3.1.1　函数的概念（解析版）

1、3.1.1函数的概念一、知识点归纳知识点1. 函数的有关概念(1)函数的概念函数的定义一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x),xA定义域x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域函数值与x的值相对应的y值值域函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值相同,那么这两个函数是同一个函数(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数

2、的三要素,缺一不可知识点2知识点二区间及相关概念(1)区间的概念及记法设a,b是两个实数,而且ab,我们规定：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半闭半开区间a,b)x|axb半开半闭区间(a,b(2)无穷大实数集R可以用区间表示为(,),“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示x|xaa,)x|xa(a,)x|xb(,bx|xb(,b)二、题型分析题型一 函数的定义【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A1,2,3,B7,8,9,f(1)f(2)7,f(3)

3、8；(2)A1,2,3,B4,5,6,对应关系如图所示；(3)AR,By|y0,f：xy|x|；(4)AZ,B1,1,n为奇数时,f(n)1,n为偶数时,f(n)1.【参考答案】见解析【解析】对于集合A中的任意一个值,在集合B中都有唯一的值与之对应,因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数(3)A中的元素0在B中没有对应元素,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.【规律方法总结】(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法

4、：A,B必须都是非空数集；A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应【注意】A中元素无剩余,B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多”【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()AAR,BR,x2y21 BA1,2,3,4,B0,1,对应关系如图：CAR,BR,f：xy DAZ,BZ,f：xy【参考答案】B【解析】：A错误,x2y21可化为y,显然对任意xA,y值不唯一B正确,符合函数的定义C错误,2A,在B中找不到与之相对应的数D错误,1A,在B中找不到与之相对应的数

5、题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域(1)y3x；(2)y；(3)y；(4)f(x).【参考答案】见解析【解析】(1)函数y3x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义,故x10,即x1.又x20,即x2,所以x2且x1.所以函数y的定义域为x|x2且x1(3)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x5,且x3,所以函数y的定义域为x|x5且x3(4)要使函数f(x)有意义,则即解不等式组得1x1.因此函数f(x)的定义域为x|1x1【规律方法总结】求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零；(3)若f

6、(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子组成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义【变式2】设全集为R,函数f(x)的定义域为M,则RM为()A(2,) B(,2)C(,2 D2,)【参考答案】A【解析】：由2x0解得x2,所以M(,2,所以RM(2,)【变式3】函数f(x)的定义域为_【参考答案】：x|x0且x1【解析】：要使有意义,需满足解得x0且x1,故函数f(x)的定义域为x|x0且x1题型三 同一函数【例3】下列函数中哪个与函数yx是同一个函数？(1)y()2;

7、(2)u；(3)y； (4)m.【参考答案】见解析【解析】(1)y()2x(xx|x0),它与函数yx(xR)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数yx(xR)不是同一个函数(2)uv(vR),它与函数yx(xR)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数yx(xR)是同一个函数(3)y|x|它与函数yx(xR)的定义域都是实数集R,但是当x0时,它的对应关系与函数yx(xR)不相同所以这个函数与函数yx(xR)不是同一个函数(4)mn(nn|n0),它与函数yx(xR)的对应关系相同但定义域不相同所以这个函数与函数yx(xR)不是同一个函数【规律方法总结】判断同一

8、函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时,必须是等价变形；与用哪个字母表示无关【变式4】试判断下列函数是否为同一函数(1)f(x),g(x)x1；(2)f(x),g(x)；(3)f(x)x2,g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|,g(x).【解析】：序号是否相同原因(1)不同定义域不同,f(x)的定义域为x|x0,g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同,f(x),g(x)(3)不同定义域相同,对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同【点睛】判断两个函数是否为同一函数,要看三要素是否对应相同函数的值域可由定义域及对应关系来确定,因而只要判断

9、定义域和对应关系是否对应相同即可题型四求函数的值、值域问题【例4】(1)f(x)2x22,g(x),则f(2)_；g(f(2)_；g(a)g(0)(a2)_.(2)求下列函数的值域：yx1,x1,2,3,4,5；yx22x3,x0,3)；y；y2x.【参考答案】：10【解析】(1)因为f(x)2x22,所以f(2)222210,又因为g(x),所以g(f(2)g(10),g(a)g(0)(a2)(2)观察法：因为x1,2,3,4,5,分别代入求值,可得函数的值域为2,3,4,5,6配方法：yx22x3(x1)22,由x0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为2,6)分离常数法：y2

10、,显然0,所以y2.故函数的值域为(,2)(2,)换元法：设t,则t0且xt21,所以y2(t21)t22,由t0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为.【规律方法总结】1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域；(4)换元法：即运用新元

11、代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a,b,c,d为常数,且a0)型的函数常用换元法【变式5】求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.【解析】：(1)因为0,所以11,即所求函数的值域为1,)(2)因为y1,又函数的定义域为R,所以x211,所以02,则y(1,1所以所求函数的值域为(1,1三、课堂达标检测1下列各个图形中,不可能是函数yf(x)的图象的是()【参考答案】：A【解析】：对于1个x有无数个y与其对应,故不是y的函数2.已知函数f(x)1,则f(2)的值为()A2B1C0 D不确定【参考答案】：B【解析】：因为函数f(x)1,所以不论x

12、取何值其函数值都等于1,故f(2)1.故选B.3下列各组函数中,表示同一函数的是()Ayx1和yBy和y()2Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x)【参考答案】：D【解析】：只有D是相同的函数,A与B中定义域不同,C是对应法则不同4函数y1的定义域为()A1,)B(,1C2,) D(,2【参考答案】D【解析】：要使函数式有意义,需2x0,解得x2.5用区间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|21,且x2_.【参考答案】：(1)1,)(2)(2,4(3)(1,2)(2,)6已知函数f(x)2x3,xxN|1x5,则函数f(x)的值域为_【参考答案】：1,1,3,5,7【解析

13、】：定义域为1,2,3,4,5,逐一代入求值可得值域为1,1,3,5,77.下列各组函数是同一个函数的是_(填序号)f(x)与g(x)x；f(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.【参考答案】【解析】f(x)x,g(x)x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不是同一个函数；f(x)x01(x0),g(x)1(x0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1,对应关系和定义域均相同,故是同一个函数8.若f(x)(x1),求f(0),f(1),f(1a)(a2),f(f(2)的值【参考答案】2【解析】：f(0)1,f(1)0,f(1a)(

14、a2),f(f(2)2.四、课后提升作业一、选择题1已知f(x)x21,则f(f(1)()A2B3C4 D5【参考答案】D【解析】：因为f(1)(1)212,所以f(f(1)f(2)2215.2已知Mx|2x2,Ny|0y2,函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是()【参考答案】B【解析】：A项中函数的定义域为2,0,C项中对任一x都有两个y值与之对应,D项中函数的值域不是0,2,均不是函数f(x)的图象故选B.3下列各组函数表示相等函数的是()Ay与yx3(x3)By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dy2x1,xZ与y2x1,xZ【参考答案】C【解析】：选项A、B

15、及D中对应关系都不同,故都不是相等函数4函数f(x)的定义域是()A. B.C. D.【参考答案】B【解析】：由可得x1,从而得B参考答案5若函数f(x)ax21,a为一个正数,且f(f(1)1,那么a的值是()A1 B0C1 D2【参考答案】A【解析】：f(x)ax21,f(1)a1,f(f(1)f(a1)a(a1)211.a(a1)20.又a为正数,a1.6已知函数yf(x),则函数与直线xa的交点个数有()A1个 B2个C无数个 D至多一个【参考答案】D【解析】根据函数的概念,在定义域范围内任意一个自变量x的值都有唯一的函数值与之对应,因此直线xa与函数yf(x)的图象最多只有一个交点7

16、已知等腰三角形ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数关系式为y102x,则此函数的定义域为()AR Bx|x0Cx|0x0,x102x,x,此函数的定义域为.8.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为yx2,值域为1,4的“同族函数”的个数为()A6 B9 C12 D16【参考答案】B【解析】由题意知,问题的关键在于确定函数定义域的个数函数解析式为yx2,值域为1,4,当x1时,y1,当x2时,y4,则定义域可以为1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,2,因此“同族函数”共有9

17、个二、填空题9设f(x),则f(f(a)_.【参考答案】：(a0,且a1)【解析】：f(f(a)(a0,且a1)10函数y2x4的值域为_(用区间表示)【参考答案】：(,4【解析】：令t,则x1t2(t0),y2x422t24t2(t1)24.又t0,当t1时,ymax4.故原函数的值域是(,411设常数aR,函数f(x)|x1|x2a|,若f(2)1,则f(1)_.【参考答案】3【解析】由f(2)1|22a|1,可得a4,所以f(1)|11|14|3.12若函数yx23x4的定义域为0,m,值域为,则m的取值范围为_【参考答案】【解析】当x0或x3时,y4；当x时,y,m.13已知函数f(x

18、)的定义域为R,则k的取值范围是_【参考答案】0k0恒成立当k0时,30恒成立,所以满足题意；当k0时,须使解得0k1.综上所得,k的取值范围为0k1.三、解答题14试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)(x1)21,x1,0,1,2,3；(2)f(x)；(3)f(x)x.【参考答案】见解析【解析】：(1)函数的定义域为1,0,1,2,3,则f(1)(1)1215,同理可得f(0)2,f(1)1,f(2)2,f(3)5,所以函数的值域为1,2,5(2)函数的定义域是x|x1,y5,所以函数的值域为y|y5(3)要使函数式有意义,需x10,即x1,故函数的定义域是x|x1设t,则xt21(t0),于是f(t)t21t2.又t0,故f(t).所以函数的值域是.15(1)已知函数f(x)的定义域为1,5,求函数f(x5)的定义域；(2)已知函数f(x1)的定义域是0,3,求函数f(x)的定义域；(3)若f(x)的定义域为3,5,求(x)f(x)f(x)的定义域【参考答案】见解析【解析】(1)由1x55,得4x10,所以函数f(x5)的定义域是4,10(2)由0x3,得1x12,