圆的方程知识点总结和典型例题

1、圆的方程知识点总结和经典例题1 圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 直线系法：假设直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.(2) 过一点的圆的切线方程的求法1. 当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率， 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.2. 假设点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.+ (y b)2= r2(r 0)圆心

2、：(a，b)，半径：r一般x2 + y2+ Dx+ Ey+ F= 0( D2+ E2 4F圆心:DE-2， 2，方程 0)半径:1 , 2 - 刃 DT+ E2 4F注意点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不管是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)对于方程x2+ y2 + Dx+ Ey+ F= 0表示圆时易无视 F+ E2-4F0这一条件. 2点与圆的位置关系点 M(xo, yo)与圆(x-a)2+ (y b)2= r2 的位置关系：(1) 假设 Mxo, yo)在圆外，贝U (xo a) + (yo b) r .(2) 假设 Mxo,yo)在圆上，贝U(xo a)2+(yo

3、 b)2二r2.(3) 假设 Mxo,yo)在圆内，贝U(xo a)2+(yo b)2三r2.3. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆的位置关系的判断方法设直线 I : Ax+ By+ C= 0( A2+ 宵工 0),圆：(x a) + (y b) = r (ro),d为圆心(a, b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为A .方法位置关系几何法代数法相交drA 二01. 几何法：由圆心到直线的距离 d与圆的半径r的大小关系判断.(3) 求弦长常用的三种方法1 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d,弦长I之间的关系r2二d2+ 2 2 解题.2利用交点坐标假设

4、直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计 算弦长.3利用弦长公式设直线I : y = kx + b,与圆的两交点(xi, yi) ,(X2, y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长I二，；1 + k2|xi X2|二 ；1+ k2 xi + X22 4x1X2.4. 圆与圆的位置关系(1) 圆与圆位置关系的判断方法2 2 2设圆 O： (x a1)+ (y b1)= r1( r 10),圆 Q： (x a2)+ (y b2)=2(20).方法位置关系几何法：圆心距 d与，2 的关系代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况外离dr 1+2无解外切

5、d= r 1+2一组实数解相交| r 1 切 dr 1+2两组不同的实数解内切d= | r 1 r2|(1工2)一组实数解内含0 d 1,所以点A在圆外.(1)假设所求切线的斜率存在，设切线斜率为k,那么切线方程为y + 3= k(x 4).因为圆心q3,i)到切线的距离等于半径，半径为1,所以13 k ! 3 4k| = 1,即 |k+ 4| = k2+ 1,.k2+ 1所以 k2 + 8k + 16= k2 + 1，解得 k =普.815所以切线方程为y + 3=8(x 4)，即15x+ 8y 36 = 0. 假设直线斜率不存在，圆心q3,1)至U直线x = 4的距离也为1,这时直线与圆也

6、相切，所以另一条切线方程是x = 4.综上，所求切线方程为15x + 8y 36= 0或x = 4.求直线 I : 3x + y 6= 0 被圆 C： x2+ y22y 4= 0截得的弦长.2 2 2 2【解析】圆C： x + y 2y 4 = 0可化为x + (y 1) = 5, 其圆心坐标为(0,1)，半径r = 5.点(0,1)到直线1的距离为d=?+11；61-1= 2 r2 d = 10,所以截得的弦长为10.6.直线 x + 2y 5+ 5= 0 被圆 x + y 2x4y= 0截得的弦长为A. 1B. 2C. 4D. 4 6【解析】 圆的方程可化为 C： (x 1)2+ (y 2

7、)2= 5,其圆心为 qi,2)，半径 r = ；5.如下图，取弦AB的中点P,连接CP那么CPIAB,圆心C到直线AB的距离d= |Cp|1 + 4 5+ ,5|J2+ 22=1.在 Rt ACP中, | Ap = : r2 d =2,故直线被圆截得的弦长| AB = 4.7.的位置关系是()A.外离C.内切两圆 x2+y2= 9 和 x2+ y2 8x + 6y + 9 = 0B. 相交D. 外切【解析】2 2 2 2两圆x + y = 9和x + y 8x+ 6y + 9= 0的圆心分别为0,0和4 ,3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d=、;42 + 32= 5.又4 353+

8、4,故两圆相交.8.=0的位置关系为()A. 外离C. 外切【解析】 圆O的圆心坐标为(1,0)圆 O: x2+y2 2x = 0和圆 Q： x2 + y2 4yB. 相交D. 内切半径长r1= 1；圆Q的圆心坐标为(0,2),半径长 r2= 2; 1 = r2 r 1 | QQ| =yJ5 r 1 +2= 3,即两圆相交.2 2 29.求两圆 x + y 2x+ 10y 24= 0 和 x +y2 + 2x+ 2y 8 = 0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.【解析】联立两圆的方程得方程组2 2x + y 2x+ 10y 24= 0,2 2x + y + 2x+ 2y 8= 0,两式相减得x

9、 2y + 4 = 0,此为两圆公共弦所在直线的方程.法一：设两圆相交于点A , B ,那么A , B两点满足方程组x 2y + 4= 0，x = 4，x = 0,x2+ y2 + 2x + 2y 8 = 0，解得 y = 0或 y = 2.10.所以|AB = , 4 0一2 + 一0厂=2 ,.5，即公共弦长为2 5.法二：由 x2+y2 2x + 10y 24 = 0,得(x 1)2+ (y + 5)2= 50,其圆心坐标为 (1 , 5)，半径长 r = 5 2，圆心到直线x 2y + 4 = 011 2X 5+ 41 = 3 5.设公共弦长为21，由勾股定理得门+一 2一250= (

10、3 :5)2 + I ；解得 1 = 5，故公共弦长 21 = 2 -5.求圆C1： x2+ y2 = 1与圆r2= d2 +12,即C2: x + y 2x252y+ 1 = 0的公共弦所在直线被圆C3: (x- 1)2+ (y 1)2 = 4所截得的弦长.作差【精彩点拨】|联立圆C、C2的方程|得公共弦所 在的直线圆心C3到公共弦的距离d -圆的半径r?弦长=2寸r2 d2【解析】设两圆的交点坐标分别为 A(X1, y，B(X2，y2)，那么A，B的坐标是方 程组2 | 2x + y = 1,22的解，两式相减得x + y 1 = 0.x + y 2x 2y+ 1 = 0因为A, B两点的

11、坐标满足x+ y 1 = 0,所以AB所在直线方程为x + y 1 =0,即C, G的公共弦所在直线方程为x+ y 1 = 0,圆C3的圆心为(1,1),其到直线AB的距离d =1.2由条件知r2 d2=孚一g=234，所以直线AB被圆C3截得弦长为2X圆C与圆(x 1)2+ y2= 1关于直线y =x对称，那么圆C的方程为()A. (x + 1)2 + y2= 1B. x2+y2= 12 2 2 2C. x + (y+ 1) = 1D. x + (y 1) = 1【解析】 由圆(x 1)2 + y2= 1得圆心G(1,0)，半径长1= 1.设圆心C(1,0关于直线y = x对称的点为(a,

12、b),b 一 1 = 1a 1，a= 0,那么，解得 d 所以圆C的方程为x2+ (ya+1 bb= 1.一 Y = 2，+1)2=1.12.当动点P在圆x2+ y2= 2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为.【解析】设Qx, y), P(a, b)，由中点坐标公式得a+ 3b+ 1所以a= 2x 3, b= 2y 1.点 P(2x 3,2 y 1)满足圆 x2 + y2= 2 的方程，所以(2x 3)2+ (2y 1)2= 2,3 21 21化简得x 3 + y = 2，即为点Q的轨迹方程.13.(ABC的顶点坐标分别是 A (5, 1), B (7,- 3), C (2,-

13、 8),求 它的外接圆的方程；(2)ABC的顶点坐标分别是 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12)，求它 的内切圆的方程.【解答】解：(1)设所求圆的方程为(x- a) 2+ (y- b) 2=r2，因为 A (5, 1), B (7,- 3), C (2,- 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，(5- a)_ b ) 2=r 2于是*- a) - 3 - b) 2,可解得 a=2, b=- 3, r=25,/2- a)(-8-b)2=r2所以 ABC的外接圆的方程是(x- 2) 2+ (y+3) 2=25.(2)vABC三个顶点坐标分别为 A (0, 0), B (5

14、, 0), C (0, 12), AB丄 AC, AB=5 AC=12 BC=13 ABC内切圆的半径r=-=2 ,圆心(2 , 2), ABC内切圆的方程为(x - 2) 2+ (y - 2) 2=4.14. 圆 C: x2+ (y+1) 2=5，直线 I : mx- y+仁0 (m R)(1) 判断直线I与圆C的位置关系；(2) 设直线I与圆C交于A、B两点，假设直线I的倾斜角为120,求弦AB 的长.【解答】解：(1)由于直线I的方程是mx- y+仁0,即y -仁mx经过定点H( 0, 1),而点H到圆心C (0,- 1)的距离为2,小于半径.口，故点H在圆的内部， 故直线I与圆C相交，

15、故直线和圆恒有两个交点.(2)直线I的倾斜角为120 直线I :-辰x - y+仁0,圆心到直线的距离d _=1,二|AB|=2i亦-.1=4.15. 过点(一1, 2)的直线I被圆x2 + y2- 2x2y+ 1 = 0截得的弦长为2,求直线I的方程.【解】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为 k.设直线I的方程为 y + 2 = k(x+1).又圆的方程为(x 1)2 + (y 1)2= 1,圆心为(1,1),半径为1,所以圆心到直 线的距离dM- 1-f =12 p1+k V 221717解得k= 1或.所以直线I的方程为y + 2 = x + 1或y+ 2=(x+ 1)，即xy 1 = 0 或 17x 7y + 3 = 0.(2)形如t = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x- a)2 3+ (y- b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值 问题.7. 典型例题1. 直线