二次函数图像与性质专题复习

1、二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .a的绝对值越大，抛物线的开口越小。22. y ax c的性质:上加下减。a的符号:开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大

2、而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .24. y ax hk的性质:a的符号；开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；

3、x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标 h , k ； 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:y=ax24 y=ax2+k平移|k|个单位y=a(x_h)2向上(k0)【或向下(k0)【或左(*0)】向上(k0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位y=a(x h)2+k欢迎下载122. 平移规律 在原有函数的基础上h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二

4、：y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y ax2 bx c变成yax2bxc m (或y ax2bx cm)y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移 m个单位，y ax2 bx c变成ya(xm)2 b(x m) c (或y a(xm)2b(x m) c)三、二次函数yk与y ax2 bx c的比较从解析式上看,ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即a x2a4ac b24a，其中hb 4ac b,k2a4a四、二次函数y ax2bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定

5、其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0 , c、以及0 , c关于对称轴对称的点 2h , c、 与x轴的交点xi, 0 , X2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点五、二次函数y ax2 bx c的性质1当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b2a，顶点坐标为b 4ac b22a 4a当x 一时，y随x的增大而减小；当x 2a2时，y有最小值.4a2当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x舟时，y随x的增大而增大；当x舟. . .

6、2箱，顶点坐标为-，务当y随x的增大而增大；当w时，y随x的增大而减小；当x习时，y2有最大值4ac b4a六、二次函数解析式的表示方法21.一般式：y2 axbx c （ a , b , c 为常数，a 0 ）；2.顶点式：ya（xh）2 k （ a , h , k 为常数，a 0 ）；3.两根式：ya（xxj(x X2) ( a 0 , Xi , x是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化但并非所有的二次函数都可以写0时，抛物线的解析式才可以用交七、二次

7、函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大;当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下,当b 0时,当b 0时,当b 0时,2a0，即抛物线的对称轴在2a0，即抛物线的对称轴就是y轴左侧;y轴;0，即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a在a 0的前

8、提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，A0，即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b0时，0，即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0，即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则abab的符号的判定：对称轴 x概括的说就是“左同右异”总结：y轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y轴交点的纵坐标为负.3. 常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 总结起来，c决定了抛物线

9、与y轴交点的位置.总之，只要a , b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y2 axbxc关于x轴

10、对称后，得到的解析式是yax2 bx c ；ya x2 hk关于x轴对称后，得到的解析式是2y a x hk ；2.关于y轴对称y2 axbxc关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；ya x2 hk关于y轴对称后，得到的解析式是2y a x hk ；3.关于原点对称y2 axbxc关于原点对称后，得到的解析式是y2 axbxc ；ya x2 hk关于原点对称后，得到的解析式是yax h2k ;4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）y2 axbxc关于顶点对称后，得到的解析式是y2 axbxcb2 ；222aya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是yax hk .5.关

11、于点m,n对称ya x2 hk关于点 m , n对称后，得到的解析式是yax2h 2m2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化， 因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向， 再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像参考:y=3(x+4)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法1 2【例1】求作函数y _x2 4x 6的图象2【例2】求作函数y x2 4x 3的图像。分析：画二次函数图象

12、步骤：(1) 配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左(右)边部分图象，再利用对称性描出右(左)部分就可。元二次函数性质【例3】求函数y x2 6x 9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【例4】求函数y5x2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4,可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式:a(x4ac b2 (a4a0)【二次函数题型总结】1. 关于二次函数的概念2例1如果函数y (

13、m 3)xm 3m 2 mx 1是二次函数，那么m的值为例2 抛物线y x2 2x 4的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为。2. 关于二次函数的性质及图象例3函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示,则 a、b、c， a b c， a b c 的符号例4已知a b + c=0 9a+ 3b+ c=0,则二次函数 y=ax2 + bx + c的图像的顶点可能在( )(A) 第一或第二象限(B)第三或第四象限(B) (C)第一或第四象限(D )第二或第三象限3. 确定二次函数的解析式 _ 2例5已知：函数y axbx c的图象如图：那么函数解析式为(A) yx2 2x 3(C) yx2 2x

14、 32(B) y x 2x 32(D) y x 2x 34. 一次函数图像与二次函数图像综合考查x例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a丰0),它们在同一坐标系中的大致图象是D例7如图： ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D,点A的坐标为(-1 ,0)( 1)求B、CD三点的坐标；(2)抛物线y ax2 bx c 经过B、C D三点，求它的解析式；【练习题】-6一、选择题21. 二次函数y x 4x 7的顶点坐标是()A.(2, 11) B.( 2, 7) C. )2, 11) D.2. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的

15、抛物线是)(2, 3)A. y 2(x 1)2B.2 2y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y2x212k3.函数ykx2k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数y ax2 bx c(a0)的图象如图所示,则下列结论：a,b同号；当x 1和x 3时，函数值相等；4a b 0当y数是()A.1个B.2 个 C. 3 个 D. 4x的值只能取0.其中正确的个个J15.已知二次函数yax2bx c(a0)的顶点坐标(-1 , -3.2 )及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax bx c0的两个根分别是xi1.3和X2()A.-1 . 3B.-

16、2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数y A.第一象限 C.第三象限ax2 bx c的图象如图所示，则点B.第二象限D.第四象限(ac,bc) 在(7.方程2x x2-的正根的个数为()A.0个xB.1个C.28.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),A.yx2x22 2C.yxx2 或y x与y轴交于点C,且0C=2.则这条抛物线的解析式为B.x 2 D.2小yxx22 、 2yxx2 或 y x x 2二、填空题9. 二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b 。10. 已知抛物线y=-2 ( x+3) 2+5 ,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 11. 一个

17、函数具有下列性质：图象过点(一 1, 2)，当xv 0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。12. 抛物线y 2( x 2)26的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。2 213. 二次函数y 2x 4x 1的图象是由y 2x bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移 2 个单位得到的 ,贝H b= ,c=。14. 如图，一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 L n取3.14).三、解答题：515. 已知二次函数图象的对称轴是x 3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,).2(1)求这个二次函数的解析式；当x为何值时，这个函数的函数值为 0?当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y随x的增大而增大？第15题图116. 某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)