概率统计练习题库

1、精品文库 数理统计练习题 一、填空题 1、设 A B 为随机事件，且 P(A)=0.5 , F(B)=0.6 , F(B A)=0.8，贝U F(A+B)=_ 0.7 _ o 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为 80，则此射手的命中率-o 813 3、设随机变量 X服从0 , 2上均匀分布，则D(X) E(X) =1/3 4、设随机变量X服从参数为 A的泊松(Poisson)分布，且已知 E(X -1)(X -2) = 1,则a = 丄 o 5、一次试验的成功率为 最大值为25 o 进行1OO次独立重复试验，当 P=12 时，成功次数的方差的值最大, 6、( X, Y)服从二维

2、正态分布 Na卍2,W2,b2,P)，则 X的边缘分布为N(41,b12)_o 32 7、已知随机向量(X, Y)的联合密度函数 f (x,y2xv , L 0, u-x- 2O-y-i，贝u E(x)= o 其他2 8、随机变量 X的数学期望 EX =卩，方差DX =b2 , k、 b 为常数，则有 E(kX +b)=_k+b,； D(kX +b) = k2cr2 o 9、若随机变量 XN( 2,4) ,YN(3 ,9)，且X与Y相互独立。设Z= 2X- Y+5,则ZN(-2,25) o 10、 q, q是常数e的两个 无偏 估计量，若D傅) 1=，贝y PY1= 一 o 927 设随机变量

3、 X服从参数为2的泊松分布，且 Y =3X -2,则E(Y)=4 设随机变量 X服从0,2上的均匀分布，Y=2X+1，贝y DY)= 4/3 设随机变量 f(x)=fO 1、 2、 3、 4、 5、 6、 X的概率密度是: 20 xa = 0.784，则 a =O.6 o (X/)2 (X2 - 4x 中 4)e2 dx = Jo 欢迎下载19 7、 9、 已知随机向量(X, Y)的联合密度函数0兰X兰，则E(Y)= 3/4 o L 0,其他 设(X, Y)为二维随机向量，D(X)、D(Y均不为零。若有常数 a0与b使 Pk = -aX +b = 1，则X与Y的相关系数PxY =丄o 若随机变

4、量 XN(1 , 4) , YN(2 , 9)，且X与Y相互独立。设 Z= X Y+3,则ZN (2, 13) o 10、设随机变量XN(1/2 , 2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“ X Z=ot，贝y PIt 吒一a=旦。 2 n Z Xi2 x2(n) o y 已知总体X - N (0, 1)，设X1, X2,，兀是来自总体X的简单随机样本，则 10、已知随机向量(X, Y)的联合密度函数 f(x, y)= 0 x 2,0 y 0都存在，令Y= (X -EX)/J5X，贝y Df= 1 o X服从区间0 , 5上的均匀分布，Y服从Z =5的指数分布，且 X, Y相互独立，则(X,

5、Y)的 XN(P,b2)，其密度函数f (x) 联合密度函数f (x, y)=OEx兰5,八0 o 0其它 7、 9、 随机变量 X与Y相互独立，且 D(X)=4 , QY)=2，贝y D3X 2Y ) = 44 o n 设X1,X2，Xn是来自总体X N (0, 1)的简单随机样本，则 2 (XX)2服从的分布为x2( n-1) o i 1 1 1 -, ,-，则目标能被击中的概率是 5 4 3 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为 Rxey, 0 x1yA0 I 0其它 X 0 1 P 1 1 2 2 2、设随机变量 X的分布律为 3/5 o 10、已知随机向量(X,

6、 Y)的联合概率密度f (x, y)- 则 EY = 1/2 o 1、设 A,B 为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3 ，则 P( AB )= 0.6 ，且X与Y独立同分布，则随机变量Z = maxX Y 的分布律为 3、 4、 5、 6、 7、 Z 0 1 P 1 3 4 4 。 设随机变量 X N (2，CT2)，且 P2 X 4 = 0.3，贝U PX U=e。 已知随机变量 X的概率密度为fx(X)，令丫 = -2X，则丫的概率密度 设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为 n Z (Xi X)2 X1，X2，Xn是取自总体 N (巴CT2 的样

7、本，则 亠2 0.4 , x2(n 已知随机向量(X Y)的联合概率密度f(x y)=4Xey, 0 fY(y)为 j 心)。 则 D(X) = 2.4。 -1)。 0笃它小，则EX 4。 称统计量 助参数日的 无偏 估计量，如果E(8)=0。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 1、 设 A B为两个随机事件，若RA)=0.4 , P(B)=0.3 , P(A. B) = 0.6，则 P(AB) = 0.3。 2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为 3、设随机变量XN(1/4，9)，以丫表示对X的5次独立重复观察中 9、 小概率事件原理。

8、 0.4，贝y E(X2) = 18.4。 “X0，则ey =_。 0其它 已知总体XN(巴CT2), X1,X2，Xn是来自总体 X的样本，要检验 Ho： 量是(n T)S2 10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若P彳T 丄a，贝U Pb /. = 1、 2、 3、 4、 5、 6、 b 2 = CT 2，则采用的统计 1-。 _2 设 A B为两个随机事件，P(A)=0.4,RB)=0.5， P(AB) =O.7，贝U P(aU B) = 0.55。 设随机变量 XB (5, 0.1)，贝y D(1 2X )=丄8 37 一，则每次射击击中目标的概率为1/4。 64 设随机变量 X的

9、概率分布为 P(X =1) =0.2, P(X =2) =0.3, P(X =3)=0.5，则X的期望EX= 2.3。 将一枚硬币重复掷 n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和丫的相关系数等于一。 设(X Y)的联合概率分布列为 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 7、 2 1/9 1/3 2/9 1 1/18 a b 若X、Y相互独立，则a = 1/6, b = 1/9 o 设随机变量X服从1 , 5上的均匀分布，则 Pfc X 4=O 1 1 1 三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为11，丄，则密码能被译出的概率是3/5 O 5 4 3 若X

10、N(A1,cr2),X1,X2，Xn是来自总体 X的样本， X,S2分别为样本均值和样本方差，则 ()亦t (n-1) S 10、 2/Jn C.N(0,1); J2/Jn 1、已知A、B、C为三个随机事件，则 D )。 B. D. A. ABC B. ABC C. A+B+C 2、下列各函数中是随机变量分布函数的为 (n)； A)。 D. ABC A. F(x)=,二 cx c 处 1 +x B. F(x) !0 x X 0 C. F(x) =e： Y 0 x +丄 2兀 arctgx, 一比 cxK 3、(X,Y)是二维随机向量，与 Cov(X,Y)=0不等价的是(D ) A. E(X Y

11、) =E(X)E(Y) B. D(X +Y) = D(X) + D( Y) C. D(X -Y) =D(X) +D(Y) D. X和Y相互独立 4、设(x)为标准正态分布函数, 1,事件A发生 Xi二0,否则 i =1, 2,100, 且 P(A) =0.2 , X1, X2,，X100 相互独立。令 100 Y =2 Xi ,则由中心极限定理知 丫的分布函数F(y)近似于(B i 1 A.(y) B .(竺型) 4 5、设总体X N(比22)，其中4未知， 2 为s ,则下列各式中不是统计量的是( 2 B. C .(16y-20) D .(4y-20) Xi,X2，,Xn为来自总体的样本，样

12、本均值为 A. 2X C. D(nTs2 D.扌 1、 若随机事件 A与B相互独立，则P(A + B)= A. P(A) + P(B) B. P(A) + P(B)- P(A)P(B) 2、设总体X的数学期望EX= ，方差 的估计量中最有效的是(D ) 1111 A. -X1 +X2 +X3 + X3 6633 3411 C. -Xt +-X2 X3 X4 51525 3 54 3、设(x)为标准正态分布函数， ；1,事件A发生 10,否则 100 Y =送Xi ,则由中心极限定理知 丫的分布函数F(y)近似于(B i壬 DX=X1, X2, X，样本方差 C. P(A)P(B)D. P(A)

13、 +P(B) X3, X4是来自总体X的简单随机样本，则下列 i =1, 2, 5) B .诗 4、设离散型随机变量的概率分布为P(X J U 3 3 11 D. -X-X2 4 4 1 1 1 B. -X1 +-X2 +-X3 +- X3 4 3 ,100,且 P(AH 0.3 , X 1, X 2, X 100相互独立。 C .(y 30) D . 21 k +1 =k)=,k =0,1,2,3，则 10 D. 2.4 C )。 (y-30) E(X) =( B )。 A. 1.8B. 2C. 2.2 5、在假设检验中，下列说法错误的是( H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。 H1不真时接受

14、H1称为犯第一类错误。 设P拒绝H 0 I H 0真, P接受H 0 I H。不真 = P，则a变大时P变小。 a、P的意义同(C),当样本容量一定时，a变大时则P变小。 A A. B. C. D. 1、若A与B对立事件，则下列错误的为( A. P (AB) = P(A) P(B) B. P (A + B)=1 C. P (A+B) =P( A) + P(B) D. P (AB)=0 2、下列事件运算关系正确的是( A D. b = i-B A. B = BA + BA B. B = BA + BA C. B = BA+ BA 3、设(X)为标准正态分布函数， f1,事件A发生 X i = i

15、o,否则 i =1, 2,100,且 P(A) =0.4， X1, X2, , X100 相互独立。令 100 Y = Xi，则由中心极限定理知 i 4 Y的分布函数F ( y)近似于(B A. e.唏) .(y-40) D .( y-40) 24丿 )。 B. X与丫不相关 4、若 E(XY) =E(X)E(Y)，则(D A. X和Y相互独立 C. D(X Y) =D(X)D( Y) D. D(X +Y) = D(X)中 D(Y) X, 丫一定相互独立； X,Y相互独立，则 若PXY = 0，则X, Y 定相 A. B. C. D. 1、设随机事件A、 B互不相容， P(A) =p, P(B

16、) = q， 贝U P(AB)= A. (1- P)q B. pq C. q D. Cov (X Y ) =0。几种说法中正确的是 )。 (C A, B是两个随机事件，则下列等式中 是不正确的。 2、设 C 5、若随机向量(X,Y)服从二维正态分布，则 互独立；X和Y都服从一维正态分布；若 B A. P(AB) = P(A)P(B)，其中 A，B相互独立 C. P(AB) = P(A)P(B)，其中 A，B互不相容 B. P(AB) = P(B)P(AB)，其中 P(B)h0 D. P(AB) = P(A)P(B| A)，其中 P(A) H 0 3、设(x)为标准正态分布函数, _J1,事件A

17、发生 . Xi 二l0,否则 =1, 2,100,且 P(A) =0.5， X1，X2,，X100相互独立。令 100 Y =2 Xi，则由中心极限定理知 Y的分布函数F(y)近似于(B i 4 A.(y) B (y 50) C .(y -50) D 5 4、设随机变量 X的密度函数为f(X)，则Y = 5 2X的密度函数为( 1 y _5 A. 2 2 c.If 古) 22 1 y 5 B.訂* D. 2f仔 2 2 5、设Xi ,X2，,Xn是一组样本观测值，则其标准差是( B )。 1 n_ 2 A.权XT B. 1 n 曲2 C.丄 (Xi -x)2 n i 4 D. -Z (Xi X

18、) n id 1、若 A. C. A B相互独立，则下列式子成立的为(A P (AB) = P(A)P (B) P(A| B) =P(B | A) B. D. P(A) =0.6， C. 2、若随机事件 A, B的概率分别为 A.相互对立B. 相互独立 3、设(X)为标准正态分布函数， 1,事件A发生 i = 12 否则, )。 P (AB) =0 P(A|B) = P (B) P(B) =0.5，贝y A与 B一定(D 互不相容D.相容 Xi I0, 100 Y =Z Xi , i 1 100,且 P(A) =0.6 , 则由中心极限定理知 丫的分布函数F(y)近似于(B A.(y) X1

19、, X2，,X100相互独立。令 4、设随机变量 A. p 1P+4，则(B .(-=0)C .(y-60) D ,81) , Y Ng , 16)，记 p1 =PX p2D. N( B. X的密度函数为f(X),则Y = 7 5 X的密度函数为(B ) y 71y7 -一)B. -f (-) 555 y+7)D. 1f(上) 55 A和 B ,若 P(AB) = 0 ,贝( D B. AB=* C. P(A) P(B) = 0 D. P (A-B) = P(A) 0cP (B)1, P(B|A)= P(B|A),则必有(B P (AB) = P(A) P(B) Pl与P2的关系无法确定 2、

20、设A、B为两个随机事件, A. P (A|B)= P(A|B) 且 0 vP(A) 1 , B. C. P(AB) H P(A)P(B) D. A、B互不相容 3、设(x)为标准正态分布函数, 1,事件A发生 10,否则 =1, 2, ,100,且 P(A) =0.7 , X1, X2,X100 相互独立。 100 Y Xi , i 4 A.（y） 则由中心极限定理知 丫的分布函数F（y）近似于（B y 70y 70 B .如 C (y 70) D . 4、已知随机变量 X和丫相互独立，且它们分别在区间 -1, 3和2 , 4上服从均匀分布，则 E（XY）= (A A. 3 B. 6 C. 1

21、0 D. 12 5、设随机变量X 25)，记 p1 =PXP+5，则(B A.P 1P2D.P1与P2的关系无法确定 A. -2fX (号)B. 1fX( C. 扌 fX（-号）D. 1、设A1,A2两个随机事件相互独立，当 A1,A2同时发生时，必有 A发生，则（A A. P(a1a2H P(A) B. P(AA2) P(A) C. P(A1a2) = P(A) D.P(A) P(A2)= p(a) fY(y)为(A 2、已知随机变量 X的概率密度为fx（X），令Y = -2X +3 ,贝y Y的概率密度 3、两个独立随机变量 X ,Y，则下列不成立的是（ C A. EXY = EXEY B

22、. E(X +Y) = EX + EY C. DXY = DXDY D. D(X +Y) = DX + DY 4、设（x）为标准正态分布函数, 1,事件A发生 Xi*。，否则日，2，： Y =送Xi ,则由中心极限定理知 i i , 且P(AH 0.9 , X1, X2,，X100相互独立。令 Y的分布函数F （ y）近似于（B A.(y) B .( 5、设总体X的数学期望EX= 计量中最有效的是（B 111 A. -X1 +丄 X2+丄 X3 4 24 C. 3X1 +4X2-2X3 5 55 y-90） 3 ，方差 ） C （y-90） D （90） 9 DX= 2, X , X2, X3

23、是来自总体X的简单随机样本，则下列 卩的估 111 B. -X1+丄 X2 +丄 Xg 333 121 D. -X1 +X2 +X3 662 1、若事件A1, A2, A3两两独立，则下列结论成立的是（B ）。 A. A1, A2, A3相互独立 B. A1, A2 , A3两两独立 C. P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)D. A1, A2, A3相互独立 2、 连续型随机变量 X的密度函数f(X)必满足条件 A. 0 f(X)1 C. f f(x)dx=1 -oC B. D. 3、 设Xi ,X2是任意两个互相独立的连续型随机变量, 别为 Fi(x)和 F2(x)，则(B

24、 A. fl(x) + f2(x)必为密度函数 B. C. Fi(x) +F2(x)必为分布函数 D. C )。 在定义域内单调不减 它们的概率密度分别为 fl(x)和f2(x)，分布函数分 Fi(x) ”F2(x)必为分布函数 fl(x) f2(x)必为密度函数 4、 设随机变量X, Y相互独立，且均服从 A X Y B .(X, Y) 5、 设(x)为标准正态分布函数, Xi 1,事件A发生 0，否则 =1, 2,，n,且 P(A) = P， Xl, X2H, Xn相互独立。令 n Y =W Xj ,则由中心极限定理知 i吕 Y的分布函数F (y)近似于(B 0 , 1上的均匀分布，则服从

25、均匀分布的是(B )。 C X YD. X+Y np (1 P) A.(y) B 不(/nP ) C .(y np) D Jnp (1 p) (1)、已知5%勺男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人，求此人恰好 是色盲者的概率。 设A:表示此人是男性；B :表示此人是色盲。 则所求的概率为 P(B) = P(A)P(B |A) + P(A)P(B| A) =0.5X 0.05 + 0.5x 0.0025 = 0.02625 答：此人恰好是色盲的概率为0.02625。 三(2)、已知5%勺男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人，发现此人

26、不 是色盲，问此人是男性的概率。 设A:表示此人是男性；B :表示此人是色盲。 则所求的概率为 P(A)P(B I A) P(A)P(B| A)= 1 -P(A) P(B I A) + P(A) P(B| A) P(A|B)= P(B) 0.5X0.95 黑 0.4878 1 -0.02625 P(A)P(B I A) 1 P(B) 0.4878。 答：此人是男人的概率为0.48 7 8。 三(3)、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，求 精品文库 P(Ai)P(A2| A) 2启 10 9 _ 2 空9 10 答：第二次摸得白球，第一次取得也是

27、白球的概率为 三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货, 厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为 问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 2/9。 其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三 2%, 2%, 4%。若在市场上随机购买一件商品为次品, 解设A表示产品由第 i家厂家提供，i=1,2, 3； B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为 P(A1,By P(Ai)P(B| A) p（A1）P（B|A）+ p（A2）p（b|A2）+ p（A3）p（b| AO 第二次取得白球的概率。 解设A表示表示第i次取得白球，i=1,2。 则所求事件的概率为 P(A2)= P(A1)P

28、(A2|A1)+ P(A,)P(A2| A) 327393 X +X = = 1091093010 答：第二次取得白球的概率为3/10。 三（4）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，若 第二次取得白球，则第一次也是白球的概率。 解设A表示表示第i次取得白球，i=1,2。 则所求事件的概率为 P(A1)P(A2|A1)+P (A) P(AdA) 1 -X0.02 2 =0.4 111 X0.02 + X0.02 +X0.04 244 答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。 三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25% 3

29、5% 40%次品率分别为0.03、0.02、 0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1 ）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次 品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？ 解：设A1, A , A表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。 （1）所求事件的概率为 P(B) = P(Ai)P(B| Ai) +P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.25x 0.03 +0.35X 0.02 + O 0.01 = 0.0185 (2) p(A|B)=PA)PBA1 =册心8 P(B) 答：这件产品是次品的概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品

30、是乙车间生产的概率为0.38。 三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件 A,其余时间加工零件 B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工 零件A时停机的概率是 0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。 解：设Ci , C2，表示机床在加工零件 A或B, D表示机床停机。 （1）机床停机夫的概率为 P(B) = P(Ci).P(D|Ci) +P(C2).P(D IA2) P(Ci|D) = i cc 2 c , ii =XO.3 + -X0.4 = 3330 （2 ）机床停机时正加工零件 A的概率为 i 丄咒0.3 O 3=2. ii ii

31、30 P(Ci). P( D|Ci) P(D) 欢迎下载i3 三（ 8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5： 3: 2,各机床所加工 的零件合格率依次为 94%, 90%, 95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是 由甲机床加工的概率。 解设A， A2， A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分） 则所求事件的概率为 p(A|B)*3血 -3 S P(A)P(B|A) i三 1 906o 2 = 3 0.5x0.06 +0 aO.i 0+ 0.2X0.05 7 答：此废品是甲机床加工概率为3/7。 三（9）、某人外出可以乘

32、坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%, 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达，求他是乘坐 火车的概率。（10分） B表示误期到达。 解：设Ai, A，A，A分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具, 则 p(A2|b)=迪旦-P (A) P(B|A2) P(B) P(A)P(B|A) i zt 0.i5X0.3 = 0.209 0.05 X0 +0.15X0.3+0.3X 0.4+0.5X 0.1 答：此人乘坐火车的概率为0.209。 三 （ 10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种

33、交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%, 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。 B表示如期到达。 解：设Ai, A , A, A分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具, 4 则 P(B) =2 P(A)P(B| A) i 4 = 0.05x1+0.15x0.7+0.3x0.6+0.5x0.9 = 0.785 答：如期到达的概率为0.785。 四(1)设随机变量X的概率密度函数为 f(X) 0 x 1 其它 求(1) A; 解: (1 Ax, (2) X的分布函数 F (X) ;(3) P (0.5 X 2 )。

34、1Axd-x2 |0 = - =1 2 2 U f(x)dx = 0 A =2 (2)当 XC0时, 当0 X 1时, 0, 故 F(X)= X2, 1, X F(x)= r f(t)dt=0 XX2 F(x) = r f(t)dt= f 2tdt =X2 _QC0 X1 = Lcf(t)dtj02tdt=1 X c0 F(x) 0 x1 0 x 2 其它 F (X) ；(3) P (1.5 X 2.5) k 22 解：(1) JNf(x)dx=.0(kx+1)dx=(2X2+x)|2=2k+2=1 (2)当 x0时, X F(x) = Lf(t)dt=0 当0 x 2时, F(x) = JN

35、f(t)dt=1 0, X 0 故 F(x)= 2 4 X, 1, 02 (3) P (1/2X2 ) =F(2) F(1/2)=3/4 四(2)、已知连续型随机变量 X的概率密度为 kx+1, f (x) = 0, 求(1) k ； (2 )分布函数 乂2 k = 1/2 P (1.5X2.5 ) =F(2.5) F(1.5)=1/16 精品文库 四(3)、已知连续型随机变量 X的概率密度为 a JX,0 X 0.25)。 乂1 厂2 解：丿丿血二恥“血二孑二1 a =3/2 欢迎下载65 (2)当 x0时, 当0 x cl时, X F(x) = f(t)dt=0 XX F(x)= r f(

36、t)dt = uvrdt J _oC0 X F(x) = f(t)dt=1 = x3/2 x0 p 0, 0 1/4 ) =1 F(1/4)=7/8 四(4)、已知连续型随机变量 X 珂0,A) 其它 F (X) ；( 3) P ( 0.5 X 1)。 AC X的概率密度为 2x, f(x) = 4 0, 求(1) A；( 2)分布函数 -be 解：.f(x)dx = J02xdx=A2=1 A =1 (2)当 x0时, 当0 x 1时, X F(x)= r f(t)dt=0 X 当X知时, 故 F(x) r- 0, 2 X , 1, F(x) = JNf(t)dt = J02tdt=x2 X

37、 F(xH V(t)d1 X 0 0 x C X 二1 P (-0.5X1 ) =F(1) F(-0.5)=1 四(5)、已知连续型随即变量X的概率密度为 f(x)= 求(1) C； C I0, (2) x 1 其它 分布函数 F ( X) ；( 3) P (-0.5 X 0.5)。 -be 解：J(x)dx=L C1 -j=dx = carcsin x | . = =1 C =1/ 兀 (2)当 x1 时, X F(x) = J f(t)dt=0 G二 XX 11X 当 一 1 x 1 时，F(X)= f f (t)dt = f dt =arcsint | 1 1兀 =(arcsin x +

38、二) 兀2 X 当 X 到时，F(x) = f f(t)dt =1 0,XC1 故 F(x) = (arcsinx+y ),11 JI 1, (3) P (-0.5X0 (0,其它 求(1) A，B；( 2)密度函数f(X)； (1) Jim F(x)=A=1 四+F(x) = A +B =0 B = -1 (2) 解: f(x)= F(x) Jxea I0, P (1X2) =F(2) F(1)= (3) P (1 X0 X 0 -4/2-2 e -e 四（7）、已知连续型随机变量 X的分布函数为 F（X）= A + B arctanx 求（1） A，B； （2）密度函数f（X）; (3)

39、P (1 X2 )。 解: (1) lim J尹 A =1/2, 兀 F(x) =A +B =1 2 兀 F(x) = A B =0 2 B =1/ 兀 (2) 1 f(x)= F(x)= 兀(1 +x ) 1 P (0X2) =F(2) F(0)= arctan 2 兀 四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为 0, F(X)= aTX, X 0 0 1 P (0 X 0.25 )。 求（1） A；（2）密度函数 f（X）； （3） 解：四）人1 A=1 (2) f(x)= F(x)詔2仮 L0, 0 x c1 其他 P (0X2 求(1) A; X 2 f(X); (3) P (0 w

40、X 2 X 2 i_8 f(x) = F(X)=X3 P （ 0X4） =3/4 四（10）、已知连续型随机变量 X的密度函数为 f（x）xg L0, 兀2 0, 其它 求（1） a；（2）分布函数 F （X） ；（3） P （ 0.5 X 0.5 ）。 解：V（x）dx訂争x-1 (2)当 x0时, 当0 x 兀时, x F(x)=r f(t)dt=0 2 xx 2t x F(x) = f f(t)dt = 0rdt =r 、皿兀兀 x F(x) = f(t)dt=1 故 F(x) = 0, 2 X X 兀 P (-0.5X w z) = 0; 当 z0 时，F Z (z) = P (Zw

41、z) = P (max ( X, Y) w z) =P (Xw乙 Ywz) = P (Xwz)P (Ywz) = aedx 1 Pedy =(1 _6住)(1 -e)。 因此，系统L的寿命Z的密度函数为 z0 fZ (z)= Fz (z) = dzlO, 五(2)、已知随机变量XN( 0, 1),求随机变量 Y= X 2的密度函数。 2 解：当 y w 0 时，F Y(y) = P (Yw y) = P (X w y) = 0; 当 y0时，F Y(y) = P (Ywy) = P (X 2y) = P(J? X 0, 一y/2 e 因此，fY(y) = FY(y) = j2%y dyI 0,

42、y0. 五(3)、设系统L由两个相互独立的子系统 Li、L2串联而成，且Li、L2的寿命分别服从参数为 a,P(a H P) 的指数分布。求系统 L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统 L的寿命Z= min ( X, Y)。 显然，当 ZW 0 时，F Z (z) = P (ZW z) = P (mi n( X, Y) 0 时，F Z (z) = P (Z z) = P (min ( X, Y) z) =1 P (Xz, Yz) = 1 P (冷z) P (Yz) = 1 -PePdy = 1 -ez。 、z 因此，系统L的寿命Z的密度函数为 fz(z) =

43、gFz(z)j2)e,-0 dzo,z 兰 0 F Y(y) = P (YW y) = P (| X | w y) = 0; 五( 4)、已知随机变量 XN( 0, 1),求Y= |X|的密度函数。 解：当yw0时， 当y0时, F Y(y) = P (Ywy) = P (| X | wy) = P(-y X 0, y 0, y 0; 其它. Ae f (x, y)= I0, 求系数A; 判断X, Y是否独立，并说明理由; 求 P 0 w XW 2, 0W YW 1。 (1) (2) (3) 解： -be -be (1)由 1= ,y)dxdy 坟O 9 Ae5y)dxdy=A( e _2x

44、dxj eydy A(冷尹 -be 、/1: y )(3e (2 )因 -be ) A =,可得 A= 6。 6 (X, Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为 X 0; 其它. Y (y)= 3尹 10, y 0； 其它. 则对于任意的(x,y)R2, 均成立f (X, y)= f X (x)* f Y (y)，所以 X与 Y独立。 ZeXdx3eydy (3) P 0 w X 2, OW Y0; 其它. (1) 求系数A; (2) 判断X, Y是否独立，并说明理由; (3) 求 P 0 W XW 1, 0 W YW 1。 .,-be -be., -be -be Ae3x和)dxdy = Age

45、dx ”e/ydy =A(_3ex :上，可得A= 12。 12 (2)因(X, Y)关于 X和Y的边缘概率密度分别为 J3X X 0; 其它. fY (y)= 4e 10, y 0； 其它. 则对于任意的 (x, y)亡 R ,均成立 f(X, y)= f x (x)* f Y (y)，所以X与Y独立。 (3)PP 0 w X 1, 11-kjQ 0 W YW1 = L yzeSidxdy = 3e J3x dx ” L 4eydy ;)(dy 五(7)、设随机向量(X, / =(-e 0) =(1_e)(1ej. Y)联合密度为 f(x, y)=产 10, 0 x y 1; 其它. (1)

46、 求(X, Y)分别关于X和丫的边缘概率密度fx(x) , fY(y); (2) 判断X, 丫是否独立，并说明理由。 解：(1)当 x1 时，f X (X) = 0; -be1 当 0 W X W 1 时，fx(x) = f f(X, y)dy = f 6xdy = 6x(1-x). .工X 因此，(X, Y)关于X的边缘概率密度 fX (x) j6x 6x2, S, 10, 其它. 当 y1 时，fY (y) = 0； -be y2 当 0w y w 1 时，f Y (y) = Lf(X, y)dx = 6xdx = 3x IZ2. 因此, (X, Y)关于Y的边缘概率密度fY (y) =

47、|3y 10, 0y 0 时，f 丫(y) = Lf(x, y)dx= edx = ye*. 因此, (X, Y)关于Y的边缘概率密度 (2)因为f 所以， 2 (1,2) = e ,而 fX (1) f Y X与丫不独立。 五(9)、设随机变量X的概率密度为 fY (y) Jh 小 10,其它. 12 3 =e- *2e- = 2 e- M f (1,2), 当 x0 时，fx(x) = J pf(x, y)dy=x 、 e, X 0 f(x)7o，其它 设F(x)是X的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的密度函数。 解：当 y1 时，F Y (y) = P (Yw y) = P (F(X

48、) w y) = 1; 当 0 yw 1 时，Fy(y)= P(YWy)= P (F(X) y) = P(X F(y) =F(F(y)y 因此,fY(y)=辭*；其它心, 五(10)、设随机向量(X, Y)联合密度为 f(x, y)= r 0 x y 1; 其它. (1 )求(X， (2)判断X, 解：(1) X和丫的边缘概率密度f x( X)，fY(y); 并说明理由。 Y)分别关于 丫是否独立， 当 x1 时，f X (x) = 0; -be12 当 0w xw 1 时，f X (x) = J f(X, y)dy = J 8xydy =4x 今 0 x 1, 其它. Hy3. 因此，(X,

49、 丫)关于X的边缘概率密度fX (x) = 4x4x , I0, 当 y1 时，fY (y) = 0; -bey2 当 0w y w 1 时，f Y (y)=工f (x, y)dx = _f 8xydx = 4y 咲2因此，(X, Y)关于Y的边缘概率密度fY (y) = J4y My兰1, P其它. (2)因为 f (1/2, 1/2)= 2,而 fx(1/2) f Y (1/2) = (3/2)*(1/2)= 3/4 丰 f (1/2, 1/2) 所以，X与Y不独立。 六(1)、已知随机向量(X, Y)的协方差矩阵 V为 (1 169丿 求随机向量(X+Y, XY)的协方差矩阵与相关系数矩

50、阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28 D：X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=7+9-2*6=4 Cov(X+Y, X-Y)= DX- DY=7-9= -2 P X*,XA = Cov(X +Y,X -Y) Jd(x +y)Jd(x -y) 728*74 728 所以，(X+ Y, X Y的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1 28-2、 1-2 -1 728 六(2)、已知随机向量( 8 -1 X, Y) 1 ) 的协方差矩阵V为 12 1丿 求随机向量(X+Y, XY)的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D：X+Y)= DX+D2Cov(X Y

51、)=9+1+2*2=14 D(X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=9+1-2*2=6 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY=9-1=8 p- Lx MX A Cov(X +Y,X -Y) Jd(x +y)Jd(x -y) 714*76 721 所以，(X+ Y, X Y) “48、 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 / 1 4 721 六(3)、已知随机向量 X, Y)的协方差矩阵V为 6丿 的协方差矩阵与相关系数矩阵。 V-6 求随机向量(X Y, X + Y) 解：D(X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=9+6-2*(-6)=27 D(X+Y)= DX+D2Cov(X Y)

52、=9+6+2*(-6)=3 Cov(X -Y, X +Y) Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY=9-6= 3 P xyxw = _ 1 JD(X -Y)jD(X +Y) V27*/3 3 所以，（X Y, X + Y) 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1 六（4）、已知随机向量 X, 1 Y）的协方差矩阵V为 5、 9丿 的协方差矩阵与相关系数矩阵。 15 求随机向量(X Y, X + Y) 解：D：X-Y)= DX+DY2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX- D

53、Y=4-9= -5 Cov(X -Y,X +Y) -5 -5 p= = XAX舟 Jd(x -y)Jd(x +y)Too 所以，（X Y, 23 X + Y) 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1-513丿 -5 六（5）、已知随机向量（X, -5 769 1 J Y）的协方差矩阵V为 1 14 求随机向量(X Y, X + Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=1+4-2*(-1)= 7 D：X+Y)= DX+D2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3 Cov(X Y,X +Y) -3 Cov(X-Y, X+Y)= DX- DY=1-4=

54、-3 p_ xx十 Jd(x -y)Jd(x +y)47*43 721 求随机向量（X+Y, XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 所以，(XY, X + Y) 7-3 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 1-33 丿 -3 421 -3 府 六（6）、已知随机向量（ 1 J X, Y）的协方差矩阵V为 解: D：X+Y)= DX+D2Cov(X Y)=4+25+2*1=31 D(X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=4+25-2*1=27 Cov(X+Y, X-Y)= DX- DY=4-25= -21 P x*,x= Cov(X +Y,X -Y) -21 -7 Jd(x + Y)Jd(x -

55、Y) V31* 后 _ 793 X Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 31-21、1 U -7 和 793 1-2127 丿 17931 ) 所以，（X+ Y, 已知随机向量（X, 六（7）、 Y）的协方差矩阵V为 求随机向量（X+Y, XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解: D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13 D：X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=5+4-2*2=5 Cov(X+Y, X-Y)= DX- DY=5-4=1 Cov(X +Y,X -Y) Jd(x +y)Jd(x -y) Vi3* 75 765 X Y的协方差矩阵与相关系数矩阵分

56、别为 1 465 1 J65 六（8）、已知随机向量 X, Y) 的协方差矩阵V为 I 9 I 12 的协方差矩阵与相关系数矩阵。 求随机向量(X Y, X + Y) 解：D(X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=9+4-2*(-2)= 17 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*(-2)=9 Cov(X-Y, X+Y)= DX- DY=9-4= 5 Cov(X -Y,X +Y) Jd(x -y)Jd(x +Y)717*79 7153 所以，（X Y, X +Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 175、 5 六（9）、已知随机向量（X, 1 J Y）的协方差矩阵V

57、为 3、 13 求随机向量(X Y, X + Y) 解：D(X-Y)= DX+DY2Cov( X Y) = 4+9-2*(-3)= 19 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y) = 4+9+2*(-3)=7 Cov(X-Y, X+Y)= DX- DY=4-9= -5 9丿 的协方差矩阵与相关系数矩阵。 P xyxHY = Cov(X -Y,X +Y) Jd(x -y)Jd(x +Y)719* 77 J133 的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 9-5、 :-5 aA33 和 1-57 丿 二 1 17135丿 所以，（X Y, X + Y) 六（10）、已知随机向量（X, Y）的协方差

58、矩阵 V为 134丿 求随机向量(X Y, X + Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY2Cov(X Y)=9+4-2*3= 7 D：X+Y)= DX+D2Cov(X, Y)=9+4+2*3=19 Cov(X-Y, X+Y)= DX- DY=9-4= 5 Cov(X -Y,X +Y) p_ _ XA Jd(x -y)Jd(x +Y)77*719 7133 所以, （X Y, X +Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 仃 5、 .5 和 19丿 1 七( 1 )、 1 丿 设总体X的概率密度函数是 ” Ot-4 ax f（x;af 其中a 0为未知参数。 Xi, 0

59、0 其它 入0为未知参数，Xi, X2, x3J 11, X1是一组样本值， 求参数几的最大似然估计。 n 解：似然函数 L =n(2kxiexpx2) =(2nknnxiexp迈 xj) nn ln L = nln(2 a)ln Xi 兀送 x2 i壬 乎Xi2 =0 da人 i i 无Xi2 i =1 七（ 4）、设总体的概率密度函数是 J3kx2ex p-AX3, f（X）t0, X 0 其它 其中A 0是未知参数，X1,X2,X3,ill,Xn是一组样本值，求参数 k的最大似然估计。 nnn 解：似然函数 L 0为未知参数, x! Z的最大似然估计。 eA -n D n! i 二 n

60、Z X d I nL y - c n = 0 Z da n z )?=丄=X n Xi n D n 7 XrJ i 解：似然函数L =n出尹 y Xi! In L =2 Xi In 几一送 ln( Xj!) nk yi =1 七( 6 )、设总体X的概率分布为PX = x=p X(1 -p )1=0,1。设x1,x2,x3JH,xn为总体X的一组简单 随机样本，试用最大似然估计法求P的估计值。 n2 解:L=n pXi(1- p) i In L=llXi In p + fn-rxil n(1- p) 斗QxiKCfxi dpY壬丿P I y Hr0 1 n _ ?-ikX (7 )、设总体X服