多周期库存问题

1、多周期库存冋题是指库存物资是多次进货，形成进货一消耗一进货一消耗多个周期的库存控制冋题。本节将着重说明几种随机型情况下多周期库存控制策略。(1) (Q,s)库存控制策略(Q,s)库存控制策略的库存量变化如图1所示。消耗量是随机变化的，有时高，有时低，如图 1中实线所示。消耗量大时，曲线变陡，即库存在单位时间内下降很快，消耗量小时，曲线变缓，即库存量在单位 时间内下降较慢。 名义库存虽在库库存堑图1 (Q,s)库存控制策略当库存量下降到订货点 s时，要发出订货通知单，进行采购以补充消耗了的库存。因为订货量总是 Q,所以名义库存量上升为 s+Q ,但此时并未到货，所以库存货的实际变化用实线表示，而

2、名义库存虽的变化 用虚线表示。由采购开始，经过供货厂商备料、运输等程序，将经过订货提前期L2才能到货、验收入库。此时，在库库存量(实线)上升Q,然后又逐渐消耗，库存量再一次下降，到s点又一次订货。如此循环无穷。由图1所表示的四个周期可以看到，第三次发生缺货。这是因为消耗量D与订货提前期L2这两个随机变量在这个周期中增大，不但超过了平均消耗量还超过s值。这说明s值必须满足订货提前期间的平均消耗量外，还要考虑订货提前期间消耗量可能发生的波动量。正确地确定s值是一个十分重要的问题。采用这种库存控制策略，必须确定两个库存控制参数Q与s。这种库存控制策略在库存量下降到s时再进行采购或订货。这种库存控制策

3、略的安全库存量最少，但管理工作量最大。(2) (s,9库存控制策略(S,s)库存控制策略实际上是(Q,s)制的变种，只是在订货时略有不同。因此，在介绍(S，s)制时，着重说明它与(Q,s)的区别。(S,s)的库存量变化特性如图2所示。由于领料的批量很难预计，很难在某一次领料后，库存达恰好阵为 s,而是必然比s要低。有时因为领料量很多，库存会比s低很多。这种瞬间下降如图2中用a表示。如果采取(Q,s)制，每次进货量 Q是常数，那么，补充订货后，名义库存量会比s+Q低很多。因而用不了多少时候，库存量又会下降到s处，造成过分频繁的订货。改用 (S,s)后不管库存量下降到何点，总是发出订货货单，使名义

4、库存量恢复到S。因此，每次订货批量是不同，如图2所示。而(Q,s)制中Q是常量。这种策略要确定S与s两个参数。名义库存量一卜在库库存量图2 （S,9的库存量变化特性（3）（R, S, 3库存控制策略前面介绍的（Q,s）与（39属于连续监控机制。即天天检查、及时控制。现在介绍的 控制，即每隔R检查，并加以控制。这种控制策略的库存量变化如图3所示。（R, S, 3策略属于间隔图3 （R, S, S库存控制策略如图3,每隔R天检杳库存水平，如库存量高于S点，不必采取措施。如库存量低于或等于S点，贝U发出订货单，使名义库存量恢复到S点。（R, S, S策略与（S,s）策略的不同，仅在于 R天检查。（R

5、, S, S策略的管理工作量可以大大减少。显然，这种策略适用于较次要的（如C类物资）。R可以是一周、十天或半月，最多不应超过一个月。每隔R天检查一次，必然会有相当多的品种同时低于各自的s,这些品种可以同时发出订购申请，因此可以进一步减少管理工作量。 订货点s的数量不但要满足订货提前期 L2期间的平均需求量与波动增量，还要考虑R期间的需求量。因为有可能在检查时库存量虽在s之上，但已非常接近。检查后不久，库存量便低于s,但一直要经过 R天第二次检查时才能发现，而库存量已消耗了R天。这时发出订货单，剩余的库存量还要能满足订货提前期L2期间的消耗。因此，(R, S, s)策略的安全库存童与平均库存量比

6、采用(S,s)策略或(Q,s)策略时的库存量要大。这种策略要计算三个库存控制参数：R, S, s。以上介绍了三种随机型库存控制策略。它们稍加变化，便可成为一种新的策略。例如，如(R, S, s)策略每隔R天检查一次，在库存量低于 s时补充订货。这种策略可以改变为 (R, S)策略，即每隔R天必定 补充订货一次，使名义库存量补充 S到为止。这种变化要根据用户的意图及物资供应的特殊性质抉择。前面已经介绍了若干种多周期随机型库存的控制策略，本节将进一步说明这些策略中控制参数：Q, S,s, R, K等的计算方法。4.2.2订货批量Q的确定方法在多周期模型中，经济订货量Q的计算是十分复杂的。它是订货费

7、、存储费与缺货损失费的总和期望最小时的订货量。为了计算这些费用项的数学期望，必须讨论消耗量的概率分布规律，利用概率密度函数 与分布函数进行较复杂的运算。实际应用中，极大多数场合都采用确定型模型中的经济订货量Q的计算方法。这时求出的订货量Q*是近似最优的。因此，多周期随机模型中，订货批量Q可以用下式计算24AD_Q。式中A 订货费，元/次，D 月需求量的均值，r存储费，元/元*年；C-该品种物资的单rc价。4.2.3订货点s的确定方法订货点s在四种模型中均出现，但其计算方法并不一致。s的计算在(Q, S)与(S, s)策略中采用一种算法，在(R, S, s)策略模型中，其计算方法又略有过别。下面

8、先介绍前者的计算方法，然后再说明后者计算 的区别。在(Q, S)与(S, s)模型中，s的意义如下。当库存量下降到s点时，发出补充订货申请。由于联系、厂商备料、运输的需要，到货时间比订货时间滞后L2,称为订货提前期。在订货提前期L2期间，需求继续发生。s的数量要能满足订货提前期间的需求量，尽量不使缺货出现。由子需求量D与订货提前期L2都是随机变量，因此，二者的乘积订货提前期间需求量DL2也是随机变量。由历史资料可以统计出需求量D的均值为D，标准差为二，订货提前期L2的均值为L2，标准差为二l2。于是，可以求得订货提前期需求量DL2的均值DL2, DL2标准差、7dl2DL2 =DL2二DL =

9、丸2；叫D2L2s的数量要满足订货提前期间的需求量，首先要满足订货提前期间需求量的均值DL2，还要满足订货提前期间需求量的波动值二dl2。为满足这部分波动量而设置的库存量称为安全库存量，它与订货提前期间需求量的标准差二dl2与要求仓库达到的服务水平有关。因此，s = DL2 ss = DL2 km?式中，s一安全库存量；K安全系数，安全系数大，仓库的服务水平就高，即缺货的可能性降低。这样确定的s在库存控制过程中可能出现如图4所示的几种情况。在库存量下降为s点时，发出订货申请。图a所示情况是：订货提前期 L2期问的需求量小于s,不发生缺货，库存未降为 0时，订货到达。 图b所示的情况是：订货提前

10、期L2期间的需求量恰好等于 s，在库存量降为0时，订货到达，不发生缺货。 图c所示的情况是：订货提前期间 L2的需求量大于s，发生缺货，K值越大，s越大，图c这种状况出现的 机会减少。图4订货点s的作用图5 ( R , s , S )订货点s的作用(R，S, s)策略模型与(Q，S)与(S, s)策略模型略有不同。每隔R检查库存，如库存量大于s，不必采取措施，如库存量小于 s，才发出订货。因此，要经过R时间，这就可能出现如图5所示的情况。在第一次检查库存量时，库存量比s多一点，因此，不必采取任何措施。于是又要经过R时间才去检查库存量。在R时间内，发生了若干消耗，因此，第二次检查库存量时，库存量

11、已远低于s，这才发生了订货。由于有订货提前期L2,库存量继续消耗，直到进货时，库存量才得到补充。所以，s必须满足R+L2期间的需求量 D(R+L2)。s =D(R L2) ss 二 D(R L2) Kd(r l2)=D(R L2) K. D?： (R L?)；：2。式中D，二D，L2，-L2分别为月需求量D和订货提前期L2的均值和标准差，二RJ为R+L2时间的标 准差，由于R为常数，故6 L 。由此可知，(R，S, s)策略的s必然大于(Q，S)与(S, s)策略，而(R，S, s)策略的平均库存量与安全库 存量也必然大于(Q, S)与(S, s)策略的平均库存量与安全库存量。这说明，每隔 R

12、时间检查，管理工作量 少得多，但库存量要提高，才能保持同样的安全系数。424订货后名义库存量 S的确定方法(S, s)策略与(R, S, s)策略模型中都有参数 S。为了求S,先求出Q,用前而介绍的方法求得 s,于是 S =Q +s。必须说明，在(S, s)策略与(R，S，s)策略模型中，订货量都不是Q，而是一个不确定数，其数量每次订货都不同，要能使名义库存量恢复到So4.2.5检查间隔期R的确定方法检查间隔期R是人为确定的，可以是一周、十天或半月，最多不应超过一个月。物资的单位时间消耗 量越低，单价越低，越不重要，其检查间隔期R可以越长。R仅在(R, S, s)策略模型中出现，可以如下估算，

13、S sR =(1/ 41/ 2)-D求得的R取整成一周、十天或半月。4.2.6安全系数K的确定方法为了求安全库存量ss,都要引用安全系数 K。在这些计算式中，标准差在特定物资条件下是常数，那 末，K越大，安全库存量ss就越大，越不容易缺货。这就说明，不愿意缺货，不愿支付缺货损失费，就应 该加大K。但是，K大，ss大，却使库存量加大，于是增加了存储费。因此，无限增大安全系数也是不允 许的。确定合理的安全系数K，既不使安全库存量太大和存储费过高，也不使缺货次数太多和缺货损失费过高。根据主管人员认可的缺货概率来确认安全系数K。所谓服务水平，即仓库能满足顾客价要的百分率。服务水平十缺货概率=1。服务水

14、平订得越高，安全系数就越大，也就意味着要支付较多的存储费用，将保 持较高的库存占用金额，安全系数K常根据服务水平来确定。需求满足率Pi,即顾客需求100次中，能及时得到满足的次数。Pi与满足的数量无直接关系。缺货间隔期Ts,即每隔多少月发生缺货一次。Ts比Pi直观，易于为管理人员理解与接受。事实上，Ts与Pi是等价的。如果已知订货间隔期T,或者已由月需求量均值 D与订货量Q求得T=Q/B，那末，1_r =T/Ts 或者 1 P =Q/(DTS)数量需求满足率P2,即顾客需求的总数中，能及得到满足的数量百分比。P2与满足的次数无直接的关系。本节的问题是根据主管人员确定的服务水平来确定安全系K值。

15、因为顾客的需求量是一个随机变量，而且不同物资的需求量有不同的分布性质，因此，在根据既定服务水平来确定安全系数K时，与物资的需求量的随机分布特性密切相关。下面的计算中，将涉及物资需求量的概率函数、均值与标准差等。本节将首先讨论根据三种服务水平来确定安全系数K的原理，然后讨论几种概率密度函数条件下， 如何由三种服务水平具体计算安全系数 K。下面将分别讨论由三种服务水平来确定安全系数K的原理。为此，定义随机变量x为某间龄期间的需求量。 其概率密度函数为f(x),分布函数为P(x),均值为x ,标准差为匚x。x是某间隔时间的需求量，它既可以表示备运期需求量DL ,也可以表示记帐间隔期与各运期间需求D(

16、R+L2)或两次到货期间需求量 D(T+L1)。(1) 用第一种服务水平 Pi确定K第一种服务水平Pi,即次数需求满足率，Pi越大，服务水平越高。当 Pi=1时，全部需求求得到满足，1-Pi为次数缺货概率。用图6来说明Pi与K的关系。图6中曲线分别表示该种物资在某间隔期间需求量x的概率密度函数f(x)与分布函数P(x)。x为均值，二为标准差，取订货点 s=x K；z，其中K；z为安全库存量SS。横坐标为需求量x,当xs时，需求得不到满足，发生缺货。因此，f(x)围成的面积中，阴影部分代表缺货概率 i-Pi ； S处的 P(X)=P(xW S)=Pi，而 P(xS)=i-Pio因此，Pi与K之间

17、具有如下关系qQP(X s) =f(x)dx=i -R主管人员根据该项物资的 ABC分级及重要性，凭经验确定服务水平 Pi,代入上式，由于f(x)，x z 都是已知的，因此可以求得 Ko(2) 用缺货间隔期Ts确定K所谓缺货隔期Ts，是指两次缺货之间的时间期望值。即每隔Ts时间，平均将发生一次缺货。Ts与Pi可以互换：设该品种的月需求量均值为D，每次订货批量为 Q，则年进货次数为i2D/Q。发生一次缺货平均间隔时间为Ts月，那末，每年将发生i2/Ts次缺货。因此，P上叵亠i Ts QDTs只要主管人员根据该品种物资的重要程度规定了该物资允许缺货间隔期Ts，就可以换算得到Pi，再用Pi求K。可见，Ts与Pi没有根本的区别。不过，Ts更直观，易被领导机关理解与接受。(3) 用第二种服务水平P2确定KPi是次数需求满足率，只能指出i00次订货中发生缺货的次数，并不能给出缺货的数量。如果要控制缺货数量，就要用第二种服务水平P2来求K。P2是数量需求满足率。如果用户的全年需求量为i00件，主管人员要求95件能及时满足，则P2=0.95。而缺货率为i-P2=0.05。用图7说明P2与K的关系。图7中f