“中考数学专题复习--圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)(共15页)

1、经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口 就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】三模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直

2、径】【模型四：四点共圆】四“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。五“隐圆”题型知识储备六“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】1.（2017 威海）如图 1，ABC 为等边三角形，AB=2，若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB=ACP，则线段 PB 长度的最小值为_ 。简答：因为PAB=PCA，PAB+PAC=60，所以PAC+PCA=60，即APC=120。因为 AC 定长、APC=120定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角APC=120，通过简单推导可知圆心角AOC=60，故以 AC 为边向下作等边AOC，以 O 为圆心，O

3、A 为半径作O，P 在O 上。当 B、P、O 三点共线时，BP 最短（知识储备一：点圆距离），3此时 BP=2-22. 如图 1 所示，边长为 2 的等边ABC 的原点 A 在 x 轴的正半轴上移动，BOD=30， 顶点 A 在射线 OD 上移动，则顶点 C 到原点 O 的最大距离为 。简答：因为AOB=30（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O 三点共圆，圆心角为 60，故以 AB 为边向 O 方向作等边ABQ，AQB=60为圆心角，Q 为圆心，以 QA 为半径作 Q （ 如 图 2 ）， 由 知 识 储 备 二 可 知 当 OC AB 时 ， OC 距 离 最 大 ，33OC=OQ+Q

4、H+HC=2+=2+2【思考：若BOD=45呢？（提示：需要构造倍角3模型）】223. 如图 1，点 A 是直线 y=-x 上的一个动点，点 B 是 x 轴上的动点，若 AB=2，则AOB 面积最大值为（）2A. 2B.+ 1C. -1D. 2简答：因为 AB=2（定弦），AOB=135（定角），因为AOB 是圆周角，故圆心角为 90，以 AB 为斜边向上方作等腰直角QAB，则 Q 为圆心（如图 2），由“知识储备二”可知，当 OQ AB 时 ， 此 时 OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为1 AB OH = 1 2 ( 2 - 1) =222 - 1 ，所以此题选

5、择 B。同学：老师，你说错答案了，选 C。小段老师：没错啊，就选 B 啊。同学：你是老师，你说了算，你开心就好.小段老师：题目有告诉你们 A、B 在哪里吗，为什么想当然觉得AOB=135呢，难道不可能等于 45吗？如图 3，构建Q，由“知识储备二”可知当 OQAB 时，此时OAB 的面积最大为 1 AB OH = 1 2 ( 2 +1) =222 +1 ，故答案选 B34. 如图 1，AC 为边长为 2 的菱形 ABCD 的对角线，ABC=60，点 M、N 分别从点 B、C 同时出发，以相同速度沿 BC、CA 向终点 C 和 A 运动，连接 AM 和 BN，求APB 周长的最大值简答：如图 2

6、，由 M、N 点速度相同可知 BM=CN，易证ABMBCN，故NBC=BAM（如图 2），又因为NBC+ABN=60，所以BAM+ABN=APN=60（外角性质），所以APB=120（定角），又因为 AB 长度固定（定弦），故以 AB 为底向左侧构建等腰 QAB，AQB=120，则 P 在Q 上，由“知识储备三”可知，当ABP 是等腰三角形时，3ABP 周长最短。又由APB 是定角为 120的等腰三角形，故 AP:BP:AB=1:1:，3AB=AC=2，故 PB=PA=2，故ABP 的周长最大值为 4+23【模型二：动点到定点定长】1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD,若CA

7、D=76，则CBD= 度。简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点在以 A 为圆心的圆上，故CBD= 1 2CAD=382. 如图，在ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若DAB=20，则ACB= 。简答：如图 2，因为 DA=DB=DC，故 A、B、C 三点在D 上，DAB=DBA=20，故ADB=140，故ACB= 1 ADB=7023. 如图 1，已知四边形 ABCD 中，ABCD，AB=AC=AD=5，BC=6，求 BD简答：因为1=2，ADBC，故3=1，4=2，故易证AEBACD，故 EB=CD=6， ED=2AD=10，故 BD=84. 如图 1，长

8、 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为？.简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点 P 到定点 O 的距离始终等于 1， 满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故 P 的运动轨迹是圆弧，圆心角为 90，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。5. 在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=3，现有一根长为 2 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的围形的面积为？如图 1如图 2简答：由上一题可知，P 的

9、运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点 P 所围成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案： 6 -p6. 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF=2， G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？如图 1如图 2简单：G 的运动轨迹为圆，求 AP+PG 典型的“将军饮马”问题，故做 A 关于 BC 的对称点A，则 AP+PG=AP+PG，当 A、P、G 三点共线时，最短，又因为 A为固定点，G 在圆上运动，由“知识储备一”可知当 A、G、D 三点共线时，此时 A

10、G 最短，为 47. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），B 为 y 轴正半轴上的点，C 为第一象限内的点，且 AC=2.设 tANBOC=M，则 M 的取值范围为？简答：因为 AC=2，A 是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆） 可知，C 在A 上运动，当 OC 与A 相切时，此时BOC 最小，tANBOC 也最小，此时BOC+AOC=AOC+CAO=90，故BOC=CAO，此时 tANCAO= OC =5 ，AC2又因为角度越大，正切值越大，故 tANBOC=M 528. 如图 1，在 RtABC 中，C=90，AC=7，BC=8，点 F 在边 AC 上，

11、并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是？简答：E 是动点，导致 EF、EC、EP 都在变化，但是 FP=FC=2 不变，故 P 点到 F 点的距离永远等于 2，故 P 在F 上运动，如图 2。由垂线段最短可知，FHAB 时，FH 最短， 当 F、P、H 三点共线时，PH 最短，又因为AFHABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因为 AF=5，故 FH=4，又因为 FP=2，故 PH 最短为 29. 如图，在ABCD 中，BCD30，BC4，CD 3 3 ，M 是 AD 边的中点，N 是AB

12、 边上一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到PMN，连接 PC，则 PC 长度的最小值是？简答：翻折过程中，MP=MA=2，故 P 在M 上运动，当 M、P、C 三点共线时，PC 最短。3PC=MC-MP，要求 MP 需要过 M 作 MHCD 于 H，HDM=30，故 HM=1，HD=，3故 HC=4，故易求 MC=7，则 PC=7-2=5【模型三：直角所对的是直径】1. 如图 1，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且始终有APBP，则线段 CP 长的最小值为？简答：如图 2，因为 APBP，P=90（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB

13、 为直径的H 上，当 H、P、C 三点共线时 CP 最短，HB=3，BC=4 则 HC=5，故 CP=5-3=22. 如图 1，A（1,0）、B（3,0），以 AB 为直径作圆 M，射线 OF 交圆 M 于 E、F 两点，C为弧 AB 的中点，D 为弦 EF 的中点，当射线绕 O 旋转时，CD 的最小值为？简答：因为 D 是 EF 中点，故 MDEF，故ODM 始终等于 90，故 D 在以 OM 为直径的圆上，如图 2。易知 A 为圆心，当 A、D、C 三点共线时，CD 最短，CD=AC-AD，又易22知 C（2,1），故 AC=，故 CD=-13. 在ABC 中,ABC=90,AB=6,BC

14、=8,O 为 AC 的中点,过 O 作 OEOF,OE、OF 分别交射线 AB,BC 于 E、F，则 EF 的最小值为？简答：因为EOF=90，C=90，故 C、O 均在以 EF 为直径的圆上（也称四点共圆），因为 EF 是圆的直径，O、C 均在圆上，且 OC 长度固定，要使得 EF 最短，则圆最小，要使圆最小，OC 为固定长度，则 OC 为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时 CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）4. 如图 1，已知 RtABC 中，AC5，BC12，ACB90，P 是边 AB 上的动点，Q 是边 BC 上的动点，且CPQ90，求线段

15、 CQ 的取值范围简答：以 CQ 为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，若 AB 边上的动点 P 在圆上，CPQ 就为直角当O 与 AB 相切时（如图 2），直径 CQ 最小由切线长定理，得 APAC5，所以 BP1358再根据BPOBCA，所以 OP 10 ，CQ 20 当点 Q33与点 B 重合时（如图 3），直径 CQ 最大，此时综上所述， 20 CQ1235. 如图 1，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点 F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为？3简答：因为CFA=90（

16、定角），AC=4（定弦），故 F 在以 AC 为直径的Q 上，当 E在 B 处时，F 在 G 处，当 E 在 D 处时，F 在 A 处，故 F 的运动路径为弧 AG 的长度，易求60出ACD=30，故AQG=60，故弧 AG 长度= 2 2 3= 2 336036.（2013 武汉）如图 1，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF连接CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是？简答：易证ABEDCF，DAGDCG，故DAG=DCG=ABE，又因为ABE+AEB=90，故EAH+AEH=90，故AHB=

17、90，故 H 在以 AB 为直径的O 上，5当 O、H、D 三点共线的时候 DH 最小，DH=OD-OH=-17.如图 1，在 RtABC 中，B=90，C=30，AB=1，D 为线段 AC 上一动点，将 BDC 沿着 BD 翻折，点 C 的对应点为 F，E 为 AC 的中点，在 D 从 C 到 A 的运动过程中， 当 EF 最短时，CD 为？简答：在折叠过程中，BF 始终等于 BC，故 F 到 B 点的距离是定值，F 在B 上，当 EF 最短时，B、E、F 三点共线（如图 2），此时BFD=BCD=30，FBD=CBD=15（因为 BE=CE，故EBC=BCE=30），故FDH=CDH=45

18、，FED=60，故 FDCE，3EF=BF-BE=-1 ， 又 因 为 DF=DC ， 在 Rt EDF 中ED = 1 EF =3 -1 ， 故CD=1-ED=1 -223 -1 = 3 - 32238.（2017 宿迁）如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB=1，BC=，点 E 在边 CD 上移动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 ABCE，点 B、C 的对应点分别为点 B、C（1） 当 BC恰好经过点 D 时（如图 1），求线段 CE 的长；（2） 若 BC分别交边 AD，CD 于点 F，G，且DAE=22.5（如图 2），求DFG 的面积；（3） 在点

19、 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C运动的路径长6简答：（1）“K 字形”秒杀，过程略，答案：- 2（2） 由翻折全等可知BAE=BAE=67.5，又因为DAE=22.5，故B6AF=45，故ABF、DFE 均为等腰直角三角形，后面略，答案： 5 -2（3） 折叠过程中始终有 AC=AC，故 C在以 A 为圆心，AC 为半径的圆上。根据点 E 在 C 时，C在 C 点，点 E 移动到 D 时，C在如图 3 位置，易求 C运动的圆弧的圆心角为 60，故 C运动的轨迹为 60 2 2= 2【模型四：四点共圆】36031. 如图 1，正方形 ABCD 中，EAF=45，AF 与 BD 交

20、于 N，AE 与 BD 交于 M，连接MF、NE，求证ANE、AMF 是等腰直角三角形简答：因为1=2=45，3=4，故 A、B、E、N 四点共圆，因为ABE=90，故 AE 为直径，故ANE=90，故ANE 是等腰直角三角形，同理可证AMF 是等腰直角三角形（此题也是很经典的“半角模型”问题之一）2. 如图 1，等边ABC 中，AB=6，P 为 AB 上一动点，PDBC，PEAC，则 DE 的最小值为？简答：因为PEC=PDC=90，故四边形 PDCE 对角互补，故 PDCE 四点共圆，如图 2。EOD=2ECD=120，故 ED= 3R ，要使得 DE 最小则要使圆的半径 R 最小，故直径 PC最小，当 CPAB 时，PC 最短为3，故 R= 3 3 ，故 DE=323R =3 3 3 = 9223.