求函数值域的常见方法

1、求函数值域的常见方法总结【观察法】有的函数结构并不复杂，可以通过 根本函数的值域及不等式的性质直接观察出函 数的值域。【配方法】配方法是求“二次函数类值域的 根本方法。F(x) af2(x) bf(x) c的函数的值域冋题，均 可使用配方法，解题过程中，要特别关注自变 量的取值范围。例题：确定函数(1)y4打云丁的值域；(2) y的值域。【别离常数法】此方法适合与分式函数的值域 问题，思路是用分母表示分子，别离出常数， 使分子不含变量，再借助根本函数的值域求解 例题：确定以下函数的值域(1)3x 1x 2(2)x2x 1【判别式法】把函数转化成关于x的二次方程F(x,y) 0，通过方程有实根，

2、判别式0，从而求得原函数的值域。形如y ax： bx c ( aa2不同时为0 ) a?x bx C2的函数的值域常用此法求得。 前提是定义域为R 且分子、分母没有公因式。例题：求以下函数的值域2 22x x 2x 3x 21y rr2y【反解x法】将y视为变量，利用数式的性质或 函数的值域求y，表达了方程思想。 例题：求以下函数的值域1 y 壬2 y 严【换元法】运用代数或者三角代换，将所给函 数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原 函数的值域。形如y ax b cx d a,b,c,d均为常数, 且a 0的函数常用此法求解(a,b,c,d。令 t .ex d ,x L且ct 0，使之变为

3、二次函数，再利用配方法；对于 含有-a-x2的结构的函数，可利用三角代换，令x a cos ，0,， 或令 x a si n ，例题：求以下函数的值域1 y 2x 2【不等式法】利用根本不等式2,2。y x 1 x2a b 2云，用此法求a 0 ,值域时，要注意条件“一正二定三相等即a b ob 0 :a b ab 为定值；取等号条件 例题：求以下函数的值域y 忌xo；(2)(3)y x2 4x 52x 4(x【单调性法】先确定函数的定义域或定义域 的某个子集上的单调性，再求出函数的值域 的方法为单调性法。考虑用单调性法求值域常 见的有y ax b Jex d a,b,c,d均为常数，且ac

4、0看a与 d是否同号，假设同号用单调性求值域，假设异号那么 用换元法求值域；还有在利用重要不等式求值 域失效等号不满足的情况下，可采用单调 性求值域，但须熟悉下述结论。函数 y x - x 0,k 0，x O,、.k，函数递减；x L-k,，x函数递增。例题：求以下函数的值域1 y 2 y 4x 12x 3【求导法】当一个函数在定义域上可导时，可 根据其导数求最值。例题：设y x3 6x2 15x 8，试求y在0,3上的最大值和 最小值。【课堂练习】1 .求以下函数的值域(3)1 x2x 5(4) yX29x2 7x 12(5)3xx24(6) y 6x 12.3x 1(7)(8) y g(e

5、x ex)确定函数解析式的常见方法【配凑法】根据具体解析式凑出复合变量的形 式，从而求出解析式例题：f(x -) x2 4 1，求f(x)的表达式xx 7【换元法】换元法就是通过引入一个或几个新 的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的 根本功能是化难为易、化繁为简，以快速实现 从未知向的转换，从而到达顺利解题的目 的。常见的换元法是多种多样的，诸如：局部 换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均 换元等等，它的应用及其广泛。例题：函数fx满足 f log ax丄其中 a 0，a 1 xx 1 ，求 fx的表达式a 1【待定系数法】函数的特征，求函数解析 式，可用待定系数法，设出待定系数，根据

6、已 知条件建立方程组求出待定系数的值。例题：设f(x)是一次函数，且ff(x) 4x 3，求f(x)【消元法】此方法的实质是解函数方程。 例题：f(x) 2f(-) 3x，求f(x)的解析式。x【赋值法】赋值法是指给定的关于某些变量的 一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通 过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。 例题： f(0) 1， f(a b) f(a) b(2a b 1)，求 f(x)。【典型例题】例题1 ：二次函数f(x)满足f(2) 1， f( 1) 1，f (x) 的最大值是 8，试确定此二次函数例题 2： f (x) x2 1，g(x) 2x 1x (xx 00) ，求 f

7、g(x) 和 g f(x) 的表达式。例题 3： f (x) 是定义在 6,6 上的奇函数，它在 0,3 上式一次函数，在 3,6 上是二次函数，且当 x 3,6 时， f (x) f (5) 3， f (6) 2，求 f (x) 的解析式。【课后练习】1、设二次函数 y f (x) 的最小值为 4，且 f (0) f(2) 6， 求 f (x) 的解析式。2、函数 f (x) 2x 1，g(x) x , x 0，求 f g(x) 和 g f (x) 的1, x 0表达式。3、f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x 2对称，且当x (2,2)时，f(x) x2 1，求当x (6,2)时

8、 的表达式。判断函数奇偶性的方法【定义法】根本步骤如下：(1) 确定函数的定义域，看定义域是否关于原 点对称，假设不对称，贝愜数为非奇非偶函数；(2) 假设函数的定义域关于原点对称，函数表达 式能化简的，那么对函数进行适当化简，以便进 行判断；(3) 假设函数较复杂，可利用变形式子，用求和(或差)法，即看f( x) f(x)与0的关系，或用求商 法，即看与啲关系；f( x)(4) 分段函数应分段讨论，要注意根据x的范 围取相应的函数表达式判断。例题：判断以下函数的奇偶性f(x).4 x2|x 3| 3，f(x) - xXI 0 ；x 37(3) f (x)log%, x2 1)；(4) f(x

9、)x 2, (x 0).x 2,(x 0)【图像法】可借助图像的对称性来判定函数的奇偶性： fx为奇函数 其图像关于原点成中心对称图 形； fx为偶函数其图像关于y轴成轴对称图形； 例题：求函数fx x 2, x 0x 2,x0【性质法】1 奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于y轴对称；2在定义域的公 共局部内，两奇函数的积或商为偶函数； 一奇一偶函数之积或商为奇函数，两奇函 数或两偶函数的和、差为奇函数偶函数函数单调区间的几种确定方法【数形结合法】数形结合法是确定函数单调区 间的方法，函数的单调区间形象直观地反映在 函数的图像中。例题：函数y |x|1 x在区间A上式增函数，那么A的 区间是1A. (,0)C. 0,)B. 0，才D.(1,)【复合函数法】复合函数F(x) fg(x)的单调性一般 由函数y f(u)和u g(x)的单调性来确定：(1) 当g(x)和f (u)的单调性相同时，函数F(x)为单 调递增函数；(2) 当g(x)和f(u)的单调性相反时，函数F(x)为单 调递减函数；例题：求函数y loga( x2 2x 8) ( a 0且a 1)的单调区 间。【定义探索法】判断函数的单调性，可根据单 调函数的定义，即在f(x)的定义域内任取x X2，来 考查f(x) f(x2)的符号，这是常用的方法。例题：假设fQogaX) X X1 ( a