高一数学宝典：立体几何

1、 立体几何要 点 回 扣易 错 警 示查 缺 补 漏要点回扣1.一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主主)视图下面，长度与正视图下面，长度与正(主主)视图一样，侧视图一样，侧(左左)视图放视图放在正在正(主主)视图右面，高度与正视图右面，高度与正(主主)视图一样，宽度视图一样，宽度与俯视图一样，即与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等长对正，高平齐，宽相等”.”.在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明分明.问题1 如图，若一个几何体的正如图，若一个几何体的正(主主)视图、侧视图、侧(左左)视图

2、、俯视图均为面积等于视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积的等腰直角三角形，则该几何体的体积为为_.2.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平平行于行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴轴的线段平行性不变，长度减半的线段平行性不变，长度减半.”问题2如图所示的等腰直角三角如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是直观图，则这个平面图形的面积是_.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧圆

3、柱侧2rl(r为底面半径，为底面半径，l为母线为母线)，S圆锥侧圆锥侧rl(同上同上)，S圆台侧圆台侧(rr)l(r、r分别为上、下底的半径，分别为上、下底的半径，l为母线为母线).(5)体积公式体积公式V柱柱Sh (S为底面面积，为底面面积，h为高为高)，问题3如图所示，一个空间几何体的如图所示，一个空间几何体的正正(主主)视图和俯视图都是边长为视图和俯视图都是边长为1的正方的正方形，侧形，侧(左左)视图是一个直径为视图是一个直径为1的圆，那的圆，那么这个几何体的表面积为么这个几何体的表面积为()A.4 B.3C.2 D.D4.空间直线的位置关系：空间直线的位置关系：相交直线相交直线有且只有

4、有且只有一个公共点一个公共点.平行直线平行直线在同一平面内，没有在同一平面内，没有公共点公共点.异面直线异面直线不在同一平面内，也没有不在同一平面内，也没有公共点公共点.问题4在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是四边上的中点，则直线别是四边上的中点，则直线EG和和FH的位置关系是的位置关系是_.相交相交5.空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面直线与平面位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交.直线与平面平行的判定定理和性质定理：直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定

5、理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行行，则该直线与此平面平行.性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行的任一平面与此平面的交线与该直线平行.直线与平面垂直的判定定理和性质定理：直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直都垂直，则该直线与此平面垂直.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行

6、.(2)平面与平面平面与平面位置关系：平行、相交位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊垂直是相交的一种特殊情况情况).平面与平面平行的判定定理和性质定理：平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行面平行，则这两个平面平行.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行交，那么它们的交线平行.平面与平面垂直的判定定理和性质定理：平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两判定定理：一个平面

7、过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直个平面垂直.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直线的直线与另一个平面垂直.问题5已知已知b，c是平面是平面内的两条直线，则内的两条直线，则“直直线线a”是是“直线直线ab,直线直线ac”的的_条条件件.充分不必要充分不必要6.空间向量空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤用空间向量求角的方法步骤异面直线所成的角异面直线所成的角若异面直线若异面直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2，它们所成的，它们所成的角为角为，则，则cos |cosv1，v2|.直线和平面所成

8、的角直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法：可以有两种方法：方法一分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方法一分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角或其补角).方法二通过平面的法向量来求，即求出斜线的方方法二通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角.利用空间向量求二面角也有两种方法：利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一分别在

9、二面角的两个面内找到一个与棱垂方法一分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小的大小就是二面角的平面角的大小.方法二通过平面的法向量来求，设二面角的两个方法二通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为面的法向量分别为n1和和n2，则二面角的大小等于，则二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2).易错警示：易错警示：求线面角时，得到的是直线方向向量求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦的

10、余弦.求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析补角，要注意从图中分析.(2)用空间向量求用空间向量求A到平面到平面的距离：的距离：可表示为可表示为d .问题6(1)已知正三棱柱已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长的侧棱长与底面边长相等，则与底面边长相等，则AB1与侧面与侧面ACC1A1所成角的正所成角的正弦值等于弦值等于_.解析方法一取方法一取A1C1的中点的中点E，连接，连接AE，B1E，如图，如图.由题意知由题意知B1E平面平面ACC1A1，则则B1AE为为AB1与侧面与侧面ACC1A1所成的角所成的角.设正三棱柱侧棱长与

11、底面边长为设正三棱柱侧棱长与底面边长为1，方法二如图，方法二如图，以以A1C1中点中点E为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Exyz，(2)正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，O是底面是底面A1B1C1D1的中心，则点的中心，则点O到平面到平面ABC1D1的距离为的距离为_.解析建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面设平面ABC1D1的法向量为的法向量为n(x，y，z)，则，则 易错点1三视图认识不清致误 易错点2对几何概念理解不透致误 易错点3对线面关系定理条件把握不准致误易错警示易错点1三视图认识不清致误例1一个空间几何体的三视图

12、如图所示，则该几一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为何体的表面积为()错解由三视图知，该几何体的直观图由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；的正方形；上底面是长为上底面是长为4，宽为，宽为2的矩形；的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为，下底长为4，高为高为4；另两个侧面是正方形，边长为另两个侧面是正方形，边长为4.所以表面积所以表面积S423242 (24)44882480.找准失分点不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根不能准确把握三视图和几何体之间的数

13、量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错，而错认为等腰梯形的腰为认为等腰梯形的腰为4.正解由三视图知该几何体的直观图由三视图知该几何体的直观图如图所示，如图所示，该几何体的下底面是边长为该几何体的下底面是边长为4的正方形；的正方形；上底面是长为上底面是长为4、宽为、宽为2的矩形；的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为，下底长为4，高为高为4；答案C易错点2对几何概念理解不透致误例2给出下列四个命题：给出下列四个命题：有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面有两个平面互相平行，其余各面都是平行

14、四边形的多面体是棱柱；体是棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；直四棱柱；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体底面是矩形的平行六面体是长方体.其中正确的命题是其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号写出所有正确命题的序号).找准失分点错解1错解2是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直.正解易错点3对线面关系定理条件把握不准致误例3

15、已知已知m、n是不同的直线，是不同的直线，、是不同的平面是不同的平面.给给出下列命题：出下列命题：若若，m，nm，则，则n，或，或n；若若，m，n，则，则mn；若若m不垂直于不垂直于，则，则m不可能垂直于不可能垂直于内的无数条直线；内的无数条直线；若若m，nm，且，且n ，n ，则，则n，且，且n；若若m、n为异面直线，则存在平面为异面直线，则存在平面过过m且使且使n.其中正确的命题序号是其中正确的命题序号是_.找准失分点错解是错误的；是错误的；是错误的是错误的.正解是错误的是错误的.如正方体中面如正方体中面ABBA面面ADDA，交线为交线为AA.直线直线ACAA，但，但AC不垂直面不垂直面A

16、BBA，同时，同时AC也不垂直面也不垂直面ADDA.正确正确.实质上是两平面平行的性质定理实质上是两平面平行的性质定理.是错误的是错误的.在上面的正方体中，在上面的正方体中，AC不垂直于平面不垂直于平面ABCD，但与，但与BD垂直垂直.这样这样AC就垂直于平就垂直于平面面ABCD内与直线内与直线BD平行的无数条直线平行的无数条直线.正确正确.利用线面平行的判定定理即可利用线面平行的判定定理即可.错误错误.从结论考虑，若从结论考虑，若n且且m ，则必有则必有mn，事实上，条件并不能保证，事实上，条件并不能保证mn.故错误故错误.答案查缺补漏123456789 101.已知三条不同直线已知三条不同

17、直线m，n，l与三个不同平面与三个不同平面，有下列命题：，有下列命题：若若m，n，则，则mn；若若，l ，则，则l；，则，则；若若m，n为异面直为异面直线，线，m ，n ，m，n，则，则.其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3查缺补漏123456789 10解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题可能相交或成异面直线，所以命题错误；错误；由直线与平面平行的定义知命题由直线与平面平行的定义知命题正确；正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相由于垂直于同一个平面的两个平面可能平

18、行还可能相交，因此命题交，因此命题错误；错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题唯一存在的，因此命题正确正确.故选故选C.答案C查缺补漏123456789 102.设设m，n是空间两条直线，是空间两条直线，是空间两个平面，则是空间两个平面，则下列选项中不正确的是下列选项中不正确的是()A.当当m 时，时，“n”是是“mn”的必要不充分条件的必要不充分条件B.当当m 时，时，“m”是是“”的充分不必要条件的充分不必要条件C.当当n时，时，“n”是是“”成立的充要条件成立的充要条件D.当当m 时，时，“n”是是“mn”的

19、充分不必要条件的充分不必要条件查缺补漏123456789 10解析当当m 时，若时，若n可得可得mn或或m，n异面；异面；若若mn可得可得n或或n ，所以所以“n”是是“mn”的既不充分也不必要条的既不充分也不必要条件，答案选件，答案选A.答案A查缺补漏123456789 103.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是积是()A.64 B.72 C.80 D.112查缺补漏123456789 10解析根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面两个三棱锥，上面两个三棱锥，答案B查缺补漏123456789

20、104.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N，P，Q分别是分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：的中点，给出以下四个结论：A1CMN；A1C平面平面MNPQ；A1C与与PM相相交；交；NC与与PM异面异面.其中不正确的结论是其中不正确的结论是()A. B. C. D.查缺补漏123456789 10解析作出过作出过M，N，P，Q四点的截面交四点的截面交C1D1于点于点S，交，交AB于点于点R，如图所示中的，如图所示中的六边形六边形MNSPQR，显然点，显然点A1，C分别位于分别位于这个平面的两侧，这个平面的两侧，故故A1C与平面与平

21、面MNPQ一定相交，不可能平行，故结一定相交，不可能平行，故结论论不正确不正确.答案B查缺补漏123456789 105.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为面积为()查缺补漏123456789 10解析由三视图可知，该几何体是一个由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示四棱锥，如图所示.该几何体的底面是边长为该几何体的底面是边长为1的正方形，的正方形，故故S1121.侧棱侧棱PA面面ABCD，且，且PA1，查缺补漏123456789 10答案A查缺补漏123456789 106.如图，已知六棱锥如图，已知六棱锥PABCDEF的底面的底

22、面是正六边形，是正六边形，PA平面平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是则下列结论正确的是()A.PBADB.平面平面PAB平面平面PBCC.直线直线BC平面平面PAED.直线直线PD与平面与平面ABC所成的角为所成的角为45查缺补漏123456789 10解析若若PBAD，则，则ADAB，但，但AD与与AB成成60角，角，A错误；错误；平面平面PAB与平面与平面ABD垂直，所以平面垂直，所以平面PAB一定不与一定不与平面平面PBC垂直，垂直，B错误；错误；BC与与AE是相交直线，所以是相交直线，所以BC一定不与平面一定不与平面PAE平平行，行，C错误；错误；查缺补漏123456789 10直线直线PD与平面与平面ABC所成角为所成角为PDA，在，在RtPAD中，中，ADPA，PDA45，D正确正确.答案D查缺补漏123456789 107.对于四面体对于四面体ABCD，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：若若ABAC，BDCD，则，则BCAD；若若ABCD，ACBD，则，则BCAD；若若ABAC，BDCD，