电路理论(黑皮版)华中科技大学陈明辉第7章

1、7-1第第7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路7.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 7.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.5 冲激响应冲激响应 7.4 二阶电路二阶电路7-2一阶电路通常只含一个储能元件，其余为含源线性电阻网络。一阶电路通常只含一个储能元件，其余为含源线性电阻网络。C含源线性电阻网络含源线性电阻网络L含源线性电阻网络含源线性电阻网络(a) RC电路电路(b) RL电路电路一阶电路的两种基本类型一阶电路的两种基本类型 7-3零输入响应零输入响应(Zero input response )：激励激励(电源电

2、源)为零，由初始储能引起的响应。为零，由初始储能引起的响应。7.1.1 RC电路的零输入响应电路的零输入响应uC (0 )=U0S(t=0)+uCRCi+uC7.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一、物理过程分析一、物理过程分析电容具有初始储能，开关合上后，通过电阻释放能量。电容具有初始储能，开关合上后，通过电阻释放能量。7-4uC (0+)= uC (0 )=U0解答形式解答形式 uC(t)=uC=Kest (特解特解 uC=0)特征方程特征方程 RCS+1=0RCS1 tRCKeu1 CtuCiCdd 0ddCCtuRCu二、微分方程及响应二、微分方程及响应S(t=0)+uCRC

3、i+uC7-5初始值初始值 uC (0+)=uC(0 )=U0 K=U0令令 =RC, 具有时间的量纲具有时间的量纲 , 称称 为时间常数为时间常数.(欧欧 法法=欧欧 库库/伏伏=欧欧 安安 秒秒/伏伏=秒秒)01 0 ttRCKeURCtUu 0CeRCtRUtuCiedd0CCI0tiCOU0tuCO)0( t)0( tS1 三、时间常数三、时间常数 7-6从理论上讲从理论上讲 t 时时,电路才能达到稳态电路才能达到稳态. 但实际上一般认但实际上一般认为为经过经过3 5 的时间的时间, 过渡过程结束过渡过程结束,电路已达到新的稳态电路已达到新的稳态.t0 2 3 4 5 U0 0.368

4、U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0 teUu 0C(实验测实验测 的方法的方法)7-7四、固有频率四、固有频率开关闭合后，开关闭合后，C的能量不断释放的能量不断释放, 被被R吸收吸收, 直到全部储能消耗完毕直到全部储能消耗完毕.五、能量关系五、能量关系202 0002R21d)e(dCUtRRUtRiWRCtRC特征方程特征方程 RCS+1=0RCS1 特征方程特征方程的根称为固有频率的根称为固有频率 1 S S与电路的输入无关，仅取决于电路的结构和参数，体现与电路的输入无关，仅取决于电路的结构和参数，体现了电路本身所了电路本身所固有固有的性质，因而称为的性质，

5、因而称为固有频率固有频率。20C21CUW 电容的初始储能为：电容的初始储能为：电路中所有响应具有相同的固有频率。电路中所有响应具有相同的固有频率。7-87.1.2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应iL (0 )=I0一、微分方程及响应一、微分方程及响应电感具有初始储能，通过电阻释放能量。电感具有初始储能，通过电阻释放能量。LRiL+uLiRiL (0+)= iL (0 )=I00ddLLitiRL解答形式解答形式 iL(t)=iLh=Kest (特解特解 iLp=0)特征方程特征方程 1/101 RLSSRLtKei 1 LR1+I0LS(t=0)uRiL7-9tKei 1 LiL (0

6、 )=I0代入初始条件，代入初始条件，K=I0teIi 1 0LteIii 1 0LRteRIRiu 1 0RRteRIudtdiLu 1 0RLL)0( t RI0tuL=uROI0tiLO-I0iRLRiL+uLiR7-10 =L/R为为RL电路的时间常数，物理意义电路的时间常数，物理意义同同RC电路的时间常数。电路的时间常数。二、时间常数及固有频率二、时间常数及固有频率RL电路的固有频率为电路的固有频率为RLS/11 S与电路的输入和初始状态无关，仅取决于电路的结构和参数。与电路的输入和初始状态无关，仅取决于电路的结构和参数。量纲：量纲：亨亨/欧欧=韦韦/安安*欧欧=韦韦/伏伏=伏伏*秒

7、秒/伏伏=秒秒3 5 过渡过程结束。过渡过程结束。LRiL+uLiRiL (0 )=I0teIi 1 0L7-11整个过渡过程中，电阻元件消耗的能量为：整个过渡过程中，电阻元件消耗的能量为：三、能量关系三、能量关系20 0 000RRR21deedLItIRItiuWtt 20L21LIW 电感的初始储能为：电感的初始储能为：电阻元件消耗的能量恰好等于电感的初始储能。电阻元件消耗的能量恰好等于电感的初始储能。7-12R1 =3k , R2=6k ,C=1 F,uS=30V,求求t0的响应的响应uC 、i1 、i2 。例例7-1-1.S+uCUSR1Ci2R2+i1+uCRCi解：解：换路后的等

8、效电路换路后的等效电路500122121 RCkRRRRR tteUu500 0C20e 0S212CCV2030636)0()0(UURRRuu 7-13)0(20e500 0C teUutRCt0)(tmA32050011 tCeRui0)(tmA31050022 tCeRui回到原电路求回到原电路求i1、i2。S+uCUSR1Ci2R2+i17-14例例7-1-2 105/)122(/)(2d1eqRRRR A5315)0()0(3SLL RUiiR1 =2 , R2=5 , R3=3 ,L= 3H , US=15V, t0求求uL 。解：解：sRL103 126611dRRuuRS(t

9、=0)iLUS1R1R2R36uL2+u+uL求换路后的等效电路求换路后的等效电路+ReqiL_uL先将受控源等效为一个电阻先将受控源等效为一个电阻)0(5)0(310 1 LL teeiitt )0(50310 LeqL teiRut7-15C1 =C2 =C0 ,uC1(0 )=U0, uC2(0 )=0求求t0的响应的响应uC1 、 uC2 。解：解：RCCCCCCC 02121210C2C1C2C1C)0()0()0()0()0(Uuuuuu)1(211)0(1000111 tRCtCCeUUt d iCuu)0( t例例7-1-3S(t=0)C1iuC1+abuC2+C2R+iRCu

10、CabRCttUuu 0 CCee )0( tRCeRURui10C)1(211)0(1002C2C2tRCteUt d iCuu7-16)1(21101CtRCeUu )0( t)1(2110C2tRCeUu 0C2C121)()(Uuut 换路后，换路后，C1通过通过R放电释放能量，同时给放电释放能量，同时给C2充电，充电，当二者电压相等时，过渡过程结束。当二者电压相等时，过渡过程结束。7-17小结：小结：一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应。一般形式为：一般形式为：2. 响应响应快慢取决于时间常数快慢取决于时间常数 . RC电

11、路电路 ： = ReqC, RL电路：电路： = L/Req3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。4. 一阶电路的零输入响应和初值成正比。一阶电路的零输入响应和初值成正比。 teyy )0(7-18零状态响应零状态响应(Zero state response)：储能元件初始能量为零，：储能元件初始能量为零，在激励在激励(电源电源)作用下产生的过渡过程。作用下产生的过渡过程。 7.2.1 直流电源激励下的零状态响应直流电源激励下的零状态响应7.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应uC (0 )=0S(t=0)+uCUSRCiR+uR+iC1.

12、物理过程分析物理过程分析一、一、RC电路电路t=0,uC (0+)= uC (0 )=0,电容相当于电容相当于短路，电源对其充电，开始充电短路，电源对其充电，开始充电电流最大，随着电容电压的上升，电流最大，随着电容电压的上升，充电电流不断减小。充电电流不断减小。当当uC =US 时，时，uR=0 ,iR =0,过渡过程结束。过渡过程结束。7-19uC (0+)= uC (0 )=0RCKeut 1 ChtuCiUuuddCSCR2.微分方程及响应微分方程及响应SCCddUutuRC求特解求特解 uCp= US非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：ChCpCuuu通解通

13、解特解特解强制分量强制分量 (稳态分量稳态分量)求齐次方程通解求齐次方程通解 uCh 自由分量自由分量(暂态分量暂态分量)全解全解SCpChCeUKuuut uC (0 )=0S(t=0)+uCUSRCiR+uR+iC7-20uC (0+)=K+US= 0 K= US定常数定常数)0( )e1(e S SSCtUUUutt US USuCpuCh强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)uctOtiRRUSO tRUtuCiieddSCCR3.稳态分量与暂态分量稳态分量与暂态分量4.时间常数时间常数 =RC5. 固有频率固有频率S S= -1/ 7-216.能量关系：能量关系：电

14、源提供的能量一部分被电阻消耗掉，电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且WC=WRtRRUtRtpWtiRd)(dd22e0S00R C2S2S2S210210)(|22eeWCUCURUtt 充电效率为充电效率为50%USRC7-22t= 0时闭合开关时闭合开关S.求求uC、i1的零状态响应。的零状态响应。CCddutuCuC11212iuiu64dd4CC utu1044 SSV5 . 14/6 CPutKeu ChtKu Ce5 . 10)(V e5 . 15 . 1 CtutuiCi12i1+2V+1 1 1 0.8FuC SuC (V)t1.5O

15、例例1.解法解法1:7-23解法解法2:戴维南等效戴维南等效.s 18 . 0)25. 01( RC V 5 . 1Cpu0)(V e5 . 15 . 1 Ctut0)( Ae3 . 05 . 01)dd(2 CC1tutuCit)0()0(11 ii+1.5V+0.25 1 0.8FuC SuiCi12i1+2V+1 1 1 0.8FuC S7-247.2.2 阶跃响应阶跃响应)( )e1()(SCtUutsRCt )( eStRUiRCt uC (0 )=0+uCUS (t)RCi+tiRUSOUSuCtO单位阶跃响应：输入为常量时的零状态单位阶跃响应：输入为常量时的零状态响应，阶跃输入免

16、去了开关的作用。响应，阶跃输入免去了开关的作用。uC (0 )=0S(t=0)+uCUSRCiR+uR+iC7-25延时阶跃响应延时阶跃响应:激励在激励在t=t0时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。uC (t0 )=0+uCUS (t t0)RCi+)( )e1(SCtUuRCt )( eStRUiRCt USuCtOt0tiRUSOt0)( )e1(0SC0ttUuRCtt )( e0S0ttRUiRCtt 7-26注意：注意：零状态网络的阶跃响应为零状态网络的阶跃响应为 y(t) (t) 时，时，则延时则延时t0的阶跃响应为的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0).结论结

17、论：)( )e1(0SC0ttUuRCtt )( )e1(0SCttUuRCt 二者的区别二者的区别 !7-277.2.3 正弦电源激励下的正弦电源激励下的零状态响应零状态响应 )sin(ALp tiiL (0+)= iL(0 )=0SLLddiitiRL 解答形式为：解答形式为：LpLhLiii RLKeit 1 Lh一、微分方程及响应一、微分方程及响应iL (0 )=0iLiS+LS(t=0)RuR+uLiR A)sin(S tIim设特解为：设特解为：将特解代入微分方程求待定系数将特解代入微分方程求待定系数)sin()sin(A )cos(Am tIttRL7-28)sin()sin(1

18、)(1 )cos(1)(1)(Am222 tItRLtRLRLRL1)(2 RL RL 1)sin()sin(1)(Am2 tItRL1)(A2m RLI RL arctan 0)sin(AL ttKeit )sin()sin(A )cos(Am tIttRL7-29解答为解答为将初始条件代入求待定系数将初始条件代入求待定系数K sinA K0)sin(AL ttKeit 0)sin(AAsinL tteit iLt0iLp 2 3 4 iLh sinA sin sin0.368A 时电感电流的波形时电感电流的波形20 LpLLh0iiit 响应达到正弦稳态，所需时间为响应达到正弦稳态，所需时

19、间为4 5 。二、稳态分量及暂态分量二、稳态分量及暂态分量7-30讨论：讨论：(1)合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。三、合闸角对响应的影响三、合闸角对响应的影响(2)Acos(A)2sin(AALteteitt 0)sin(AAsinL tteit RL arctan 0arctan RLK=0 无暂态分量无暂态分量0sinAL tti AAsin,2,2arctan RL最大电流出现在合闸后半个周期时最大电流出现在合闸后半个周期时 t = T/2，为稳态幅值的，为稳态幅值的2倍。倍。若若 T (T为正弦输入的周期为正弦输入的周期)A2)Ac

20、os(A)2(L Ti7-31例例7-2-1R1 =6 , R2=12 , R3=2 , US=18V, L= 2H , 求求t0的零的零状态响应状态响应iL 。解：解：sRL31eq )0( tiLUS+R1LS(t=0)R2R3abiLLReqUOC+_abV121812612S212OC URRRU 6126126232121eqRRRRRR)e1(2)e1()e1(31eqOC1SLtttRUIi 7-32RC延时电路，要求开关闭合后延时延时电路，要求开关闭合后延时0.4s点亮点亮70V的的氖光灯，试确定氖光灯，试确定R2的值。已知的值。已知R1 =1.5M ,C= 0.1 F, US

21、=110V。解：解：CRR)(21 )e1(1SCtUu 例例7-2-2US氖氖光光灯灯+R1CSR2uC+st395. 070)e1(1101 M45. 2395. 0)(221RCRR 7-337.2.4零状态响应的线性特性与时不变特性零状态响应的线性特性与时不变特性一、线性特性一、线性特性 线性时不变电路零状态响应是输入的线性函数，满足线性时不变电路零状态响应是输入的线性函数，满足齐次性和可加性。齐次性和可加性。二、时不变特性二、时不变特性若输入为若输入为x(t),零状态响应零状态响应y(t)输入为输入为x(t-t0),零状态响应零状态响应y(t-t0)三、微分或积分特性三、微分或积分特

22、性若输入为若输入为x(t),零状态响应零状态响应y(t)当输入为当输入为dx(t)/dt,零状态响应零状态响应dy(t)/dt若输入为若输入为x(t)的积分的积分,则零状态响应为则零状态响应为y(t)的积分。的积分。7-34例例7-2-4 )3(3)1(2)(S tttu 求零状态响应求零状态响应uC . 解解: RuS+uC C+ 由由 (t)引起的零状态响应引起的零状态响应uC1： (t) )e1( 1C RCtu 根据线性特性和时不变特性，由根据线性特性和时不变特性，由uS引起的零状态响应引起的零状态响应uC为为 3)-(t e13-1)-(t e12(t) )e1()3(1 )1(1

23、C tRCtRCRCtu13t /suS /V021327-35例例2. )5 . 0( )( 10S ttu求阶跃响应求阶跃响应iC . 10k 10k uS+iC100 F 0.510t (s)uS (V)0解解: 10k 10k 10 (t)+100 F Ci10k 10k 10 (t t0)+100 F Ci7-36等效等效s 5 . 01051010036RC mA )5 . 0( )5 . 0(2 C teitmA )(2Cteit Am)5 . 0( 1)( 1)5 . 0(22 CCC teteiiitt5k 5 (t) V+100 F Ci分段表示为：分段表示为： 0.5)(

24、 mA 0.632e-0.5)(0 mA e0.5)-2(t-2Cttit10k 10k 10 (t)+100 F Ci10k 10k 10 (t t0)+100 F Ci7-37分段表示为分段表示为 s)0.5( mA 0.632s)5 . 0(0 mA )(0.5)-2(2Ctetetittt(s)iC(mA)01 0.6320.5波形波形0.368)5 . 0( )5 . 0( )5 . 0( )( )5 . 0(2222C teteteteitttt)5 . 0( )5 . 0( )5 . 0( )( )5 . 0(2)5 . 0(212 teteettettt)5 . 0( 632.

25、 0)5 . 0( 1)( )5 . 0(22 tettett配项法：配项法：7-38SCCddUutuRC非齐次方程非齐次方程 =RCuC (0+)=K+USSCpChCeUKuuut 全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。7.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应(complete response)7.3.1 RC电路的全响应电路的全响应uC (0+)= uC (0-)= U0uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRC+ SSCCe-)(0UUuut K=uC (0+)-US7-39USU0U0USuC的波形的波形u

26、C (0 )=U0S(t=0)+uCUSRC+7-40一、一、 全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加)0()1(CCS0C tuueUeUutt =+7.3.2全响应的分解全响应的分解uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRC+uC(0-)=U0S(t=0)+RCCu uC (0-)=0S(t=0)+USRC+Cu 7-41二、 全响应分解为暂态分量和稳态分量全响应分解为暂态分量和稳态分量(t0)稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量 tUuUue)0(SCSC稳态分量只与输入有关稳态分量只与输入有关暂态分量不仅与输入有关，还与初始条件有关暂态分量不仅

27、与输入有关，还与初始条件有关uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRC+7-42全响应小结全响应小结:1. 全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质渡过程的本质;2. 零输入响应与零状态响应的分解方法其本质零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；是叠加，因此只适用于线性电路；3. 零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但零输入响应与零状态响应均满足齐性原理，但全响应不满足。全响应不满足。7-43 teyytyty )0()0()()(pp时时间间常常数数初初始始值值稳稳态态解解三三要要素素 )0( )(: yy

28、一阶电路的数学描述是一阶微分方程一阶电路的数学描述是一阶微分方程 , 其解的一般形式为其解的一般形式为)()()()(pphtyKetytytyt 令令 t = 0+)0()0( pyKy则则)0()0(p yyK)( )()0()()(直流激励直流激励 teyyyty 特特解解通通解解其其中中 )( )( ptytyh7.3.3 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法7-44三要素的确定：三要素的确定：1.时间常数时间常数 的确定：的确定：RC电路：电路： =ReqCRL电路：电路： =L/ReqReq:换路后电路中所有独立电源置零后接在储能换路后电路中所有独立电源置零后接在储能元件（元件（L

29、或或C）两端的等效电阻。）两端的等效电阻。2. 稳态值稳态值y( )的确定：的确定：稳态值稳态值y( )由换路后的稳态电路由换路后的稳态电路确定，（电容相当确定，（电容相当于开路，电感相当于短路）于开路，电感相当于短路）)( )()0()()(直流激励直流激励 teyyyty 时时间间常常数数初初始始值值稳稳态态解解三三要要素素 )0( )(: yy7-453. 初始值初始值y(0+)的确定：的确定： 由换路前储能元件的初始值由换路前储能元件的初始值uC(0)或或iL(0) ，根据换路定则确定根据换路定则确定t=0+时的等效电路，再由时的等效电路，再由t=0+时时的等效电路确定的等效电路确定y

30、(0+)。一般情况：一般情况：特殊情况：特殊情况： 换路后有电容并联或有电感串联时，或电路有冲换路后有电容并联或有电感串联时，或电路有冲激激励时，换路定则不再成立，此时应根据电荷守恒激激励时，换路定则不再成立，此时应根据电荷守恒或磁链守恒先确定或磁链守恒先确定uC(0+) 或或iL(0+) ，再确定，再确定y(0+)。7-46例例7-3-1解：解：t=0时合开关时合开关S。求。求 换路后的换路后的iR2(t) 。A1,V12,6,3321 SSIURRR已知：已知：A5 .0)0(S323L IRRRiA5 .0)0()0(LL iiA5 . 1)0()0()0(L12R iiiA1)0()0

31、(21L2S1 RRiRUiSL2121)0()0()(UiRiRR)0()1(2Ri求求用三要素法求解用三要素法求解时的等效电路时的等效电路 0t由由采用回路分析法采用回路分析法R1SUS+LiR2R2R3IsiLUS+R1iL(0+)iR2R2R3Isi1(0+) 0t7-47S1SR2321)()111(IRUuRRRA25. 1)()(2R2R2 RuiV5 . 7)(2R u采用节点分析法采用节点分析法时的等效电路时的等效电路 t由由)()2(2Ri求求 求求时时间间常常数数)3(将独立电源置零，电感两端的等效电阻将独立电源置零，电感两端的等效电阻832121eqRRRRRRsRL8

32、1eq 按三要素法按三要素法 )0(A)25. 125. 0()()()0(82R2R2R2R teieiiitt t)(R2iUS+R1R2R3Is7-48例例7-3-2解：解：三要素法三要素法_+ +1 F+uouC_100k +_4mV10k _S(t=0)求求 t0的响应的响应uc (t) 。V0)0()0(CC uus1 . 01011010063eq CR 换路后，再次达到稳态换路后，再次达到稳态mV4010410100)()(3oC uu由换路后等效电路和运放由换路后等效电路和运放的的 “虚短虚短” 、 “虚断虚断” k100eqR 0)(tmV)1(40)()0()(10CCC

33、C tteeuuuu 0)(tmV)1(4010Co teuu7-49解：解：图示电路，图示电路，2C21C1)0()0(UuUu 用三要素法求解用三要素法求解 t212211C1C1)()(CCUCUCuu 例例7-3-3S(t=0)+uC1R+uC2C1C2开关在开关在t=0时闭合。求响应时闭合。求响应uc1和和uc2 。电路的时间常数电路的时间常数1C1C1)0()0(Uuu 2C2C2)0()0(Uuu 2121eqCCCCRRC 由电荷守恒由电荷守恒)()()0()0(C22C11C22C11 uCuCuCuC)()(C2C1 uu联立解得联立解得7-50图示电路，图示电路，2C21

34、C1)0()0(UuUu 212211C1C1)()(CCUCUCuu 例例7-3-3S(t=0)+uC1R+uC2C1C2开关在开关在t=0时闭合。求响应时闭合。求响应uc1和和uc2 。1C1C1)0()0(Uuu 2C2C2)0()0(Uuu 2121eqCCCCRRC tteUUCCCCCUCUCeCCUCUCUCCUCUCu )()(212122122112122111212211C1由三要素法由三要素法 teUUCCCCCUCUCu )(12211212211C27-51例例3.已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时时合合 S1 , t =0.2s时合时合S2。0

35、 t 0.2sA2)(s2 . 00)0(1ii A5)(s 5 . 0 A26. 1)2 . 0(2ii A26. 122)2 . 0(2 . 05eiA74. 35)()2 . 0(2 teti解解求换路后的电感电流求换路后的电感电流i(t)。it (s)0.25(A)1.2620i10V1HS1(t=0) S2(t=0.2s)3 2 +_7-521. 通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。2. 通过例子得出二阶电路的一般规律。通过例子得出二阶电路的一般规律。二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应重点掌握重

36、点掌握学习方法学习方法7.4 二阶电路二阶电路(Two Order Circuit)7-53二阶线性齐次微分方程解的一般形式二阶线性齐次微分方程解的一般形式设二阶线性齐次微分方程为设二阶线性齐次微分方程为0)(d)(d2d)(d2022 tyttytty 02202 SS特征方程为特征方程为2022, 1 S特征根为特征根为根的性质不同，响应的变化规律也不同根的性质不同，响应的变化规律也不同过过阻阻尼尼）二二个个不不等等负负实实根根 ( )1(0 tetty )kk()(21临临界界阻阻尼尼）二二个个相相等等负负实实根根 (S S )2(210 方程的通解形式为：方程的通解形式为：方程的通解形

37、式为：方程的通解形式为：tStSeKeKty2121)( 7-54无无阻阻尼尼）为为一一对对纯纯虚虚根根 (S 0)4(01,2 j方程的通解形式为：方程的通解形式为：欠欠阻阻尼尼）为为共共轭轭复复根根(S )3(d2201,20 jj方程的通解形式为：方程的通解形式为：)sincos(sincos)(d22d2222ddtBABtBAAeBAtBetAetyttt )sin(2d1KteKt 1K2sinK2cosKAB22BA )sin()(201KtKty 7-550 CLR uuuLCLR120 uC(0-)=U0 iL (0-)=0已知已知求求 uC(t) , iL (t) , uL

38、(t) .,ddCLtuCi 2C2LddddtuLCtiLuL 7.4.1 RLC串联串联电路的零输入响应电路的零输入响应0dd2ddC20C2C2 ututu )0(1)0()0(LC0C iCdtduUu 0ddddCC2C2 utuRCtuLC0ddddCC2C2 LCutuLRtuS(t=0)RLC+ +- -uRiL+ +- -uC7-56例例7-4-1解解A16410)0(L iV610646)0(C uCLL)63(dd5 . 0uiti 电路原已达稳态。电路原已达稳态。t=0 时开关时开关S打开。打开。的的响响应应求求L0it 4 iLS+uC10V0.02F0.5H3 6

39、+V6)0()0(CC uuA1)0()0(LL ii换路后，由换路后，由KVL siuti/A6)0(18)0(2ddLC0L sradLCLR/105 . 002. 011, 95 . 026320 换路后为换路后为RLC串联电路串联电路7-57欠欠阻阻尼尼）(36. 4 j981100j9jS 2201,2 )36. 4sin()sin(29121LKteKKteKitdt 6cos36. 4sin92121 kkkk 1sin21 kk)0(A)47.5536. 4sin(214. 19L tteit214.11 k47.552 k 7-58例例7-4-2利用下图电路可产生强大的瞬间电

40、流，电容原处稳态。利用下图电路可产生强大的瞬间电流，电容原处稳态。t=0开关开关S由由1至至2，求电流，求电流iL及其最大值及其最大值iLm 。,H106,10594 LR已知：已知：。V10,F15005S UC解解)0(V10)0(C5C uu0)0()0(LL iirad/s1033. 31,1017. 42504 LCLR )sin(2d1L0KteKit 欠欠阻阻尼尼，5220d103 . 3 )cos()sin(2dd12d1LKteKKteKdtditt A/s1061)0()0(14CL0L LuLudtdi02 k711004. 5 k 142d1211061cossinkk

41、kk 0sin21 kkUsR0RC+ +- -uciLSL12+ +- -7-596ddmax1038. 4 arctgt电感电流的最大值为：电感电流的最大值为：A1007. 4sin1004. 57maxd7maxLmax teit 可计算可计算 tm0Ldtdi令令A)103 . 3sin(1004. 551017. 47L4teit iLt0tmax电感电流的波形电感电流的波形7-60小结：小结：非非振振荡荡放放电电过过阻阻尼尼， 2 CLR ttsekseku2121C振荡放电振荡放电欠阻尼，欠阻尼， 2 CLR )sin(2d 1Cktekut 非非振振荡荡放放电电临临界界阻阻尼尼

42、， 2 CLR )(21 Ctkkeut 可推广应用于一般二阶电路可推广应用于一般二阶电路定积分常数定积分常数)0()0(CCdtduu由由RLC串联二阶电路串联二阶电路7-61SIitiGLtiLC LL2L2dddd2L2CddtiLCi uC(0-)=0，iL(0-)=0。已知已知开关在开关在t=0打开求打开求 iL(t) .RLC并联电路，并联电路，S20L20L2L2dd2ddiititi LCCG120 SCLRIiii KCL:0L)0(Ii 0L1)0(ULdtdi0LL)0()0(Iii0CL1)0(1)0(ULuLdtdi初始条件初始条件 解法同前述解法同前述RLC串联电路

43、串联电路tiGLiddLR 7.4.2 二阶二阶电路的零状态响应与全响应电路的零状态响应与全响应iLiRiCISRC+ +uCSL- -7-62求全响应求全响应uC和和 iL。tuuiKCLdd212:CCL 246dd5ddCC2C2 ututu解解例例7-4-3电路原已达稳态。电路原已达稳态。t=0 时开关时开关S闭合。闭合。0)0( )0( LL ii12)0()0(2ddCL0C uitu0652 SS特特征征方方程程特征根特征根 S1= -2 ，S2= -3过阻尼过阻尼4 F21+- -uCSiL1H12V+- -2 V12)0( )0( CC uuCLLdd1412:utiiKVL

44、 4Cp utteKeKu3221Ch 43221C tteKeKu7-63124 )0( 21C KKu4,1221 KK)0()462(dd212132L teeetuuitttCC)0()4412(32C teeutt43221C tteKeKu1232dd210C KKtu7-64求所示电路中电流求所示电路中电流 i (t)的零状态响应。的零状态响应。由由KVLititiii2ddd62)2(211 整理得：整理得：1212dd8dd22 ititi二阶非齐次常微分方程二阶非齐次常微分方程解：第一步列写微分方程解：第一步列写微分方程例例4 0.5 u12-ii1+ +u1- -2 1/

45、6F F1HS2 2A i22)2(25 . 05 . 011iiiuii7-65第二步求通解第二步求通解ihphiii解答形式为：解答形式为：1212822 idtdidtid第三步求特解第三步求特解 ip稳态模型稳态模型S1= -2 ，S2 = -6tteKeKi6221hS2+8S+12=0+ +u1 1- -0.5u1 1i2Ai = 0.5 u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi( )=1AtteKeKi62211得得零零状状态态响响应应+ +u1 1- - 0.5 u1 12 1/6F F1HS2 2A i7-66第四步求初值第四步求初值 )0(1dd0)0()0(0LuLti

46、iiV825 . 0)0(11L uuu 0.5 u0+电路模型：电路模型：V4221 u+ +u1 1- -1 12 1/6F F1HS2 2A i0.5 u+ +u1 1- -1 12 2 2A+ +uL L- -7-67第五步定常数第五步定常数tteKeKi62211 212162810KKKK 5 . 15 . 021KK0 A5 . 15 . 01)(62 teetitt8)0(1)0(dd0)0()0(LuLtiii+ +u1 1- - 0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 2A i7-68零状态零状态h(t)( t单位冲激响应单位冲激响应：电路在电路在单位冲激激励作用下产生的

47、零状态响应。单位冲激激励作用下产生的零状态响应。 (Unit impulse response) 用用h(t)表示。表示。+ (t)RCiC+ uC7.5 冲激响应冲激响应7-69=1=0RCu1)0(CuC 不可能是冲激函数不可能是冲激函数 , 否则微分方程不成立否则微分方程不成立方法一、将冲激响应转化为方法一、将冲激响应转化为t0的零输入响应的零输入响应1. t 从从 0 0+1)0()0(CCuuRC)0(Cu0000C00Cd)(ddddtttuttuRC)(ddCCtutuRCuC(0-)=0 两边积分两边积分+ (t)RCiC+ uC7-702. t 0 零输入响应零输入响应 (C

48、放电放电)(e1 CtRCuRCt )(1)(e1)(e1)()e1(1 2 CCtRtCRtRCCtRCRCCdtduCiRCtRCtRCt uCtoRC1iCtCR21 o0ddCCutuRC RCu1)0(CRCiC+ uC7-71例例7-5-1R1 =R2=20 , R3=30 , L= 1H , 求电路的冲激响应求电路的冲激响应iL。解：解：)(21)()0(212LttRRRu4021213eqRRRRRR)( e21)( e )0(401LLttiitt iLuLReqL+)( tiL+R1LR3R2uL+将冲激响应转化为将冲激响应转化为t0的零输入响应的零输入响应A21)(21

49、1)0(1)0(0000LL dttLdtuLisRL401eq 7-72例例7-5-2解解021 kk0)0(, 0)0(LC iusiCdtdu/V4)0(1)0(LC 4, 12022, 1 S(t)V)3434(4Ctteeu 求单位冲激响应求单位冲激响应Cu (t)+ +- -uCF411H 5- -+ +uLiLt=0,L开路，开路，C短路短路0)0(,(t)0(CL iuA1d)(d)0(1)0()0(0000LLL tttuLii 0d)0(1)0()0(00CCC tiCuurad/s21, 5 . 220 LCLR 过过阻阻尼尼0 4421 kk34,3421 kk7-73已知：已知：R=1/5 , L=1/6H , C=1F，iS= (t)0)0( 0)0( CLui解解:例例5冲激激励则提供初始条件。冲激激励则提供初始条件。RC+- -uCiSiLL求冲激响应的方法之一是将冲激响应转化为求冲激响应的方法之一是将冲激响应转化为t0的零输入响应