一、古典概型.doc

1、一、古典概型一个随机试验 ,数学上是用样本空间、事件域和概率来描述的 .对一个随机事件,如何寻求它的概率是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验 ,它具有下述特征 :对于一个试验,如果具有 :(1) 样本空间的元素 (即基本事件 )只有有限个 .不妨设为个,并记它们为,(2) 每个基本事件出现的可能性是相等的 ,即有通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位 ,一方面 ,因为它比较简单 ,许多概念既直观而又容易理解 ,另一方面 ,它又包括了许多实际问题 ,有很广泛的应用 .对上述的古典概型,它的样本空间,事件域为的所有子集的全体 ,这时 ,连同在内 ,共含有个事件

2、 ,并且从概率的有限可加性知于是对任意一个随机事件,如果是个基本事件的总和 ,即则= 中所含的基本事件数 / 基本事件总数= 中有利事件数 / 基本事件总数（中所含的基本事件数,习惯上常常称为的有利事件数） .不难验证 ,上述的概率的确具有非负性、规范性和有限可加性.二、几个古典概型的例子 例 1在盒子中有十个相同的球,分别标为号码,从中任取一球 ,求此球的号码为偶数的概率.解法 1令= 取得球的标号为则故基本事件总数为.又令= 所取球的号码为偶数显然所以中含有 5 个基本事件 ,从而解法 2令，其中这时,由的对称性即得这两种解法都是正确的 ,但二者的样本空间 (从而事件域 )是不同的 ,严格

3、地说 , 两者所描述的随机试验是不同的 .例如 ,对于第二种解法来说 , = 所取球的号码为 4 并不属于事件域 ,也就是说 , 不是一个事件 ,从而也就没有概率可言 . 但对于第一种解法来说 ,是事件 ,而且.因此提请读者注意 ,为求一个事件的概率,样本空间可以有不同的取法 ,但一定要认清 ,基本事件总数和有利事件数的计算都要在同一个样本空间中进行 ,否则要引起混淆并导致谬误 ! 例 2 一套五卷的选集， 随机地放到书架上 ,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5 的顺序的概率 .解：以 a、b、c、d、e 表示自左至右的书的卷号 ,这时一个放置的方式与一个向量（ a,b,c,d,e

4、）对应，而 a、b、c、 d、e 只能在 1、2、 3、4、 5 中取值（而且不许重复取某一个值） ，故这种向量数共有 5！=120.因为各卷书的安放是随机的 ,所以这 120种放法是等可能的 ,这时就得到一个古典概型,而有利事件发生只有两种可能性 :或者卷号的排列为 1、 2、3、 4、5,或者为 5、4、 3、2、 1, 所以 例 3 设有任意个人 ,每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间去住,求下列事件的概率 :(1) 指定的 个房间各有一个人住；(2) 恰好有 个房间，其中各住一个人 .解： (1) 因为每一个人有个房间可供选择 ,所以个人住的方式共有种,它们是等可能的 .在第一个问

5、题中 ,指定的个房间各有一个人住,其可能总数为个人的全排列,于是(2)个房间可以在个房间中任意选取， 其总数有个，对选定的个房间，按前述的讨论可知有种分配方式，所以恰好有个房间，其中各住一个人的概率为这个例子常称为“分房问题” .如把例子中的“人”理解为“粒子” , “房间”理解为粒子所处的能级 ,那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学中的马克斯威尔-波尔兹曼统计 .如果 个人不可分辨的 ,那么上述模型即对应于玻色 -爱因斯坦统计 ; 如果粒子不可分辨的 ,并且每一个“房间”里最多只能放一个“粒子” ,这时就得到费米-狄拉克统计 .这三种统计在物理学中有各自的适用范围.由以上的例题我们看到

6、,求解古典概型问题的关键是在寻求基本事件总数和有利事件数 ,但正面求这两个数并不那么容易的 ,有时要研究一些技巧 .要掌握这些技巧 , 当然需要一些艰苦的训练 . 例 4 某班级有个人,问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?解假定一年按 365 天计算 ,把 365 天当作 365 个“房间” , 那么问题就可以归结为例 3,这时“ 个人的生日全不相同”就相当于例 3 中的 (2): “恰好有 个房间，其中各住一个人” .令=个人中至少有两个人的生日在同一天则=个人的生日全不相同由例 3 的(2) 知而于是这个例子是历史上有名的“生日问题” ,对不同的一些值,计算得相应的值如下表 :102

7、0233040500.120.410.510.710.890.97上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两个人的生日相同”这种情形发生的概率 ,并不如大多数人直觉想象的那么小 ,而是相当大 . 由表中可以看出 ,当班级中的人数为 23 时,就有半数以上的班级会发生上述事情 ,而当班级中的人数达到 50 时,竟有 97%的会发生上述事件 .当然 ,这里讲的“半数以上”、“有 97%”都是就概率而言 ,正如前面中所讨论的那样 ,只是在大数次重复下 (这就要求班级的数目相当多 ),才可以理解为频率 .这个例子告诉了我们 ,“直觉”并不很可靠 ,这就有力地说明了研究随机现象统计

8、规律的重要性. 例 5 袋子中有只黑球 ,只白球 ,它们除颜色不同外,其他方面没有差别 ,现在把球随机地一只只地摸出来,求第次摸出来的一只球是黑球的概率.解法 1:把只黑球与只白球都看作是不同的(对它们进行编号 )，若把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上 ,则可能的排列相当于把个元素进行全排列,总数为,把它们作为样本点全体.有利场合数为,这是因为第次摸得黑球有种取法 ,而另外次摸球相当于只球进行全排列,有种构成法,故所求概率为这个结果与 无关 .回想一下 ,就会发现这与我们平常生活经验是一致的 .例如在体育比赛中进行抽签，对各队机会均等 ,与抽签先后次序无关 .解法 2:把只黑球看作是没

9、有区别的,把只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上 ,因若把只黑球的位置固定下来,则其他位置必然是白球,而黑球的位置可以有种放法 ,以这种放法作为样本点.这时有利场合数为,这是由于第次摸得黑球 ,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以放在个位置上任取个位置 ,因此共有种放法 .所以所求概率为两种不同解法答案是相同的 ,注意考察一下两种解法的不同 ,就会发现主要在于选取的空间不同 . 在前一种解法中把球看作是“有个性的” ,而在后一种解法中则对同色球不加区别 ,因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球的顺序而用排列 , 第二种则不注意顺序而用组合 ,但最后还是得到相同的

10、答案 .这种情况的产生并不奇怪 ,这说明对于同一随机现象 ,可以用不同的模型来表述 , 只要方法正确 ,结论总是一致的 .在这个例子中 ,第二种解法中的每一个样本点是由第一种解法中的个样本点合并而成的.这个例子告诉我们 ,在计算样本点总数及有利场合数时 ,必须对同一确定的样本空间考虑 ,因此其中一个考虑顺序 ,另一个也必须考虑顺序 ,否则结果一定不正确 .既然同一个随机现象可有不同的样本空间来表述，因此同一个概率也常常有多种不同的求法，我们应逐步训练自己能采用最简便的方法解题 , 为此熟悉同一问题的多种解法是重要的 . 例 6 一个袋子中有个球 ,其中个是黑球 ,其余是白球 .从袋子中任取个球

11、.求取到个黑球的概率 .解从个球中取个球 ,样本总数是.我们关心的只是黑白球的个数,不存在球的排列问题 ,所以我们用组合数 .在计算有利样本点时,注意到在取出个黑球的同时 ,也取出了个白球 ,它们是分别从个黑球与个白球中选出来的 .因此 ,有利样本点个数为,所求的概率为. 例 7 9 名学生中有 3 名女生，将 3 名女生随机地分成3 组，每组 3 人，求事件：每一组有一名女生，及事件：3 名女生在同一组中的概率.解： (1)9 名学生中有3 名女生，将 3 名女生随机地分成3 组，每组 3 人，共有种分法 .对于事件,先将男生分到组里去,每组 2 名 ,这有种,再将女生分到每一组,每组一名

12、,共有 3!种,因此的有利样本点共有种.所以(2) 对于事件,先选定女生分到哪一组,这有 3 种,再将男生分成2 组,因此的有利样本点共有种 .所以 例 8 从 6 双不同的手套中任取4 只,求恰有一双配对的概率.解：设事件表示从 6 双不同的手套中任取4 只,恰有一双配对 . 从 6 双不同的手套中任取 4 只,共有种选法 .而先从 6 双不同的手套中任取1 双 ,有种选法 ,把选出的一双的2 只都取出的取法有种,再由剩余的 5 双中任取 2 双,有种选法,每双任取一只有种选法 ,于是任取 4 只 ,恰有一双配对的概率为 例 9 一架升降机开始时有6 位乘客 ,并停于十层楼的每一层.求下列事件的概率.(1) 某指定的一层有两位乘客离开；(2) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开；(3) 恰有两位乘客在同一层离开；(4) 至少有两位乘客在同一层离开；解:(1) 由于每一位乘客均可能在十层楼的每一层离开,故所有可能结果为种 .某指定的一层有两位乘客离开,这两人可以是6 人中的任意两人 ,故有种离开方式 ,其余 4 人可在另外的九层中按任意方式离开,共有种 ,从而所求概率为(2) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开,即 6 位乘客必在十层中的任意6 层离开 ,