小学奥数-几何五大模型(等高模型).docx

1、三角形等高模型与鸟头模型模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高 2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大 (小 )，三角形面积也就越大 (小)；如果三角形的高不变，底越大 (小 )，三角形面积也就越大 (小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的1 ，则三角形面积与原来3的一样 这就是说： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面

2、积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S1 : S2a : bABS12SabCD夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S ACDS BCD ；反之，如果 S ACDS BCD ，则可知直线AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比【例

3、1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形；6 个面积相等的三角形。【解析】 如下图， D、 E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：AAAGFBDECBDCBDC 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、 C 和 D 在同一条直线上。 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ABDC【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以B

4、D 、 BC 和 DC 为底时，它们的高都是从A点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积12高26高三角形 ABC 的面积（124） 高28高三角形 ADC的面积4高22高所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4 倍；3【例三角形 ABD 的面积是三角形ADC 面积的 3 倍。3】 如右图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是积是平方厘米。4 厘米， BC 的长是3 厘米，那么图中阴影部分的面ABEFDC【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326 ( 平方厘米 ) 。【巩固】是年四中小升初入学测试题平方厘米。)

5、 如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，则阴影部分的面积【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25 平方厘米。【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是。ABFEDC【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120 12 120 。2【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56平方厘米， 点 E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点， H 为 AD边上的任意一点

6、，求阴影部分的面积。AHDAHDEGEGBFCBFC【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接 BH 、CH 。AEEB ，S AEHS BEH 同理， S BFH S CFH ， SVCGH =SVDGH ，S阴影11(平方厘米 )S长方形 ABCD56 2822【巩固】图中的E、 F 、 G分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是。ADAHD6G51 GEE423BFCBFC【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9 个形状各不相同的三角

7、形。这9 个三角形的底边分别是在正方形的 3个边上， 它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了 3个三角形， 右边三角形的面积和第1 第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第3第 4个三角形相等；左边三角形的面积和第5 个第 6 个三角形相等。因此这 3 个阴影三角形的面积分别是ABH 、 BCH 和 CDH 的三分之一， 因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。【例 5】 长方形 ABCD 的面积为 36 cm2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC【解析

8、】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如下图：AHDEGBFC可得：S EHB111S AHBS CHBS CHD36SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即 SEHBS BHFS DHG1S CHBS CHD)118 ；(S AHB3622而SEHBS BHFS DHGS阴影1BEBF111BC)14.5 。SEBF， SEBF(2AB) (362228所以阴影部分的面积是：S阴影18S EBF184.5 13.5解法二：特殊点法。找H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成右图：D (H)AEGBFC这样阴影部分的面积就是D

9、EF 的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影 SABCD S AED S BEF S CFD111111113.5。363623623622222【例 6】 长方形 ABCD 的面积为36， E 、 F 、 G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFCA(H)DEGAHDEGBFCBFC【解析】 （法 1）特殊点法。由于H 为 AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如左上图） ，那么阴影部分的面积就是AEF 与ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的 113

10、，为36313.5 。848488（法 2）寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如右上图。可得：S EHB111S AHBS CHBS CHD36 ，SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即SEHBS BHFS DHG1S CHBSCHD)136 18；(S AHB2211111而SEHBS BHFS DHGS阴影BEBC)4.5 。SEBF， SEBFBF(AB) (3622228所以阴影部分的面积是：S阴影18S EBF184.513.5 。【巩固】在边长为6 厘米的正方形ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别

11、与 P 点连接 , 求阴影部分面积。ADA (P)DADPPBCBCBC【解析】 （法 1）特殊点法。由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1 和 1，所以阴影部46分的面积为 62 (11)15 平方厘米。46（法 2）连接 PA 、 PC 。由于 PAD 与PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面4积的 1 ，所以阴影部分的面积为62(11)15 平方

12、厘米。646【例 7】 如右图， E 在 AD 上，AD 垂直 BC， AD12厘米， DE 3 厘米求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC面积的几倍？AEBCD【解析】 因为 AD 垂直于 BC，所以当BC 为三角形 ABC 和三角形EBC 的底时， AD 是三角形 ABC 的高， ED是三角形 EBC 的高，于是：三角形ABC 的面积BC122BC6三角形 EBC 的面积BC32BC1.5所以三角形 ABC 的面积是三角形EBC 的面积的 4 倍【例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与 V BEC 等积的三角形一共有哪几个三角

13、形？AFDEBC【解析】 V AEC、 V AFC 、 V ABF【巩固】如图，在V ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连结BE、 CE，那么与 V ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？AEBDC【解析】 3 个， VAEC 、 V BED 、 V DEC 【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？A DOBC【解析】 V ABD 与 V ACD， VABC 与 V DBC ， VABO 与 V DCO【例 9】 ( 第四届”迎春杯”试题) 如图，三角形 ABC 的面积为1，其中 AE3AB ， BD2BC ，三角形 BDE的面

14、积是多少？BEABEACCDD【解析】 连接 CE ， AE3AB ， BE2 AB ， SVBCE2SVACB又 BD 2BC ， SV BDE2 SVBCE4SV ABC4 【例 10】( 2008 年四中考题 ) 如右图，AD DB，EFFC，已知阴影部分面积为5 平方厘米，ABCAE的面积是平方厘米BBDDAEFCAEFC【解析】 连接 CD 根据题意可知，DEF 的面积为DAC 面积的 1 ，DAC 的面积为 ABC 面积的 1 ，所32以 DEF 的面积为ABC 面积的 111 而DEF 的面积为5 平方厘米，所以ABC 的面积为236130(平方厘米 )56【巩固】 图中三角形

15、ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF长的 3 倍那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？AEBFCD【解析】 VABD ， VABC 等高，所以面积的比为底的比，有SV ABDBD 1SV ABCBC,21SVABC1AE1所以 SV ABD =180 90 (平方厘米 )同理有 SVABESVABD90 30 ( 平方厘米 )，22AD3SV AFEFE330 22.5 (平方厘米 )即三角形 AEF 的面积是 22.5平方厘米SV ABE4BE【巩固】如图，在长方形ABCD 中， Y 是 BD 的中点， Z 是

16、 DY 的中点，如果 AB 24 厘米， BC 8厘米，求三角形 ZCY 的面积DCZAYB【解析】 Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点， ZY11DB ， SVZCY1 SVDCB ，224又 ABCD 是长方形， SVZCY1 SV DCB11 SY ABCD 24(平方厘米 )442【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24， D、 E 和 F 分别是 BC、 AC 和 AD 的中点求三角形DEF 的面积AFEBDC【解析】 三角形 ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半 242 12，三角形 ADE 又是三角形ADC 面积的一半 1226三角形 FED 的面积是三角形ADE

17、面积的一半，所以三角形FED 的面积 62 3【巩固】如图，在三角形ABC 中， BC 8 厘米，高是6 厘米， E、 F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？AEFBC【解析】 F 是AC 的中点SV ABC2SVABF同理 SV ABF 2SV BEFSVBEFSVABC4 86 2 4 6(平方厘米 )【例 11】如图 ABCD 是一个长方形，点E、 F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位DGGCCDEFEFABAB【解析】 如右图分割后可得，SV EFGS矩形 DEFC2S矩形 AB

18、CD 436 4 9 （平方单位） 【巩固】 ( 97迎春杯决赛 ) 如图， 长方形 ABCD 的面积是 1 ， M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且 2AN BN .那么，阴影部分的面积是多少？AMAMDDNNBCBC【解析】 连 接 BM ，因为M 是中点所以 ABM 的面积为1 又因为 2AN BN ，所以 BDC 的面积为4111 ，又因为 BDC 面积为 1 ，所以阴影部分的面积为：1115 .4312212212【例 12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24 平方厘米、 36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积AB36cm 212cm

19、236cm 212cm 2MN48cm 248cm 224cm 224cm 2CD【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则 AB12121 ，CD24481 ，364243所以 MN111 ，阴影部分面积为(12243648)115(cm2) 3412212【例 13】如图，三角形ABC中，DC2BD，3AE，三角形 ADE 的面积是20 平方厘米， 三角形ABCCE的面积是多少？AEBDC【解析】 CE 3AE ， AC 4AE ， SV ADC 4SVADE ；又 DC 2BD ， BC 1.5DC ， SV ABC 1.5SV ADC 6 SV ADE 120 ( 平方厘米 ) 【

20、例 14】( 2009 年第七届” 希望杯”二试六年级 ) 如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面积分别是 89， 28， 26那么三角形 DBE 的面积是BDAEC【解析】 根据题意可知，S ADCS ADES DCE8928 117 ，所以 BD:ADSBDC:SADC26 :1172:9 ，那么 SDBE:SADEBD:AD2 : 9，故SDBE 892(901)2202197 9999【例 15】( 第四届小数报数学竞赛) 如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10 平方分米

21、已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是 5 分米求梯形ABCD 的面积ADADBBhCCE【解析】 如右图， 作 AB 的平行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等， 三角形 DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差 ( 10 平方分米 ) 从而，可求出梯形高( 三角形 DEC 的高 ) 是：2 10 5 4 (分米 )，梯形面积是： 15 4 2 30( 平方分米 ) 【例 16】图中 V AOB 的面积为 15cm 2 ，线段 OB 的长度为OD 的 3 倍，求梯形ABCD 的面积A DOBC【解析】 在 VABD 中，因为 SV AOB1

22、5cm2 ，且 OB3OD ，所以有 SV AODSV AOB35cm 2 因为 VABD 和 VACD 等底等高，所以有 SV ABD SV ACD 从而 SVOCD15cm2 ，在 VBCD 中， SVBOC3SVOCD 45cm2 ，所以梯形面积：15 5 15 45 80（ cm2）【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形DDAABCABC【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法， 如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A处， V ABD 与 VABD 面积相等， 从而 V ADC

23、面积与原四边形 ABCD 面积也相等 这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形 V ADC 问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A 作一条和DB 平行的直线与CB的延长线交于A点具体做法：连接 BD； 过 A 作 BD 的平行线，与CB 的延长线交于A 连接 AD，则 V ACD 与四边形ABCD 等积【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是21cm2 问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红红绿【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角

24、形的面积和为长方形面积的50% ，而绿色三角形面积占长方形面积的15% ，所以黄色三角形面积占长方形面积的50% 15%35% 已知黄色三角形面积是21cm2 ，所以长方形面积等于2135%60 （ cm2 ）【例 19】 O 是长方形 ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是 5cm2 ， OAB 的面积是 2cm2 ，求 OBD 的面积是多少？ADOPBC1 SABCD ，而 S ABD1 SABCD ，所以 S AOD S BOC【解析】 由 于 ABCD 是长方形，所以S AODS BOCSABD，22则SBOCSOABS OBD ，所以 S OBDS BOCS OAB5 2 3cm2

25、 【例 20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点 P 作边的平行线EF、GH，若PBD 的面积为8 平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？AGDAGDEPEPFFBHCBHC【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形 BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差如右上图，连接CP、 AP由于 S BCPS ADPS ABP S BDP S ADP1，所以 S BCP S ABPS BDPSABCD2而1SBCFE ，1SABHG ，所以 SBCFESABHG2 S BCPS ABP

26、2S BDP16( 平方分米 ) S BCPS ABP22【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是 20，正三角形BPC 的面积是15，求阴影BPD 的面积APDADPOBCBC【解析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO 如下图所示，可得 PO / / DC ，所以 DPO 与 CPO 面积相等 ( 同底等高 ) ，所以有：S BPO S CPOS BPOS PDOS BPD，因为 S BOC1SABCD15 ，所以 S BPD 15510 4204【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是 12，正三角形BPC 的面积是5 ，求阴影BPD 的面积APDADPOBCBC【解析】

27、 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接PO 如右上图所示，可得 PO /DC，所以DPO 与CPO 面积相等 ( 同底等高 ) ，所以有 :S BPOS CPOS BPOS PDOS BPD，因为 S BOC1 SABCD3，所以 SBPD 5 3 24【例 22】在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰AOB 的面积为 16，等腰DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影AOC 的面积是多少？DCOAB【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去DOC 的面积 ( 长方形面积的 18% ) ，再减去AOD 的面积，即可求出AOC 的面积根据模型可知S CODS AOB1 SAB

28、CD ，所以 SABCD 16 （ 1 18%） 50 ，22又AOD 与BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD 的面积等于长方形面积的 1，4所以 S AOCS ACD S AOD S COD125%SABCD 18%SABCD 2512.59 3.5SABCD2【例 23】（ 2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中， E、 F分别是其两腰AB 、 CD 的中点，G 是 EF 上的任意一点， 已知 ADG的面积为 15cm2，而 BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的 7，则梯形 ABCD 的面积是cm2 20ADADEF

29、EFGGBCBC【解析】 如果可以求出ABG 与 CDG 的面积之和与梯形ABCD 面积的比，那么就可以知道ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形ABCD 的面积如图，连接 CE 、 DE 则 S AEGSDEG，S BEGS CEG ，于是 S ABGS CDGS CDE要求 CDE 与梯形 ABCD 的面积之比， 可以把梯形 ABCD 绕 F 点旋转 180 ，变成一个平行四边形 如下图所示：从中容易看出 CDE 的面积为梯形 ABCD的面积的一半(也可以根据 SBEC1SABC ，2S AED S AFD1S ADC， S BEC S AED1SABC1SADC1

30、SABCD 得来 )2222那么，根据题意可知ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的 1173 ，所以梯形ABCD 的面积是2202015 100cm 2 203小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论本题中，如果知道这一结论， 直接采用特殊点法， 假设 G 与 E 重合，则CDE的面积占梯形面积的一半，那么ADG 与BCG 合起来占一半【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等FFABABGGDECDEC【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等

31、于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接BE ( 我们通过 ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起)在平行四边形ABCD 中， S ABE1AB AB 边上的高，21S ABESWABCD 2同理， S ABE1SY AEGF ，平行四边形 ABCD 与 AEGF 面积相等2【巩固】 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 8厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？EEABABFFD GCDGC【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

32、的一半证明：连接 AG ( 我们通过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) 在正方形ABCD 中， S ABG1AB 边上的高，AB21SWABCD ( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)S ABG21同理， S ABGSEFGB 2正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等长方形的宽88106.4(厘米)【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6， AE1.5， CF2长方形 EFGH 的面积为HHADADEEGGBBFCFC【解析】 连接 DE， DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S DEF661.5622624.54216.5 ,所以长方形EFGH 面积为 33【例 26】如图， ABCD 为平行四边形， EF 平行 AC