小学奥数知识点归纳和总结

1、小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数 类 三、规律画图类 四、年龄问题 类 五、间隔问题 类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题 类 七、有序思考 类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练 类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、 ） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年 数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算

2、包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差 数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们 一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。（1）和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和十（倍数+1）。 三、差倍问题： 小数=差十（倍数-1） （2）年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 （3）盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 （双盈、双亏、一盈一亏 ） 分配总人数=盈亏总额十两次分配数之差。 （4）植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株

3、距X段数，封闭图形：棵数=段数 不 封闭图形： 两头都栽：棵数 =段数 +1 两头都不栽：棵数 =段数 -1 一头栽一头不栽：棵数 =段数 (5) 鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式， 揭示鸡兔同笼问题中的数量关系， 假设法 (6) 行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程十速度和，追及时间=距离十速度差。 (7) 周期问题 (8) 还原问题 (9) 归一问题 (10) 体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题 涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积 数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了， 是比较简单的

4、能被 2、 3、 5 整除的性质、 奇数和偶数、 余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1. 圆周率常取数据 3.14 X 1 = 3.14 3.14 X 2 = 6.28 3.14 X 3 = 9.42 3.14 X 4 = 12.56 3.14 X 5 = 15.7 3.15 X 6 = 18.84 3.14 X 7 = 21.98 3.14 X 8 = 25.12 3.14 X 9 = 28.26 2. 常用特殊数的乘积 125X 8= 1000 25 X 4 = 100 125X 3= 375 625X 16= 10000 7X11X13=1001 25X 8= 200 125X

5、4= 500 37X 3=111 3.100 内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4. 单位换算： 1 米=3 尺=3.2808 英尺=1.0926 码 1 公里=1000米=2里 1 码=3 英尺 =36 英 寸 1 海里=1852米=3.704 里=1.15 英里 1 平方公里 =1000000 平方米 =100 公顷 =4 平方里 =0.3861 平方英里 1 平方米 =100 平方分米 =10000 平方厘米 1 公顷 =100 公亩 =15 亩 =2.4711 英亩 1

6、 立方 米=1000 立方分米 =1000000 立方厘米 1 立方米 =27 立方尺 =1.308 立方码 =35.3147 立方英尺 1 吨=1000 公斤 =1000 千 克 1 公斤 =1000 克 =2 斤（市制） =2.2046 磅 5. 加减法运算性质： 同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要 注意以下几点： 括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号， 去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。 6. 乘除法运算性质 乘法中性质： （ 1）乘法交换律 （2）乘法结合律 （3）乘法分配律 （ 4）乘法性质 （5） 积

7、的变化规律：一扩一缩法。 除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律 积的变化规律： 同扩同缩法。同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。加、去括号时注意以 下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号 前面是除号，去掉或加上括号要 变号； 7. 等差数列 数列是指按一定规律顺序排列成一列数。 如果一个数列中从第二个数 开始， 相邻两个 数的差都相等， 我们就把这样的一列数叫做等差数列， 等差数列中的每一个数都叫做项， 第 一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项最后一 项叫做“末项” 。等差数列中相邻两项的差叫做 “公差” ，等差

8、数列中项的个数叫做 “项数” 。 公式： 和=（首项+ 末项）x项数十2项数=（末项-首项）十公差+1第n项=首项+ （n-1 ） x公差 8. 和倍问题 己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系， 求这几个数的应用题叫 和倍问题。 解答 和倍问题， 一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数）， 再根据其他几个数与较小数的 倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数， 最好采用画线段图的方法。和倍公式：和+（倍数+1）=小数 9. 差倍问题 己知两个数的差及它们之间的倍数关系， 求这两个数的应用题叫差倍 问题。 解答差倍 问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），

9、再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标 准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。解答这类问题，先画线段图， 帮助分析数量关系。差倍公式：差+（倍数-1）=小数 10. 和差问题 和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。 解答 和差问题的基本公式是：（和一差）十2=较小数（和+差）十2=较大数九、 11. 年龄问题 己知两个人或几个人的年龄， 求他们年龄之间的某种数量关系； 或己 知某些人年龄之 间的数量关系， 求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。 年龄问题的特点是：一般用和差或 者和倍问题的方法解答。（ 1）两人的年龄之差是不变 的，称为定差。（ 2

10、）两个人的年龄 同时都增加同样的数量。 （ 3）两个年龄之间的倍数关系， 随着年龄的增长， 也在发生变化。 年龄问题的解题方法是：几年后 =大小年龄之差十倍数差-小年龄几年前=小年龄-大小年 龄差十倍数差 12. 平均数 求平均数必须知道总数和份数， 常用公式：平均数=总数十份数 总数=平均数X份数 份 数=总数十平均数相遇问题行程问题又分为相遇问题、 13. 相遇与追及问题 路程=速度X时间时间=路程十速度速度=路程十时间。 相遇问题它的特点是两个运动物体或人， 同时或不同时从两地相向而 行， 或同时同地 相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系： 速度和X相遇时间=路程路程十速度和=相遇

11、时间速度十相遇时间=速度和 追及问题运动的物体或人同向而不同时出发， 后出发的速度快， 经过 一段时间追上先 出发的， 这样的问题叫做追及问题， 解答追及问题的基本条件是 “追及路程” 和“速度差” 。 追及问题的基本数量关系是： 追及时间=追及路程十速 度差追及路程=速度差X追及时间速度差=追及路程 十追及时间 14. 行船问题 船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。船在流水中行程问题，叫做行 船问题（也叫流水问题） ，船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是： 顺水速度 =船速水速逆水速度 =船速水速 由于顺水速度 是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船

12、问题就是和 差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。 船速=（顺水速度+逆水速 度）十2水速=（顺水速度逆水速度）十 2 因为行船问题也是行程问题， 所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、 速度与时间 的关系。 顺水路程=顺水速度X时间逆水路程 =逆水速 度X时间 15. 过桥问题 过桥问题的一般数量关系是： 路程=桥长+车长车速=（桥长+车 长）十通过时间通过时间=（桥长+车长）十 车速车长=车速X通过时间-桥长桥长=车速X通过时间-车长 16. 植树问题 在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类： （1）两 端都种树段数 =棵数 1 （2）一端种一端不种段数=棵

13、数（ 3）两端都不种 段数 =棵数 1 （ 4） 在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数 =棵数 17. 还原问题 还原问题又叫逆推问题。 己知一个数的结果， 再经过逆运算反求原 数，叫做还原问题。 解决这类题要从结果出发， 逐步向前一步一步推理， 每一步运算都是原来运算的逆运算 （即 变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘） 。 18. 方阵问题 很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵） ，再根据己知条件 求总人数，这类题 叫方阵问题。 在解决方阵问题时， 要搞清方阵中一些量 （如层数， 最外层人数， 最里层人数， 总人数）之间的关系。方阵问题的基本特点是： （ 1）方阵

14、不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2， 每一层就少 8。 （ 2）每层人数 =（每边人数 1）X 4 （3）每边人数=每层人数十4 + 1 （4）实心方阵人数=每边人数X每边人数 19. 幻方与数阵 幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相 等。这相相等的 和叫“幻和” 。 两种方法： 奇阶： 1 、九子排列法 2、罗伯法， 3 、巴舍法。 偶阶： 1、对称交换法 2、圆心方阵法。数阵有三种基本类型： （1） 封闭型，（ 2）辐射 型（ 3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解 数阵类型题的解题关键。一般答案不

15、唯一。 20. 奇数与偶数 加法：偶数偶数 =偶数 奇数奇数 =偶数 偶数奇数 =奇数 减法： 偶数偶数 =偶数 奇数奇数 =偶数 偶数奇数 =奇数 乘法：偶数X偶数=偶数奇数X奇数=奇数偶数X奇数=偶数盈亏问题解 21. 盈亏问题 通常是比较法和对应法结合使用。公式是： （同盈同亏用减法，一亏 一盈用加法）即： 两次分配结果差十两次分配数差 =人数 22. 牛吃草问题 牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草。 B.新长出的草。C牛吃掉的草。 牛吃草问题解法一般分为三步：一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出最 终的问题。（类似于行程问题中的追及问题） 23. 还原问题 解题关键：在从后

16、往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的， 运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。 24. 假设问题 假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的己知 条件或结论作出某种设想， 然后按照己知条件进行推算， 根据数量上出现的矛盾， 再适当调 整，从而找到正确答案。 25. 余数问题 一个带余数除法算式包含4个数：被除数十除数=商”余数。它们 的关系也可表示为： 被除数=除数X商+余数，或（被除数余数）十除数=商。 26. 一笔画和多笔画 （1） 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后

17、能以 这个点为终点画完此图。 （2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个 奇点为起点，另 一个奇点为终点。 （3） 多笔画定理有2n （n 1）个奇点的连通图形，可以用 n笔画完（彼此无公共线），而 且至少要 n 次画完 . 27. 抽屉原理 抽屉原则一：把n+1 （或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少 有一个抽屉里有两个或两 个以上的苹果。 抽屉原则二： 把（ mX n+1 ）个（或更多个） 苹果放进 n 个抽屉里， 必须一个抽屉里有 （ m+1 ） 个（或 更多的）苹果。 说明：应用 抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考 28. 分解因式把一个合数写成

18、几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。一个自然数的约数的 个数， 恰为各个质因数的指数加 1 后的乘积。一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰 好是平方前这个数各个质因数个数的 2 倍。一个完全平方数各个 质因数的个数都是偶数。 29. 最大公约数与最小公倍数 求两个数的最大公约数一般有三种方法： （ 1）分解质因数法（ 2）短除法（ 3）辗转相除法 30. 分数的比较 分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。分子相同的分数比 较大小，分母大的分 数反而小。 分子和分母都不相同的分数比较大小， 可以把它们转化成分母相同的分数比较大 小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。 性质： 1

19、. 一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。 2. 一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子） ，所得的 新分数比原分数小。 3. 一个假分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新 分数比原分数大。 4. 一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。 31. 剪纸问题 公式： 2 对折后剪的次数 +1=段数。 32. 最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的 结果列举出来， 然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（ 1）两个数的和一定，

20、则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0） 时，乘积最大。 3、考虑极 端情况。如“连接两点间的线段最短” 、“作对称点” 、“联系实际考虑问题”等。 33. 比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小” ，即先对某个数或算式进行适当的 “放大”或“缩小” ， 确定它的取值范围， 再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组 （分 段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种 方法是按近似数乘除法计算法则，比要求 的精确度多保留一位，进行计算。 34. 钟表问题 解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转 化为相遇或追及问题 来解答。需记住以下常用数据：钟表上

21、有 12 大格， 60 小格，每大格 30 度，每小格 6 度。， 分针每分钟走： 6度；时针每分钟走： 0.5度；速度差： 5.5 度 2解答钟表上的时间快慢问题， 关键是抓住单位时间内的误差， 然后根据某一时间段内含多少个单位时间， 就可以求出这一 时间段内的误差。 35. 分数应用题的计算 解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“ 1”，如果单位“ 1” 的量是变化的，就要从题 目中找出不变的量， 把不变的量看作单位 “1”，将己知条件进行转化， 找出所求数量相当于 单位“ 1”的几分之几，再列式解答。 2 还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。 3 对较复杂的分数应用题，还可以列方

22、程来解答。 36. 利润问题 解答利润问题你必须理解以下的关系式。 （1）利润 =卖价成本 （2）利润的百分数=（卖价一成本）十成本X 100 % （3）卖价=成本X（ 1+利润率） （4）成本=卖价+（ 1 +利润率） （5） 折扣=实际售价十原售价X100%（折扣v 1） （6）利息=本金X利率X时间 （7） 税后利息=本金X利率X时间X（1- 20%） 37. 浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量十溶液的重量X 100%=浓 度溶液的重量X浓度=溶质的重量 五年级奥数知识点分类： 1. 和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件：几个数的和与差 几个数的和与倍数

23、 几个数的差与倍数 公式适用范围 ：已知两个数的和，差，倍数关系 公式：（和-差）十2=较小数 （和+差）十2=较大数 较小数 +差=较大数 较大数 - 差=较小数 和 - 较小数 =较大数 和 - 较大数 =较小数 和+（倍数+1）=小数 差+（倍数-1 ）=小数 关键问题：求出同一条件下的和与差 小数X倍数=大数 小数X倍数=大数 和 - 小数 =大数 小数 +差 =大数 和与倍数 差与倍数 2. 年龄问题的三个基本特征： 两个人的年龄差是不变的 ; 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3. 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量

24、”，题目一般用“照这样的速度”等词语 来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4. 植树问题 基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树， 两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植 树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树， 只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式：棵数 =段数+1 棵距X段数=总长 棵数=段数-1 棵距X段数=总长 棵数=段数 棵距X段数=总长 关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5. 鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路： 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

25、 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； 每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； 再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： 把所有鸡假设成兔子：鸡数 =（兔脚数X总头数-总脚数）+ （兔脚数-鸡脚数） 把所有兔子假设成鸡： 兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）十（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6. 盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产 生一种结果， 由于分组的标准不同， 造成结果的差异， 由它们的关系求对象分组的组数或对 象的总量。 基本思路： 先将两种分配方案进行比较， 分析

26、由于标准的差异造成结果的变化， 根据这个关 系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。 基本题型： 一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数=（余数+不足数）十两次每份数的差 当两次都有余数 ； 基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）十两次每份数的差 当两次都不足 ； 基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）十两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7. 牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的 差； 再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草

27、量和新草生长速度是不变的 ； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间X长时间牛头数 -较短时间X短时间牛头数）+ （长时间-短时 间） ； 总草量=较长时间X长时间牛头数 -较长时间X生长量； 8. 周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 闰 年：一年有 366 天 ； 年份能被 4整除； 如果年份能被 100整除，则年份必须能被 400 整除； 平 年：一年有 365 天。 年份不能被 4整除； 如果年份能被 100整除，但不能被 400整除； 基本公式：平均

28、数 =总数量十总份数 总数量=平均数X总份数 总份数=总数量十平均数 平均数=基准数+每一个数与基准数差的和十总份数 基本算法： 求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算。 基准数法： 根据给出的数之间的关系，确定一个基准数 ；一般选与所有数比较接 近的数或者中间数为基准数 ； 以基准数为标准， 求所有给出数与基准数的差 ； 再求出所有差的 和； 再求出这些差的平均数 ； 最后求这个差的平均数和基准数的和， 就是所求的平均数， 具体 关系见基本公式。 10. 抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物 体。 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉

29、里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以 下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式， 我们会发现一个共同特点： 总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2个物体。 抽屉原则二：如果把 n个物体放在 m个抽屉里，其中nm那么必有一个抽屉至少有： k= n/m +1个物体：当n不能被m整除时。 k= n/m个物体：当n能被m整除时。 理解知识点：X表示不超过X的最大整数。 例4.351 =4; 0.321 =0;2.9999=2; 关键问题： 构造物体和抽屉。 也就是找到代表物体和抽屉的量，

30、 而后依据抽屉原则进行运算 11. 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路： 严格按照新定义的运算规则， 把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按 照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 个新定义的运算符号只能在本题中使用。 12. 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数 列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示; 项数： 等差数列的所有数的个数，一 般用 n 表示 ; 公差： 数列

31、中任意相邻两个数的差， 一般用 d 表示 ; 通项： 表示数列中每一个数的公式， 一般用 an 表示 ; 数列的和：这一数列全部数字的和， 一般用 Sn 表示。 基本思路：等差数列中涉及五个量： a1 ， an， d， n， sn， ，通项公式中涉及四个量，如 果己知其中三个，就可求出第四个; 求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求 这第四个。 基本公式：通项公式： an = a1+ （ n-1 ） d; 通项=首项+ （项数一 1） x公差； 数列和公式：sn, = (a1+ an )x n*2; 数列和=（首项+末项）x项数十2 项数公式： n= ( an+ a1 )* d+1;

32、 项数 =（末项 -首项）*公差 +1; 公差公式： d = ( an-a1 )*( n-1 ) ; 公差 = （末项 -首项）*（项数 -1 ） ; 关键问题： 确定已知量和未知量，确定使用的公式 13. 二进制及其应用 十进制：用09十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2x 102+3x 10+4。 10n-7+ =An x 10n-1+An-1 x 10n-2+An-2 x 10n-3+An-3 x 10n-4+An-4 x 10n-5+An-6 x +A3x 102+A2x 101

33、+A1x 100 注意：N0=1;N仁N (其中N是任意自然数) 二进制：用01两个数字表示，逢 2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。 (2)= An x 2n-1+An-1 x 2n-2+An-2 x 2n-3+An-3 x 2n-4+An-4 x 2n-5+An-6 x 2n-7 + +A3x 22+A2x 21+Aix 20 注意： An 不是 0 就是 1 。 十进制化成二进制： 根据二进制满 2进 1 的特点， 用 2连续去除这个数， 直到商为 0，然后把每次所 得的余数按自下而上依次写出即可。 先找出不大于该数的2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次

34、方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。 14. 加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方 法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1 + m2.。 . 。 . +mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n个步骤进行，做第1步有ml种方法，不管第1步 用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面 n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方 法，那么完成这件任务共有： m1x m2.。x m

35、n种不同的方法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点 ; 没有长度。 数线段规律：总数 =1+2+3+ (点数一 1); 数角规律=1+2+3+ (射线数一 1); 数长方形规律：个数 =长的线段数x宽的线段数： 数长方形规律：个数 =1x 1+2x 2+3x 3+行数x列数 15. 质数与合数 质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有

36、别的约数，这个数叫做质数，也叫做素 数。 合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短 除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=,其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数， 且 a1 p 求约数个数的公式：P= (r1+1 ) x( r2+1 ) x( r3+1 ) x x( rn+1 ) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。 16. 约数与倍数 约数和倍数：若整

37、数 a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个，叫做这几 个数的最大公约数。 最大公约数的性质： 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、几个数都乘以一个自然数m所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约 数乘以 m。 例如： 12 的约数有 1、 2、 3、 4、 6、 12; 18 的约数有： 1、 2、 3、 6、 9、 18; 那么 12和 18 的公约数有： 1、 2、

38、3、 6; 那么 12和 18最大的公约数是： 6，记作（ 12，18）=6; 求最大公约数基本方法： 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的 最大公约数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数 ; 其中最小的一个，叫做这几 个数的最小公倍数。 12的倍数有：12、24、36、48; 18的倍数有：18、36、54、72; 那么12和18的公倍数有：36、72、108; 那么 12和 18 最小的公倍数是 36，记作 12，18=36; 最小公倍数的性

39、质： 1 、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法： 1、短除法求最小公倍数 ;2 、分解质因数的方法 17. 数的整除 一、基本概念和符号： 1、 整除：如果一个整数a,除以一个自然数 b,得到一个整数商c,而且没有余数, 那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、 常用符号：整除符号“ | ”，不能整除符号“”;因为符号，所以的符号 * *J 二、整除判断方法： 1. 能被 2、 5 整除：末位上的数字能被 2、 5整除。 2. 能被 4、 25整除：末两位的数字所组成的数能被4、 25整除。

40、 3. 能被 8、 125整除：末三位的数字所组成的数能被8、 125整除。 4. 能被 3、 9整除：各个数位上数字的和能被3、 9 整除。 5. 能被 7 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。 6. 能被 11 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7. 能被 13 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除

41、。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除。 三、整除的性质： 1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 18. 余数及其应用 基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得a* b=qr，且0p 余数的性质： 余数小于除数。 若 a、 b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a 。 a与b的和

42、除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c 的余数。 a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余 数。 19. 余数、同余与周期 一、同余的定义： 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称 a、b对于模m同余。 已知三个整数 a、b、m,如果m|a-b，就称a、b对于模 m同余，记作 a= b (mod m)，读作a同余于b模m 二、同余的性质： 自身性：a = a (mod m); 对称性：若 a= b (mod m),贝U b = a (mod m); 传递性：若 a= b (mod m), b=c (mod m),贝U a= c (mod m);

43、 和差性：若 a= b (modm) , c=d (modm)，贝U a+c= b+d (modm), a-c = b-d ( mod m) ; 相乘性：若 a= b (mod m), c=d (mod m),贝U ax c = b x d (mod m); 乘方性：若 a= b (mod m),贝U an = bn (mod m); 同倍性：若 a= b (mod m),整数 c,贝U ax c = b xc (mod mx c); 三、关于乘方的预备知识： 若 A=ax b,贝U MA=Mx b= (Me) b 若 B=c+d 则 MB=Mc+d=Mx Md 四、被 3、 9、 11 除后

44、的余数特征： 一个自然数 M n表示M的各个数位上数字的和，则M吕n ( mod9 )或(mod3 ); 一个自然数 MX表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上 数字的和，贝U 洁 Y-X或 姑11- (X-Y)( mod 11); 五、费尔马小定理：如果 p 是质数(素数), a 是自然数,且 a 不能被 p 整除,贝 ap-1 = 1 (mod p)。 20. 分数与百分数的应用 基本概念与性质： 分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。 分数的性质： 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数 （0 除外） ，分数的大小 不变。 分数单位：把单位“ 1”平

45、均分成几份，表示这样一份的数。 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法： 逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。 对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换 成比例和转换成倍数关系 ; 把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同 一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假 设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。 量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一

46、个量是不变的，不论其他量如 何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B 总量发生变化，但其中有的分量不变。C总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变 化。 替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明 朗化。 同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 21. 分数大小的比较 基本方法： 通分分子法： 使所有分数的分子相同， 根据同分子分数大小和分母的关系比较。 通分分母法： 使所有分数的分母相同， 根据同分母分数大小和分子的关系比较。 基准数法：确定一个标准，使所有

47、的分数都和它进行比较。 分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值 越大。 倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方 法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律） 转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。 倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。 大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。 倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。 基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。 22. 分数拆分 一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式： =+

48、; =+（ d 为自然数） ; 23. 完全平方数 完全平方数特征： 1. 末位数字只能是： 0、 1、 4、 5、 6、 9; 反之不成立。 2. 除以 3余 0或余 1;反之不成立。 3. 除以 4余 0或余 1;反之不成立。 4. 约数个数为奇数 ; 反之成立。 5. 奇数的平方的十位数字为偶数 ; 反之不成立。 6. 奇数平方个位数字是奇数 ; 偶数平方个位数字是偶数。 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式： X2-Y2=（ X-Y）（ X+Y） 完全平方和公式：（ X+Y） 2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（ X-Y） 2=X2-2XY+Y2 24. 比

49、和比例 比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比 的后项。 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘）， ad=bc 。 正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则 A与B 成正比。 反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则 A与B 成反比。 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

50、 25. 综合行程 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者 之间的关系。 基本公式：路程=速度X时间；路程十时间=速度;路程十速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题：速度和X相遇时间 =相遇路程（请写出其他公式） 追及问题：追及时间=路程差十速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程 =（船速+水速）X顺水时间 逆水行程=（船速-水速）X逆水时间 顺水速度 =船速 +水速 逆水速度 =船速 -水速 静水速度=（顺水速度+逆水速度）十2 水速=（顺水速度-逆水速度）十2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确

51、定物体所运动的路程，参照以上公式。 主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、 速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。 26. 工程问题 基本公式： 工作总量=工作效率X工作时间 工作效率=工作总量十工作时间 工作时间=工作总量十工作效率 基本思路： 假设工作总量为“ 1”（和总工作量无关） ; 假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍 数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评：合久必分，分久必合。 27. 逻辑推

52、理 基本方法简介： 条件分析一假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断， 如果有与题设条件矛盾的情况， 说明该假设情况是不成立的， 那么与他的相反情况是成立的。 例如，假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。 条件分析一列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进 行列表来辅助分析。 列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中， 表格的行、 列 分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。 条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个 对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态

53、，没有连线则表示否定的状态。例 如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。 逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的 计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法， 并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。 28. 几何面积 基本思路： 在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补， 平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算; 另外 需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 常用方

54、法： 1. 连辅助线方法 2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。 3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点， 解题时可把任意点设置在特殊 位置上）。 4. 利用特殊规律 等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等 腰直角三角形的面积） 梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。 圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 29. 立体图形 名称 图形 特征 表面积 体积 长方体 8 个顶点 ;6 个面;相对的面相等 ;12 条棱;相对的棱相等 ; S=2 （ ab+ah+bh） V=abh=Sh 正方体 8 个顶点 ;6 个面; 所有面相等 ;12 条棱;所有棱相等 ;

55、 S=6a2 V=a3 圆柱体 上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S侧+2S底 S 侧 =Ch V=Sh 圆锥体 下底是圆 ； 只有一个顶点 ；l ：母线，顶点到底圆周上任意一点的距离 ； S=S 侧+S底 S 侧=rl V=Sh 球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2 V=r3 30. 时钟问题一快慢表问题 基本思路： 1、按照行程问题中的思维方法解题 ； 2、 不同的表当成速度不同的运动物体； 3、路程的单位是分格（表一周为 60分格）； 4、时间是标准表所经过的时间； 合理利用行程问题中的比例关系 ； 六年级奥数知识点分类： 1. 不定方程 一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一， 所以也叫做二元一次不定方程； 常规方法：观察法、试验法、枚举法； 多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一； 多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未