鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解...docx

1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数 - 每只鸡的脚数总头数） （每只兔的脚数 - 每只鸡的脚数）=兔数；总头数 - 兔数 =鸡数。或者是（每只兔脚数总头数- 总脚数）（每只兔脚数 - 每只鸡脚数）=鸡数；总头数 - 鸡数 =兔数。例如，“有鸡、兔共 36只，它们共有脚 100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100- 236）（ 4-2 ）=14（只） 兔；36-14=22（只） 鸡。解二 （436-100 ）（ 4-2 ）=22（只） 鸡；36-22=14（只） 兔。（答 略）（ 2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔

2、的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数总头数 - 脚数之差）（每只鸡的脚数 +每只兔的脚数） =兔数；总头数 - 兔数 =鸡数或（每只兔脚数总头数 +鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数 + 每只免的脚数） =鸡数；总头数 - 鸡数 =兔数。（例略）（ 3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数总头数 +鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数 + 每只兔的脚数） =兔数；总头数 - 兔数 =鸡数。或（每只兔的脚数总头数 - 鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数 + 每只兔的脚数） =鸡数；总头数 - 鸡数 =兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

3、（1只合格品得分数产品总数 - 实得总分数）（每只合格品得分数 +每只不合格品扣分数） =不合格品数。或者是总产品数 - （每只不合格品扣分数总产品数 +实得总分数）（每只合格品得分数 + 每只不合格品扣分数） =不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得 3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 （41000-3525 ）（ 4+15）=47519=25（个）解二 1000- （151000+3525）（ 4+15） 1000- 1852519=1000-975

4、=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元 。它的解法显然可套用上述公式。 ）（ 5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和） （每只鸡兔脚数和） +（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差） 2=鸡数；（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和） - （两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差） 2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚 44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚 52只。鸡兔各是多少只？”解 （52+44）（ 4+2）+（52-44 ）（ 4-2 ）2=202

5、=10（只） 鸡（52+44）（ 4+2）- （52-44 ）（ 4-2 ）2=122=6（只） 兔（答略）鸡兔同笼目录1 总述2 假设法3 方程法一元一次方程程4 抬腿法5 列表法6 详解7 详细解法二元一次方基本问题特殊算法习题8 鸡兔同笼公式1 总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在 1500 年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头 ,从下面数，有94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数 -总头数鸡的脚数）（

6、兔的脚数 -鸡的脚数） =兔的只数（94352） 2=12(兔子数 ) 总头数（ 35）兔子数（ 12）=鸡数（ 23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2 只，由于鸡只有2 只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2 就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2 假设法假设全是鸡： 235=70（只）鸡脚比总脚数少： 9470=24 （只）兔： 24(4-2)=12 （只）鸡： 3512=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚， 这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=2

7、4（只）兔：242=12（只）鸡：35-12=23（只）3 方程法一元一次方程解：设兔有 x 只，则鸡有 (35-x）只。4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=242x=1235-12=23(只）或 解：设鸡有 x 只，则兔有（ 35-x）只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有 12 只，鸡有 23 只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有 x 只，兔有 y 只。x+y=352x+4y=94（ x+y=35)2=2x+

8、2y=70 (2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入（ x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有 12 只，鸡有 23 只4 抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚， 兔子抬起 2 只脚，还有 94 除以 2=47 只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差 47-35=12，就是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下 94352=24 只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有 242=12 只兔子，就有 3512=23 只鸡5 列表法腿数鸡（只数）兔（只数

9、）6 详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元5 世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是352=70（只），比题中所说的94 只要少 94-70=24（只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2 只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2 ，一直继续下去， 直至增加 24，因

10、此兔子数：242=12（只），从而鸡有 35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡， 于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少， 每差 2 只脚就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数 =（实际脚数 -每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数 -每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为 y那么：x+y=35 那么 4x+2y=94 这个算方程解出后得出： 兔子有 12 只，鸡有 23 只

11、。7 详细解法基本问题 鸡兔同笼 是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法 - 假设法 来求解。因此很有必要学会它的解法和思路 .例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只解：我们设想，每只鸡都是 金鸡独立 ,一只脚站着； 而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只） .在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有 34 只兔子 .

12、当然鸡就有 54 只。答：有兔子 34 只,鸡 54 只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数 2-总头数 =兔子数 . 总头数 -兔子数 =鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时， 脚数就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通。 因此，我们对这类问题给出一种一般解法 .还说例 1.如果设想 88 只都是兔子，那么就有488 只脚，比 244 只脚多了884-244=108（只） .每只鸡比兔子少 (4-2)只脚，所以共有鸡

13、(884-244)(4-2)= 54（只） .说明我们设想的88 只兔子 中，有 54 只不是兔子。而是鸡 .因此可以列出公式鸡数 =（兔脚数总头数 -总脚数）（兔脚数 -鸡脚数） .当然，我们也可以设想88 只都是 鸡,那么共有脚 288=176（只），比 244 只脚少了244-176=68（只） .每只鸡比每只兔子少 (4-2)只脚，682=34（只） .说明设想中的 鸡,有 34 只是兔子，也可以列出公式兔数 =（总脚数 -鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数） .上面两个公式不必都用， 用其中一个算出兔数或鸡数， 再用总头数去减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解

14、，有人称为 假设法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以 分作为钱的单位 .我们设想，一种 鸡 有 11 只脚，一种 兔子有 19 只脚，它们共有 16 个头， 280 只脚。现在已经把买铅笔问题， 转化成 鸡兔同笼 问题了 .利用上面算兔数公式，就有蓝笔数 =(1916-280)(19-11)=248=3（支） .红笔数 =16-3=13（支） .答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的脚数19

15、 与 11 之和是 30.我们也可以设想16 只中， 8 只是 兔子 ,8 只是鸡,根据这一设想，脚数是8(11+19)=240（支）。比 280 少 40.40(19-11)=5（支）。就知道设想中的 8 只鸡 应少 5 只，也就是 鸡( 蓝铅笔）数是 3. 308 比 1916 或 1116 要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算 .实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16 只中，兔数 为 10,鸡数 为 6，就有脚数1910+116=256.比 280 少 24.24(19-11)=3,就知道设想 6 只鸡,要少 3 只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取

16、决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例 3 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成 .乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7 小时。甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数），甲每小时打 306=5（份），乙每小时打3010=3（份） .现在把甲打字的时间看成 兔头数，乙打字的时间看成 鸡 头数，总头数是 7.兔的脚数是 5,鸡的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成 鸡兔同笼 问题了。根据前面的公式兔 数=(30-37)(5-3)=4.5,鸡 数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4

17、.5 小时，乙打字用了2.5 小时。答：甲打字用了 4小时 30 分.例 4 今年是 1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是 17 岁。四年后 (2002 年）父的年龄是弟的年龄的4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作 鸡头数，弟的年龄看作 兔 头数。 25 是 总头数 .86 是总脚数 .根据公式，兄的年龄是(254-86)(4-3)=14（岁） .1998 年，兄年龄是14-4=10（岁） .父年龄是(

18、25-14)4-4=40（岁） .因此，当父的年龄是兄的年龄的3 倍时，兄的年龄是(40-10)(3-1)=15（岁） .这是 2003 年。答：公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀 .每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成 8 条腿 与6 条腿 两种。利用公式就可以算出8 条腿的蜘蛛数 =(118-618)(8-6)=5（只） .因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只） .也就是蜻蜓

19、和蝉共有13 只，它们共有 20 对翅膀。再利用一次公式蝉数 =(132-20)(2-1)=6（只） .因此蜻蜓数是 13-6=7（只） .答：有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蝉。例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人，5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对4 道的人数有多少人？解：对 2 道， 3 道， 4 道题的人共有52-7-6=39（人） .他们共做对181-17-56=144（道） .由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（

20、 (2+3) 2=2.5).这样兔脚数 =4，鸡脚数 =2.5,总脚数 =144，总头数 =39.对 4 道题的有(144-2.539)(4-2.5)=31（人） .答：做对 4 道题的有 31 人。以例 1 为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只？以简单的 X 方程计算的话，我们一般用设大数为 X，那么也就是设兔为 X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（ 88-X ）只。解：设兔为 X 只。则鸡为（ 88-X）只。4X+2 （ 88-X）=244上列的方程解释为： 兔子的脚数加上鸡的脚数， 就是共有的脚数。 4X就是兔子的脚数， 2（ 88-X）就是

21、鸡的脚数。4X+2 88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X2=682X=34即兔子为 34 只，总数是 88 只，则鸡： 88-34=54 只。答：兔子有 34 只，鸡有 54 只。习题一1龟鹤共有 100 个头， 350 只脚 .龟，鹤各多少只？2学校有象棋，跳棋共26 副，恰好可供 120 个学生同时进行活动。象棋 2 人下一副棋，跳棋6 人下一副 .象棋和跳棋各有几副？3一些 2 分和 5 分的硬币，共值 2.99 元，其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍，问 5 分硬币有多少个 ？4某人领得工资 240 元，有 2 元，5

22、元，10 元三种人民币， 共 50 张，其中 2 元与 5 元的张数一样多。那么 2 元，5 元，10 元各有多少张？5一件工程，甲单独做12 天完成，乙单独做18 天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？6摩托车赛全程长281 千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路 (3 千米），一段平路 (4 千米），一段下坡路 (2 千米）和一段平路 (4 千米）组成的；有的是由一段上坡路 (3 千米），一段下坡路 (2 千米）和一段平路 (4 千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了 25 段上坡路 .全程中包含这两种阶段

23、各几段？7用 1 元钱买 4 分，8 分， 1 角的邮票共 15 张，问最多可以买1 角的邮票多少张？二、 两数之差 的问题鸡兔同笼中的总头数是两数之和 ,如果把条件换成 两数之差 , 又应该怎样去解呢例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角。已知 8 分的邮票比 4分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出40 张 8 分的邮票，余下的邮票中8 分与 4 分的张数就一样多 .(680-840)(8+4)=30（张），这就知道，余下的邮票中，8 分和 4 分的各有 30 张。因此 8 分邮票有40+30=70（张） .答：买了 8 分的邮票 70 张，

24、4 分的邮票 30 张。也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有20 张 4 分，根据条件 8 分比 4 分多 40 张,那么应有 60 张 8 分。以 分作为计算单位，此时邮票总值是420+860=560.比 680 少，因此还要增加邮票。为了保持差 是 40，每增加 1 张 4分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是(680-420-860)(4+8)=10（张） .因此 4 分有 20+10=30（张），8 分有 60+10=70（张） .例 8 一项工程，如果全是晴天， 15 天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成解：类似于例 3，我们设工程的

25、全部工作量是 150 份，晴天每天完成10 份，雨天每天完成8 份.用上一例题解一的方法，晴天有(150-83)(10+8)= 7（天） .雨天是 7+3=10 天，总共7+10=17（天） .答：这项工程 17 天完成。请注意，如果把 雨天比晴天多 3 天去掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又回到上一节的问题 .差是 3，与和是 17，知道其一，就能推算出另一个。 这说明了例 7，例 8 与上一节基本问题之间的关系 .总脚数是 两数之和 ,如果把条件换成 两数之差 ,又应该怎样去解呢例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上 28 只鸡脚

26、，也就是再有鸡 282=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 42=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍。兔的只数是(100+282)(2+1)=38（只） .鸡是 100-38=62（只） .答：鸡 62 只，兔 38 只。当然也可以去掉兔284=7（只） .兔的只数是(100-284)(2+1)+7=38（只） .也可以用任意假设一个数的办法。解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50（只） .此时脚数之差是450-250=100,比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了） .为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相

27、差为 6只（千万注意，不是 2).因此要减少的兔数是(100-28)(4+2)=12（只）.兔只数是 50-12=38（只） .另外，还存在下面这样的问题： 总头数换成 两数之差 , 总脚数也换成两数之差 .例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13 首，总字数却反而少了20 个字 .问两种诗各多少首？解一：如果去掉13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字） .每首字数相差74-54=8（字） .因此，七言绝句有280(28-20)=35（首） .五言绝句有 35+13=48（

28、首） .答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首。解二：假设五言绝句是23 首，那么根据相差13 首，七言绝句是10首.字数分别是 2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字） .与题目中 少 20 字相差 180+20=200（字） . 说明假设诗的首数少了。为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句， 而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25（首） .五言绝句有 23+25=48（首） . 七言绝句有 10+25=35（首） .在写出 鸡兔同笼 公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于

29、例 7，例 9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与 鸡兔同笼 公式对照一下，就会发现非常有趣的事 .例 7，假设都是 8 分邮票， 4 分邮票张数是(680-840)(8+4)=30（张） .例 9，假设都是兔，鸡的只数是(1004-28)(4+2)=62（只） .10，假设都是五言绝句 ,七言绝句的首数是(2013+20)(28-20)=35（首） .首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与 鸡兔同笼 公式比较，这三个算式只是有一处- 成了 +. 其奥妙何在呢当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组， 就会明白，从数学上说，这一讲前

30、两节列举的所有例子都是同一件事。例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是 400 元。但破损一只要减少 1+0.2=1.2（元） .因此破损只数是(400-379.6)(1+0.2)=17（只） .答：这次搬运中破损了17 只玻璃瓶。请你想一想，这是 鸡兔同笼 同一类型的问题吗例 12 有两次自然测验， 第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错（包含不答） 1 题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对

31、1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24 题全对，得 524=120（分） .那么第二次只做对 30-24=6（题）得分是 86-2(15-6)=30（分） .两次相差120-30=90（分） .比题目中条件相差 10 分，多了 80 分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少 .第一次答对减少一题，少得 5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分。两者两差数就可减少 6+10=16（分） .(90

32、-10)(6+10)=5（题） .因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5 题，也就是第一次答对19 题，第二次答对30-19=11（题） .第一次得分 519-1(24- 19)=90.第二次得分 811-2(15-11)=80.答：第一次得 90 分，第二次得 80 分。解二：答对 30 题，也就是两次共答错24+15-30=9（题） .第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去 8+2=10（分） .答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分） .如果答错 9 题都是第一次，要从满分中扣去 69.但两次满分都是 120 分。比题目中条件 第一次

33、得分多 10 分,要少了 69+10.因此，第二次答错题数是(69+10)(6+10)=4（题）第一次答错 9-4=5（题） .第一次得分 5(24-5)-15=90（分） .第二次得分 8(15-4)-24=80（分） .习题二1买语文书 30 本，数学书 24 本共花 83.4 元。每本语文书比每本数学书贵 0.44 元。每本语文书和数学书的价格各是多少？2甲茶叶每千克132 元，乙茶叶每千克96 元，共买这两种茶叶12千克 .甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354 元。问每种茶叶各买多少千克？3一辆卡车运矿石，晴天每天可运16 次，雨天每天只能运11 次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天。

34、其中雨天比晴天多3 天，但运的次数却比晴天运的次数少27 次.问一连运了多少天？4某次数学测验共20 道题，做对一题得5 分，做错一题倒扣1 分，不做得 0 分。小华得了 76 分.问小华做对了几道题？5甲，乙二人射击，若命中，甲得 4 分，乙得 5 分；若不中，甲失 2 分，乙失 3 分。每人各射 10 发，共命中 14 发.结算分数时，甲比乙多 10 分。问甲，乙各中几发 ？6甲，乙两地相距12 千米 .小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留 40 分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过 4 小时后，他们在返回的途中相遇

35、.如果小张速度比小王速度每小时多走 1.5 千米，求两人的速度。？三、从 三到二鸡 和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例 5 和例 6 就都有三种东西。 从这两个例子的解法， 也可以看出，要把 三种 转化成 二种 来考虑 .这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。例 13 学校组织新年游艺晚会， 用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共 232 支，共花了 300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍。已知铅笔每支 0.60 元，圆珠笔每支 2.7 元，钢笔每支 6.3 元。问三种笔各有多少支解：从条件 铅笔数量是圆珠笔的 4 倍,这两种笔可并成一种笔， 四支铅笔和一支

36、圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作（ 0.604+2.7)5=1.02（元） .现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔。用 鸡兔同笼 公式可算出，钢笔支数是(300-1.02232)(6.3-1.02)=12（支） .铅笔和圆珠笔共232-12=220（支） .其中圆珠笔220(4+1)=44（支） .铅笔220-44=176（支） .答：其中钢笔 12 支，圆珠笔 44 支，铅笔 176 支。例 14 商店出售大，中，小气球，大球每个 3 元，中球每个 1.5 元，小球每个 1 元。张老师用 120 元共买了 55 个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多 .问每种球各买几个解

37、：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是 3 的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出 3 元.就可买 2 个中球， 3 个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是(1.52+13)(2+3)=1.2（元） .从公式可算出，大球个数是(120-1.255)(3-1.2)=30（个） .买中，小球钱数各是(120-303)2=15（元） .可买 10 个中球， 15 个小球。答：买大球 30 个，中球 10 个，小球 15 个.例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系， 例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法） ，把两种东西合

38、井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把 三转化成 二 了。例 15 是为例 16 作准备 .例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千米，回来时下坡速度为每小时走 6 千米，求他的平均速度是多少解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.平均速度 =所行距离所用时间去时走 1 千米，要用 20 分钟；回来时走 1 千米，要用 10 分钟。来回共走 2 千米，用了 30 分钟，即半小时，平均速度是每小时走4 千米 .千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)2=4.5千米。例 16 从甲地至乙地全长 45 千米，有上坡路，平路，下坡路 .李强上坡速度是每小时

39、3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下坡速度是每小时 6 千米。从甲地到乙地，李强行走了10 小时；从乙地到甲地，李强行走了 11 小时 .问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米解：把来回路程452=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成 一种 路程，根据例15，平均速度是每小时 4 千米。现在形成一个非常简单的 鸡兔同笼 问题 .头数 10+11=21，总脚数 90，鸡，兔脚数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是(90-421)(5-4)=6（小时） .单程平路行走时间是62=3（小时） .从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走

40、路程是：45-53=30（千米） .又是一个 鸡兔同笼 问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：(67-30)(6-3)=4（小时） .行走路程是 34=12（千米） .下坡行走的时间是7-4=3（小时） .行走路程是 63=18（千米） .答：从甲地至乙地，上坡12 千米，平路 15 千米，下坡 18 千米。做两次 鸡兔同笼 的解法，也可以叫 两重鸡兔同笼问题 .例 16 是非常典型的例题。例 17 某种考试已举行了 24 次，共出了 426 题.每次出的题数，有 25 题，或者 16 题，或者 20 题。那么，其中考 25 题的有多少次解：如果每次都考 16 题， 1624=384，比 42

41、6 少 42 道题 .每次考 25 道题，就要多 25-16=9（道） .每次考 20 道题，就要多 20-16=4（道） .就有9考 25 题的次数 +4考 20 题的次数 =42.请注意， 4 和 42 都是偶数， 9考 25 题次数也必须是偶数，因此，考 25 题的次数是偶数，由 96=54 比 42 大，考 25 题的次数，只能是 0,2,4 这三个数。由于 42 不能被 4 整除，0 和 4 都不合适 .只能是考25 题有 2 次（考 20 题有 6 次）.答：其中考 25 题有 2 次。例 18 有 50 位同学前往参观， 乘电车前往每人 1.2 元，乘小巴前往每人 4 元，乘地下

42、铁路前往每人 6 元。这些同学共用了车费 110 元，问其中乘小巴的同学有多少位解：由于总钱数 110 元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍 .如果有 30 人乘电车，110-1.230=74（元） .还余下 50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。 说明假设的乘电车人数少了.如果有 40 人乘电车110-1.240=62（元） .还余下 50-40=10（人）都乘地下铁路前往， 钱还有多 (62610).说明假设的乘电车人数又多了。 30 至 40 之间，只有 35 是 5 的整数倍 . 现在又可以转化成 鸡兔同笼 了：总头数 50-35=15,总脚数

43、110-1.235=68.因此，乘小巴前往的人数是(615-68)(6-4)=11.答：乘小巴前往的同学有11 位。在“三 转化为 二时，例 13，例 14，例 16 是一种类型 .利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例17，例 18 是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件 .确定了一个个数，也就变成 二 的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了 .更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。习题三1有 100 枚硬币，把其中 2 分硬币全换成等值的 5 分硬币，硬币总数变成

44、 79 个，然后又把其中的 1 分硬币换成等值的 5 分硬币，硬币总数变成 63 个.求原有 2 分及 5 分硬币共值多少钱 ？2京剧公演 共出售 750 张票得 22200 元。甲票每张 60 元，乙票每张 30 元，丙票每张 18 元.其中丙票张数是乙票张数的 2 倍。问其中甲票有多少张？3小明参加数学竞赛，共做 20 题得 67 分.已知做一题得 5 分，不答得 2 分，做错一题倒扣 3 分。又知道他做错的题和没答的题一样多 .问小明共做对几题？41 分，2 分和 5 分硬币共 100 枚，价值 2 元，如果其中 2 分硬币的价值比 1 分硬币的价值多13 分。问三种硬币各多少枚？注：此

45、题没有学过分数运算的同学可以不做.5甲地与乙地相距 24 千米。某人从甲地到乙地往返行走 .上坡速度每小时 4 千米，走平路速度每小时 5 千米，下坡速度每小时 6 千米。去时行走了 4 小时 50 分，回来时用了 5 小时 .问从甲地到乙地， 上坡，平路，下坡各多少千米？6某学校有 12 间宿舍，住着80 个学生。宿舍的大小有三种：大的住 8 个学生，不大不小的住 7 个学生，小的住 5 人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？测验题1松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个。它一连几天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个. 问这几天当中有几天有雨？2有一水池，只打开甲水龙头要