数学： 311《直线的倾斜角和斜率》课件(新人教版A必修2)

1、一次函数的图象有何特点一次函数的图象有何特点?给定函数给定函数y=2x+1,如何作出它的图像如何作出它的图像? 一般地一般地, ,一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的图象是一条的图象是一条直线直线, ,它是以满足它是以满足y=kx+by=kx+b的每一对的每一对x x、y y的值的值为坐标的点构成的为坐标的点构成的. .三角函数值三角函数值sincostan045309060135120150180000001111 1 22222222 21211221 3223 23233333 33 不存不存在在back 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何在平面直角坐标系中，点用坐标表示，

2、直线如何表示呢？表示呢？xyOlP（x，y） 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来法把这些几何要素表示出来 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的，它的位置由哪些条件确定？位置由哪些条件确定？xyOl 我们知道，两点确定一条直线一点能确定我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线，直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？x

3、yOlllP 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，它们都经过点它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？区别在哪里呢？xyOlllP 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程度呢？xyOlllP 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：何要素是： 直线上的一个直线上的一个定点定点以及它的以及它的倾斜角倾斜角， 二者二者缺一不可缺一不可xyOlP 当直线当直线 l 与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作

4、为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角 叫做叫做直直线线 l 的倾斜角的倾斜角（angle of inclination） xyOl 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 .0直线的倾斜角直线的倾斜角 的取值范围为：的取值范围为：.1800 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同度相同

5、的直线其倾斜角相同 倾斜程倾斜程xyOlll 已知直线上的一个点不能已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角知直线的倾斜角也不能确定也不能确定一条直线的位置一条直线的位置 但是，但是，直线上的一个直线上的一个点点和和这条直线的这条直线的倾斜角倾斜角可以唯一确可以唯一确定一条直线定一条直线日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）前进前进升升高高例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者比较，前者更陡一些，因为坡度（比）更陡一些，因

6、为坡度（比）2223前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比） 一条直线的倾斜角的正切值叫做这一条直线的倾斜角的正切值叫做这条条直线的斜率直线的斜率（slope）. 倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？90 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直线的斜率不存在90如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡坡度（比）度（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角的正切的正切”通常用小写字母通常用小写字母k表示，即表示，即 tan k)90( 如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 45 . 145tan k当当 为锐角时，为锐角时， .t

7、an)180tan( 如：倾斜角为如：倾斜角为 时，由时，由135 145tan135tan k即这条直线的斜率为即这条直线的斜率为. 1 倾斜角倾斜角不是不是90的直线都有斜率，并且倾的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度率表示直线的倾斜程度直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,当直线当直线l l与与x x轴相交时，轴相交时，取取x x轴作为基准，轴作为基准， x x轴正向与直线轴正向与直线l l向上方向之向上方向之间所成的角间所成的角 叫做直线叫做直线l l的的倾斜

8、角倾斜角. .当直线和当直线和x x轴平行或重合时，我们规定直线的轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为倾斜角为0 00 0. .00180,0 倾斜角不是倾斜角不是90900 0的直线，它的倾斜角的正切叫做这的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的条直线的斜率斜率，常用，常用k k来表示来表示. . tan k)90( 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直线的斜率不存在90倾斜角与斜率的关系倾斜角与斜率的关系 已知直线倾斜角求斜率：已知直线倾斜角求斜率： 为锐角时，为锐角时，k0; k 越大越大,直线倾斜度越大直线倾斜度越大 为钝角时，为钝角时，k0 时时, 为锐角；为锐角； k00=0不

9、存在不存在)( ;,)2(故所有直线均有斜率所有直线均有倾斜角)( ;,)3(线倾斜角不存在轴的直故平行于轴的直线斜率不存在平行于yy).(,)4(则直线的斜率越大直线的倾斜角越大:两点间斜率公式的斜率则上两点是直线和若llyxPyxP,),(),(2221111212xxyyktan)90(021即xx关系为的大小的斜率在图中的直线 , ) 1 (321321kkkllll1l2l3kkk132下列哪些说法是正确的下列哪些说法是正确的（ ）A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大、直线的倾斜角越大，斜率也越大C 、平行于、平行

10、于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F 、直线斜率的范围是、直线斜率的范围是RG、过原点的直线，斜率越大，越靠近、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。轴。back若直线若直线 的倾斜角分别是的倾斜角分别是 ,则下则下列四个命题中正确的是列四个命题中正确的是( )A.若若 ,则两直线斜率则两直线斜率B.若若 ,则两直线斜率则两直线斜率C.若两直线斜率若两直线斜率 ,则则D.若两直线斜率若两直线斜率 ,则则12,l l12, 12

11、 12kk 12 12kk 12kk 12 12kk 12 D已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点给定两点P1 （ x1 ，y1），）， P2 （ x2 ，y2），）， 并且并且x1 x2，如何计算直线，如何计算直线P1 P2的斜率的斜率k 当当 为锐角时，为锐角时， .,212121yyxxPQP 在直角在直角 中中QPP21 12121221|tantanxxyyQPQPPQP 设直线设直线P1 P2的倾斜角为的倾斜角为（ 90 ），当），当直线直线P1 P2的的方向（即从方向（即从P1指向指向P2的方向）的方向）向上时，过点向上时

12、，过点P1作作 x 轴的平行轴的平行线，过点线，过点P2作作 y 轴的平行线，轴的平行线，两线相交于点两线相交于点 Q，于是点，于是点Q的的坐标为（坐标为（ x2，y1 ） tan)180tan(tan 当当 为钝角时，为钝角时， ,18021PQP ,21xx .21yy 在直角在直角 中中QPP21 1212211212|tanxxyyxxyyQPQP .tan1212xxyy 同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有12PP.tan1212xxyy )( :),(),(211212222111xxxxyykyxPyxP的直线的斜率公式经过两点公式的特点公式的特点: :(1)

13、与两点的顺序无关与两点的顺序无关;(2) 公式表明公式表明,直线对于直线对于x轴的倾斜度轴的倾斜度,可以通过可以通过直线上任意两点的坐标来表示直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直而不需要求出直线的倾斜角线的倾斜角;(3)当当x1=x2时时,公式不适用公式不适用,此时直线与此时直线与x轴轴垂直垂直,=900 1已知直线上两点已知直线上两点 ，运用，运用上述公式计算直线上述公式计算直线 斜率时，与斜率时，与 两点坐标的顺两点坐标的顺序有关吗？序有关吗？),(),(222111yxPyxPAB 21,PP无关无关 2当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜轴重合时，上述

14、斜率公式还适用吗？为什么？率公式还适用吗？为什么？不适用不适用 当直线当直线 与与 轴平行或重合时，上述式子还成轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？立吗？为什么？12PPx 经过两点经过两点 的直线的的直线的斜率公式为：斜率公式为：)(,(),(21222111xxyxPyxP.tan1212xxyy 成立成立12()xx 直线方程的概念直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直

15、线直线的方程的方程，这条直线就叫做这个，这条直线就叫做这个方程的直线方程的直线. . 0bc0,D.ab 0bc0,C.ab 0bc0,B.ab 0bc0,A.ab ) (,0 则三象限二在第一若直线cbyaxD如图，直线如图，直线l l1 1的倾斜角的倾斜角1 1=30=300 0， 直线直线l l1 1ll2 2，求，求l l1 1、l l2 2的斜率的斜率. . 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求，求直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是锐角还是钝角),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C解：直线解：直线AB的

16、斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率; 1333021 CAk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0 BCk 例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为分别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 321,lll4l,00111 xy即即.11yx 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式有有:1l),(11yx1A

17、 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过过原点及原点及 的直线即为的直线即为 11 x11 y1A)1 , 1()1 , 1(1A1lxy1A3A2A4A1l3l2l4l 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线的直线2l),(222yxA),(333yxA),(444yxA3l4l.,),2 , 2(),2, 1(),1, 1 (),3 , 2(. 3锐角还是钝角并判断它们的倾斜角是线的斜率的四条边所在直求四边形的四个顶点是已知四边形例ABCDDCBAABCD:.的值数计算满足下列条件的实练m;12)3 , 1

18、(),6 ,() 1 (的直线的斜率是经过两点mBmA .60) 12,(),2 ,()2(0是的直线的倾斜角经过两点mmBmA.,)4 , 3(),0 , 1(),2 , 1 (. 4说明理由一直线上这三点是否在同三点已知例CBA;),65,6() 1.(5的取值范围求斜率已知倾斜角例k.),1 , 1()2(的取值范围求倾斜角已知斜率k1.求经过下列两点的斜率倾斜角求经过下列两点的斜率倾斜角 (1)(2) 2.已知已知a,b,c是两两不等的实数是两两不等的实数,求经过求经过下列两点直线的倾斜角下列两点直线的倾斜角.(1) (2)(3)18 8(, )C44( ,)D 0 0( , )P13(,)Q ( , )( , )A a cB b c ( , )( , )C a bD a c ( ,)( ,)P b bcQ a ac back67k 3k 0 90 45 3已知下列直线的倾斜角已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率求直线的斜率(1)(2)(3)(4)30 45 120 135 33k 1k 3k 1k backback分析分析:已知三点已知三点A,B,C.如果直线如果直线AB,AC的斜率的斜率相同相同,那么这三点在同一条直线上那么这三点在同一条直线上.作业作业:补充补充:求经过下列