点

15、坐标，其中P是S上到距离最小的点。22:44S zxy:222xyz222221xyz222, ,f x y zxyz1, 1,0l 三、多元函数积分学及应用三、多元函数积分学及应用 多元函数积分学及其应用是竞赛中非常重要的内容，比例约占15% 。 对多元函数积分学及其应用部分，除了要熟悉重积分、两类线面积分的计算方法外，要特别注意Green公式 (积分与路径无关) 和Gauss公式、多元函数积分学的物理应用(质心、转动惯量、功)。1. 重积分的计算及应用重积分的计算及应用 本部分要求熟练掌握二重和三重积分的各种计算方法，熟悉重积分在几何和物理上的应用。此外，最好还要知晓重积分的轮换对称性和换

16、元法。 下面首先以二重积分为例介绍轮换对称性和换元法。 (1) 轮换对称性轮换对称性 若D和D1关于y=x对称，则 若D关于y=x对称，则 轮换对称性在计算某些特殊二重积分时有着特别的作用。( , )( , )DDf x y df y x d1( , )( , )DDf x y df y x d 例例1 计算积分其中 。 注注 本题也可用通常方法计算。 例例2 求 ，其中f (t)为定义在 上的连续正值函数，a0, b0， 。 注注 本题无法用一般方法计算。4sinDxyd:02 , 02Dxy Daf xbfyIdf xfy:1Dxy, 例例3 设f (x)在0,1上正值递减，试证 注注 本

17、题的关键是将其转换为二重积分问题。 1122001100 xfx dxfx dxxf x dxf x dx (2) 二重积分的换元法二重积分的换元法 若变换x=x(u,v), y=y(u,v)将uOv面上的区域变成xOy面上的区域D，则其中， 为Jacobi行列式。 例例4 计算 注注 本题是典型的换元法。( , ),Df x y dxdyfx u vy u vJ dudv,:0,0,1yx yDedxdy D xyxy,x yJu v第三周作业第三周作业 1. 研读本PPT中的新内容，独立完成所有例题。 2. 完成第三部分的练习110。 例例5 设f (x)连续，证明其中 。 例例6 设f

18、(x)连续，证明其中 。 注注 本题与练习7类似，难度较大，所用方法也较为独特。 11Df xy dxdyf u du:1Dxy1222121Df axbyc dxdyu fab uc du2222:1,0D xyab 解解 根据题意，令 ，即考虑到这相当于将向量(x,y)T顺时针旋转了，故令 ，即这相当于将向量(u,v)T逆时针旋转了。 (相关内容见线性代数教材P49)22cossinaxbyuxyab22axbyab ucossin ,sincos ,xuvyuvsincosvxy 而D变为 ，故cossin,1sincos,x yJu v221:1Duv122DDf axbyc dxdy

19、fab uc J dudv22112211uufab uc dudv1222121u fab uc du (3) 重积分的计算与应用重积分的计算与应用 数学竞赛中单独考察重积分计算的可能性较小，往往与多元函数极值、几何与物理应用等问题相结合。 例例7 求其中 。 例例8 求其中 。xyz dv222xyzxz edv222:14, , ,0 xyzx y z2222:,0 xyzRz 例例9 求 例例10 设抛物面 及圆柱面 。 (1) 求 的一个切平面，使它与 及 围成的立体 的体积最小。 (2) 当由(1)确定的最小体积的立体 上有质量分布，其密度为1，求 的质心。222222222,:1

20、xyzxyzdvabc222:11xy221:1zxy 11200 练习练习1 计算积分其中 。 练习练习2 求 ，其中 练习练习3 证明：min,Dx y d:1, ,0D xyx yxyDIeed:1Dxyln 11,:12,12ln 1DydxdyDxyx 练习练习4 求 练习练习5 计算其中D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域。 本题为第一届预赛第1题。ln 11Dyxyxdxdyxycos,:0,0,1Dxydxdy D xyxyxy 练习练习6 证明： 练习练习7 证明：其中 。 本题与第3届预赛中的一个难题类似。1222211f axbycz dvufabc u du 22

21、2222,:1Df xy dxdyf uu duD xy222222:1,0 xyzabc 练习练习8 求 练习练习9 求其中 为常数。 练习练习10 设曲面 。(1) S1将 S2分成三块，求这三块曲面面积。(2) 记 ，求 位于S1内部分的体积V。2222222,:lxmynzdvxyzR22222,:xyzdvxyzR,l m n22212:13,:SzxySx2225yz222:25xyz2. 线面积分的计算及应用线面积分的计算及应用 本部分要求熟练掌握两类线面积分的计算方法，熟悉第1, 2类线积分及第1类面积分在物理上的应用，特别要注意格林公式和高斯公式及其应用问题。 这里还要提醒各

22、位，两类线积分特别是两类面积分间的联系在求解特定问题时会起到特殊的作用。 (1) 线积分的计算与格林公式线积分的计算与格林公式 例例1 设曲线 是球面 与平面 的交线，试求 。 例例2 设 ，L为D的正向边界，试证： 注注 此题与第一届真题类似，但后一问做法有所不同。2221xyz1xyz2xyds,01, 01Dx yxysinsinsinsin2yxyxLLxedyyedxxedyyedx 例例3 设函数 导数连续，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分的值为常数。 (1) 设L为正向闭曲线 ，证明 (2) 求函数 。 x 422Cxydxx dyxy2221xy 4220Lxyd

23、xx dyxy x (3) 设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 注注 此题为真题。 例例4 求 ，其中L为自A(-1,0)沿y=x2-1至B(2,3)的曲线弧。 注注 此题为习题集上许多学生疑惑的一个问题。 422Cxydxx dyxy22Lxdyydxxy 例例5 设函数 导数连续，对平面上任一分段光滑的曲线L，曲线积分I = 与路径无关。 (1) 当 时，求 (2) 设L为从点O(0,0)到 的分段光滑曲线，计算I。 注注 此题为与微分方程结合的典型题。 ,xx 22222Lxyydxxyxyxydy 02,01 ,xx,2N 例例6 设 在 上导数连续，求其中L是从点 到点B(1,2

24、)的直线段。 注注 请注意此题的解题思路。 , 22211Ly f xyxdxy f xydyyy23,3A f x (2) 面积分的计算与高斯公式面积分的计算与高斯公式 例例7 设S是椭球面 的上半部分 ， 为S在P点处的切平面， 为原点到 的距离，求 注注 此题为常见综合题。222122xyz0z ,PS, ,x y z3, ,SIzx y z dS 例例8 设S是上半椭球面 点 ， 为S在P点处的切平面， 为原点到 的距离，求 (1) (2) 注注 注意问题(2)中所用内容。2221022xyzz, ,P x y zS1, ,SzIdSd x y z, ,d x y z22()1, ,SIdydzdzdxdxdydx y z上 例例9 计算曲面积分其中 为曲面 夹